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高中数学 第三章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线与方程小结与复习课件 北师大版选修2-1


北师大版高中数学选修2-1第 三章《圆锥曲线与方程》

教学目标:
1)掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的 几何性质

2)掌握双曲线的定义,标准方程和双曲 线的几何性质 3)掌握抛物线的定义,标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形,并了解圆锥曲线的初步应用。

一、知识回顾
圆 锥 曲 线

? ? ? ? ?

椭圆

标准方程

几何性质 第二定义

综合应用
双曲线 标准方程 几何性质 第二定义 统一定义 抛物线 标准方程 几何性质

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 几何条件 双曲线 抛物线

与两个定点 与两个定点的 的距离的和等于 距离的差的绝对 常数 值等于常数
x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b a b

与一个定点和 一条定直线的距 离相等

标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)

图 形

顶点坐标

(±a,0),(0,±b)

(±a,0)

(0,0)

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 双曲线 抛物线

对称性 焦点坐标

X轴,长轴长2a, Y轴,短轴长2b (±c,0)

X轴,实轴长2a, Y轴,虚轴长2b (±c,0)

X轴 (p/2,0)

c2=a2-b2
离心率 e= c/a 准线方程 0<e<1

c2=a2+b2
e>1 e=1

x=±a2/c

x=±a2/c

x=-p/2

渐近线方程

y=±(b/a)x

例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证:OA⊥OB。 证法1:将y=x-2代入y2=2x中,得 化简得 解得: x2-6x+4=0 (x-2)2=2x

x ? 3? 5

则:y ? 1 ? 5

? A(3 ? 5,1 ? 5); B(3 ? 5,1 ? 5) 1? 5 1? 5 ? kOB ? , kOA ? , 3? 5 3? 5 1? 5 1? 5 1? 5 ? kOB ? kOA ? ? ? ? ?1 3? 5 3? 5 9 ?5
∴OA⊥OB

证法2:同证法1得方程

x2-6x+4=0

由一元二次方程根与系数的关系,可知 x1+x2=6, x1 · x2=4
∵y1=x1-2 , y2=x2-2; ∴y1· y2=(x1-2)(x2-2)=x1· x2-2(x1+x2)+4 =4-12+4=-4

? kOA ? kOB
∴OA⊥OB

y1 y2 y1 y2 ? 4 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 4

例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0
内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线
Y

解法1:如图:设动圆圆心为P(x,y), 半径为R,两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方,得(x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100

P

X

O1

O2

当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时,有 |O1P|=R+2



当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时,有 |O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加,得 |O1P|+|O2P|=12 即

( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12

化简并整理,得 即可得

x2 y2 ? ?1 36 27

3x2+4y2-108=0

所以,动圆圆心的轨迹是椭圆,它的长轴、短轴分别 为 12 、 6 3. 2 2 2 2 ( x ? 3 ) ? y ? ( x ? 3 ) ? y ? 12 解法2:同解法1得方程 即,动圆圆心P(x,y)到点O1(-3,0)和点O2(3,0)距离的和 是常数12,所以点P的轨迹是焦点为(-3,0)、(3,0), 长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 于是得动圆圆心的轨迹方程为 ∴b2=36-9=27
x2 y2 ? ?1 36 27

这个动圆圆心的轨迹是椭圆,它的长轴、短轴分别为 12 、 6 3.

三、课堂练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M(2,0)的距 离之差等于2,则点P 的轨迹是 ( D) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点,O为原点,则OP 线段中点Q的轨迹方程是( B ) 2 y y2 2 2 2 2 2 2 A. x ? ? 1 B. x ? 4 y ? 1 C . ? x ? 1 D.4 y ? x ? 1 4 4
3.和圆x2+y2=1外切,且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹
2=2|y|+1 x 方程是 。

做练习
3.过点P( 0 , 4 )与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。 4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有

公共点,则m的取值范围是

[1,5) 。

5、过点M(-2,0)的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2

两点,线段P1P2的中点为P,设直线 l 的斜率为k1(k1≠0),
直线OP的斜率为k2,则 k1k2 的值为 ( )

1 ? 2

四、小结:1、本节课的重点是掌握圆锥曲
线的定义及性质在解题中的应用,要注意两个 定义的区别和联系。 2、利用圆锥曲线的定义和性质解题时,要注 意曲线之间的共性和个性。 3、利用圆锥曲线的定义和性质解题时,要加 强数形结合、化归思想的训练,以得到解题的 最佳途径。

五、教学反思:


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