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【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题5 解析几何(第1讲)课时作业 新人教A版


【走向高考】2015 届高中数学二轮复习 专题 5 解析几何(第 1 讲) 课时作业 新人教 A 版

一、选择题 1.若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则 l1 与 l2 间的距离为( A. 2 C. 3 8 3 D. 3 8 2 B. 3

)

[答案] B [解析] 由

l1∥l2 知 3=a(a-2)且 2a≠6(a-2), 2a2≠18,求得 a=-1, 2 ∴l1:x-y+6=0,l2:x-y+3=0,两条平行直线 l1 与 l2 间的距离为 8 2 = 3 .故选 B. 12+?-1? 2 2 |6-3|

d=

2. (2013· 山东潍坊模拟)若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦, PQ 的中点是(1,2), 则直线 PQ 的方程是( ) A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 [答案] B [解析] 结合圆的几何性质易知直线 PQ 过点 A(1,2), 且和直线 OA 垂直, 故其方程为 y-2=- 1 2(x-1),整理得 x+2y-5=0. 3.(文)⊙C1:(x-1)2+y2=4 与⊙C2:(x+1)2+(y-3)2=9 相交弦所在直线为 l,则 l 被⊙O: x2+y2=4 截得弦长为( ) A. 13 B.4 4 39 8 39 C. 13 D. 13 [答案] D [解析] 由⊙C1 与⊙C2 的方程相减得 l:2x-3y+2=0. 2 13 圆心 O(0,0)到 l 的距离 d= 13 ,⊙O 的半径 R=2, ∴截得弦长为 2 R2-d2=2 4 8 39 4-13= 13 . )

(理)(2014· 哈三中一模)直线 x+y+ 2=0 截圆 x2+y2=4 所得劣弧所对圆心角为( π π A.6 B.3 2π 5π C. 3 D. 6 [答案] D

-1-

| 2| [解析] 弦心距 d= =1,半径 r=2, 2 2π ∴劣弧所对的圆心角为 3 . 4.(2014· 湖南文,6)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 [答案] C [解析] 本题考查了两圆的位置关系. 由条件知 C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心与半径分别为(0,0),(3,4),r1 =1,r2= 25-m,由两圆外切的性质知,5=1+ 25-m,∴m=9. 1 5.(文)(2014· 哈三中二模)一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 y=4x2 上,且恒与定直线 l 相切, 则直线 l 的方程为( 1 A.x=1 B.x=32 1 C.y=-32 D.y=-1 [答案] D [解析] ∵A(0,1)是抛物线 x2=4y 的焦点,又抛物线的准线为 y=-1,∴动圆过点 A,圆心 C 在抛物线上,由抛物线的定义知|CA|等于 C 到准线的距离,等于⊙C 的半径,∴⊙C 与定直线 l:y=-1 总相切. (理)(2014· 河北衡水中学 5 月模拟)已知圆的方程 x2+y2=4,若抛物线过点 A(0,-1)、B(0,1) 且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ) x2 y2 x2 y2 A. 3 + 4 =1(y≠0) B. 4 + 3 =1(y≠0) x2 y2 x2 y2 C. 3 + 4 =1(x≠0) D. 4 + 3 =1(x≠0) [答案] C [解析] 如图,设圆的切线 l 为抛物线的准线,F 为焦点,过 A、B、O 作 l 的垂线,垂足为 C、 D、E,由抛物线的定义知,|FA|+|FB|=|AC|+|BD|=2|OE|=4,由椭圆定义知 F 在以 A、B x2 y2 为焦点的椭圆上,所以方程为 3 + 4 =1,x=0 时不合题意,故选 C. )

6.(2014· 福建理,6)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ 1 OAB 的面积为2”的( )

-2-

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 [答案] A [解析] 2|k| 1+k2 圆心 O(0,0)到直线 l:kx-y+10=0 的距离 d= , 1 1+k2 ,弦长为|AB|=2 1-d2=

1 |k| 1 ∴S△OAB=2×|AB|· d= = ,∴k=±1, k2+1 2 1 因此当“k=1”时,“S△OAB=2”,故充分性成立. 1 “S△OAB=2”时,k 也有可能为-1, ∴必要性不成立,故选 A. 二、填空题 7.(2013· 天津耀华中学月考)已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为________. [答案] 2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 [解析] 本题主要考查直线方程的求法,属中档题. 当直线斜率不存在时,则直线方程为 x=3,则 A、B 两点到 x=3 的距离分别为 d1=5,d2=1, 不符要求.故直线斜率存在,设为 k,则直线方程可设为 y-4=k(x-3),即 kx-y-3k+4=0, |-2k-3k+2| |4k+2-3k+4| 2 则由题意得 = ,解得 k=-3或 k=2, 1+k2 1+k2 故直线方程为 2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0. 8. (文)(2013· 天津耀华中学月考)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个 点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. [答案] (-13,13) [解析] 本题考查了直线与圆的位置关系,利用数形结合可解决此题,属中档题. 要使圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,只需满足圆心到直线 的距离小于 1 即可.



|c| <1,解|c|<13, 122+52

∴-13<c<13. (理)已知集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|kx-y-2≤0},其中 x、y∈R.若 A?B,则实数 k 的取值范围是________. [答案] [- 3, 3] [解析] 要使 A?B,只需直线 kx-y-2=0 与圆相切或相离,
-3-

∴d=

≥1,解得- 3≤k≤ 3. 1+k2

2

三、解答题 2 9.(文)(2013· 哈尔滨市质检)已知圆 C1:x2+y2=r2 截直线 x+y- 2 =0 所得的弦长为 3.抛 物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点在圆 C1 上. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)过点 A(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 B、 C 两点, 又分别过 B、 C 两点作抛物线 C2 的切线, 当两条切线互相垂直时,求直线 l 的方程. 1 [解析] (1)易求得圆心到直线的距离为2, 所以半径 r= 1 3 p ?2? 2 +? 2 ? 2 =1.∴圆 C1:x2+y2=1.抛物线的焦点(0,2)在圆 x2+y2=

1 上,得 p=2, 所以 x2=4y. (2)设所求直线的方程为 y=k(x+1), B(x1,y1),C(x2,y2). 将直线方程代入抛物线方程可得 x2-4kx-4k=0, ∴x1x2=-4k. x2 x 因为抛物线 y= 4 ,所以 y′=2, x1 x2 所以两条切线的斜率分别为 2 、 2 , -4k x1 x2 所以 2 ·2 =-1= 4 ,所以 k=1. 故所求直线方程为 x-y+1=0. (理)(2014· 石家庄市质检)已知动圆 C 过定点 M(0,2),且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的 轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 方程; (2)设点 A 为直线 l:x-y-2=0 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P、Q,求△ APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标. [解析] (1)设动圆圆心坐标为 C(x,y),根据题意得 x2+? - y 2? 2 = y2+4, 化简得 x2=4y. (2)解法一:设直线 PQ 的方程为 y=kx+b,
? ?x2=4y 由? 消去 y 得 x2-4kx-4b=0. ?y=kx+b ? ? ?x1+x2=4k 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则? ,且 Δ=16k2+16b ?x1x2=-4b ?

1 1 以点 P 为切点的切线的斜率为 y′1=2x1,其切线方程为 y-y1=2x1(x-x1),

-4-

1 1 即 y=2x1x-4x2 1. 1 1 同理过点 Q 的切线的方程为 y=2x2x-4x2 2. 两条切线的交点 A(xA,yB)在直线 x-y-2=0 上, x2 ?xA=x1+ 2 =2k 解得? x1x2 ?yA= 4 =-b

,即 A(2k,-b).

则:2k+b-2=0,即 b=2-2k, 代入 Δ=16k2+16b=16k2+32-32k=16(k-1)2+16>0, |PQ|= 1+k2|x1-x2|=4 1+k2 k2+b, |2k2+2b| A(2k,-b)到直线 PQ 的距离为 d= , k2+1 1 3 S△APQ=2|PD|· d=4|k2+b|· k2+b=4(k2+b)2 3 3 =4(k2-2k+2)2=4[(k-1)2+1]2. 当 k=1 时,S△APQ 最小,其最小值为 4,此时点 A 的坐标为(2,0). 解法二:设 A(x0,y0)在直线 x-y-2=0 上,点 P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线 x2=4y 上,则 1 1 以点 P 为切点的切线的斜率为 y1=2x1,其切线方程为 y-y1=2x1(x-x1), 1 即 y=2x1x-y1, 1 同理以点 Q 为切点的方程为 y=2x2x-y2.

?y0=2x1x0-y1, 设两条切线均过点 A(x0,y0),则? 1 ?y0=2x2x0-y2.
1 点 P,Q 的坐标均满足方程 1 1 y0=2xx0-y,即直线 PQ 的方程为:y=2x0x-y0, 代入抛物线方程 x2=4y 消去 y 可得: x2-2x0x+4y0=0 |PQ|= = 1 1+4x2 0|x1-x2|

1 1+4x2 0 4x2 0-16y0

-5-

1 |2x2 0-2y0| A(x0,y0)到直线 PQ 的距离为 d= , 1 0+1 4x2 1 1 S△APQ=2|PQ|d· 0-4y0|· x2 0-4y0 2|x2 1 3 =2(x2 0-4y0)2 1 3 1 3 =2(x2 0-4x0+8)2=2[(x0-2)2+4]2 当 x0=2 时,S△APQ 最小,其最小值为 4,此时点 A 的坐标为(2,0). 3 10.已知点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA 与直线 PB 斜率之积为-4,记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; → → → → (2)设 M、N 是曲线 C 上任意两点,且|OM-ON|=|OM+ON|,是否存在以原点为圆心且与 MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. [解析] (1)设 P(x,y), 3 则由直线 PA 与直线 PB 斜率之积为-4得, y y 3 · =-4(x≠±2), x+2 x-2 x2 y2 整理得曲线 C 的方程为 4 + 3 =1(x≠±2). → → → → → → (2)若|OM-ON|=|OM+ON|,则OM⊥ON. 设 M(x1,y1),N(x2,y2). 若直线 MN 斜率不存在,则 y2=-y1,N(x1,-y1). x2 1 y2 1 → → y1 -y1 由OM⊥ON得x1· x1 =-1,又 4 + 3 =1. 解得直线 MN 方程为 x=± 12 7 .原点 O 到直线 MN 的距离 d= 12 7.

若直线 MN 斜率存在,设方程为 y=kx+m. y=kx+m ? ? 由?x2 y2 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. + = 1 ? ?4 3 -8km 4m2-12 ∴x1+x2= ,x1· x2= . (*) 4k2+3 4k2+3 → → y1 y2 由OM⊥ON得x1· x2=-1,整理得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 代入(*)式解得 7m2=12(k2+1). 此时(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0 中 Δ>0. 此时原点 O 到直线 MN 的距离
-6-

d=

|m| k2+1



12 7. 12 方程为 x2 7 .存在以原点为圆心且与 MN 总相切的圆,

故原点 O 到直线 MN 的距离恒为 d= 12 +y2= 7 .

一、选择题 11.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A、B 两点,若弦 AB 的中点为(-2,3),则直 线 l 的方程为( ) A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.x+y-3=0 [答案] A [解析] 设圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)的圆心为 C,弦 AB 的中点为 D,易知 C(-1,2),又 D(-2,3), 3-2 故直线 CD 的斜率 kCD= =-1, -2-?-1? 1 则由 CD⊥l 知直线 l 的斜率 kl=-kCD=1, 故直线 l 的方程为 y-3=x+2,即 x-y+5=0. 12.过点(2,-1)的直线 l 与圆 x2+y2-2y=1 相切,则直线 l 的倾斜角的大小为( ) A.30°或 150° B.45°或 135° C.75°或 105°D.105°或 165° [答案] D [解析] 设直线 l 为 y=k(x-2)-1,代入 x2+y2-2y=1,得(1+k2)x2-4k(k+1)x+4(k+1)2- 2=0,由 Δ=16k2(k+1)2-4(1+k2)[4(k+1)2-2]=0,得 k=-2± 3,倾斜角为 105°或 165°. 13.(2013· 宣城市六校联考)过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 24 的直线共有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 [答案] D [解析] 过 P(-2,3)与 x 轴负半轴和 y 轴正半轴围成的三角形面积的最小值是 12,所以过一、 二、三象限可作 2 条,过一、二、四象限可作一条,过二、三、四象限可作一条,共 4 条. 14.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称 两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离”;若两平 行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切”.已知直线 l1:2x -y+a=0,l2:2x-y+a2+1=0 和圆:x2+y2+2x-4=0 相切,则 a 的取值范围是( ) A.a>7 或 a<-3 B.a> 6或 a<- 6 C.-3≤a≤- 6或 6≤a≤7 D.a≥7 或 a?-3 [答案] C [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力.两条
-7-

平行线与圆都相交时, |2?-1?+a| < 5 ? ? 5 由? |2?-1?+a2+1| < ? ? 5 两条直线都和圆相离时, |2?-1?+a| > 5 ? ? 5 由? |2?-1?+a2+1| > ? ? 5

得- 6<a< 6, 5

得 a<-3,或 a>7,所以两条直线和圆“相切”时 a 的取值范围- 5

3≤a≤- 6或 6≤a≤7,故选 C. 二、填空题 1 15.(2013· 杭州质检)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 sin2A+sin2B=2sin2C, 则直线 ax-by+c=0 被圆 x2+y2=9 所截得弦长为________. [答案] 2 7 1 [解析] 由正弦定理得 a2+b2=2c2, ∴圆心到直线距离 d= |c| a2+b2 = c = 2, 1 c2 2

∴弦长 l=2 r2-d2=2 9-2=2 7. 16.(2013· 合肥质检)设直线 mx-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点,且弦长 为 2 3,则 m=________. [答案] 0 [解析] 圆的半径为 2,弦长为 2 3,∴弦心距为 1,即得 d= 三、解答题 17.(文)(2013· 海口调研)已知圆 C:x2+y2=r2(r>0)经过点(1, 3). (1)求圆 C 的方程; → 1→ (2)是否存在经过点(-1,1)的直线 l, 它与圆 C 相交于 A、 B 两个不同点, 且满足关系OM=2OA+ 3→ 2 OB(O 为坐标原点)的点 M 也在圆 C 上,如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存在,请说 明理由. [解析] (1)由圆 C:x2+y2=r2,再由点(1, 3)在圆 C 上,得 r2=12+( 3)2=4, 所以圆 C 的方程为 x2+y2=4. (2)假设直线 l 存在,设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0). ①若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+1),
?y=k? + x 1?+1, ? 联立? 消去 y 得, ? ?x2+y2-4=0.

|m+1| m2+1

=1,解得 m=0.

-8-

(1+k2)x2+2k(k+1)x+k2+2k-3=0, 2k? + k 1? 2-2k 由韦达定理得 x1+x2=- =-2+ , 1+k2 1+k2 k2+2k-3 2k-4 x1x2= =1+ , 1+k2 1+k2 2k+4 y1y2=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2= -3, 1+k2 因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在圆 C 上, 因此,得 x2 1+y2 1=4,x2 2+y2 2 =4 , x1+ 3x2 y1+ 3y2 3→ → 1→ 由OM=2OA+ 2 OB得,x0= ,y0= , 2 2 x1+ 3x2 y1+ 3y2 由于点 M 也在圆 C 上,则( )2+( )2=4, 2 2 x2 1+y2 1 x2 2+y2 2 3 3 整理得 4 +3· 4 + 2 x1x2+ 2 y1y2=4, 即 x1x2+y1y2=0,所以 1+ 2k-4 2k+4 +( -3)=0, 1+k2 1+k2

从而得,k2-2k+1=0,即 k=1,因此,直线 l 的方程为 y-1=x+1,即 x-y+2=0. ②若直线 l 的斜率不存在, -1- 3 3-3 则 A(-1, 3),B(-1,- 3),M( , 2 ) 2 ( -1- 3 3-3 )2+( 2 )2=4- 3≠4, 2

故点 M 不在圆上与题设矛盾, 综上所知:k=1,直线方程为 x-y+2=0. 2 (理)已知圆 O:x2+y2=2 交 x 轴于 A、B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为 2 的椭圆, 其左焦点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连接 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x=-2 于点 Q.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A,B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关 系?若是,请证明;若不是,请说明理由. 2 [解析] (1)因为 a= 2,e= 2 ,所以 c=1, x2 则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为 2 +y2=1.

-9-

1 (2)因为 P(1,1),F(-1,0),所以 kPF=2, ∴kOQ=-2,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x. 又 Q 在直线 x=-2 上,所以点 Q(-2,4). ∴kPQ=-1,kOP=1, ∴kOP· kPQ=-1, 即 OP⊥PQ, 故直线 PQ 与圆 O 相切. (3)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 P 保持相切的位置关系,设 P(x0,y0),(x0≠± 2), x0+1 y0 则 y2 0=2-x2 0,kPF= ,kOQ=- y0 , x0+1 x0+1 ∴直线 OQ 的方程为 y=- y0 x, 2x0+2 ∴点 Q(-2, y0 ), 2x0+2 y0- y0 y2 0-? 2x0 +2? ∴kPQ= = x0+2 ? x0 +2? y0 = -x2 0-2x0 x0 y0 =- ,又 kOP=x0. ? x0 +2? y0 y0

∴kOP· kPQ=-1,即 OP⊥PQ(P 不与 A、B 重合),直线 PQ 始终与圆 O 相切.

- 10 -


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