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2013年对口升学考试数学模拟试题及答案


2013 年安徽省普通高校对口招收中等职业学校毕业生考试数学模拟试题
(本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.每小题的 4 个选项中,只有 1 个选项是符合题目要求的) 1、若集合 A ? {2,5,8}, B ? {1,3,5,7}, 则A U B 等于( A. {5} B. {1,2,3,5,7,8} ) C. a

? d ? b ? c ) D. ) C. {2,8} D. {1,3,7}

2、若 a ? b , c ? d ,那么( A. a ? c ? b ? d
? ?

B. ac ? bd
? ?

a d ? b c

3、已知向量 a ? (1,?1), b ? (2, x), 若 a ? b ? 1, 则 x ? ( A.-1 B.-

1 2


C.

1 2

D.1

4、函数 y ? log3 (? x 2 ? 3x ? 4) 的定义域为( A. [?4,1] 5、 B. (?4,1) ) B.

C. (??,?4] ? [1,??)

D. (??,?4) ? (1,??)

log2 9 ? log3 4 ? (
1 4

A.

1 2

C. ? )

D. ?

6、在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16, 则 a2 ? a10 ? ( A.16 B.18 C.20

D.24 )

7、已知方程 ax2 ? ay2 ? b ,且 a 、 b 异号,则该方程表示 ( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 8、下列命题错误的是( )

B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

A.三种基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和偱环结构 C.每个程序框图一定包括条件结构

B.每个程序框图一定包括顺序结构 D.每个程序不一定包括偱环结构

9、某校开设 A 类选修课 3 门, B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一 门,则不同的选法共有( A. 30 种
2 2

) B.35 种 C.42 种 ) C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 D.48 种

10、将圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 )

11、设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面( A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ⊥ ?

B.若 l ∥ ? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , l ∥ ? ,则 l ⊥ ?

12、如题 12 图所示,程序框图的输出的结果 S 值为( A. 2 开始 k=0,S=1 B. 4 C. 8

) D. 16

k=k+1
k

S=S× 2 k<3 否 输出 S 结束 是

(题 12) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、已知角 A 为三角形的一个内角,且 cos A ? ?

(题 16)

3 ,则 sin 2 A ? 5
. .

.

9 14、若 ( x ? ) 的展开式中 x3 的系数是 ?84 ,则 a ?

a x

15、设函数 f ( x) ? x 3 cos x ? 1, 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ? 16、如题 16 图所示,程序框图的输出值 x ? .

三、解答题(共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题满分 12 分) 已知等差数列{ an }中, a4 =14,前 10 项和 S10 ? 185.求通项公式 an .

18、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 为

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3 , 其图像相邻两条对称轴之间的距离

? . 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

19、 (本题满分 12 分) 某射手在一次射击中射中 10 环, 9 环, 8 环的概率分别为 0.24,0.28,0.19.计算这个射手在一次射击 中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)不够 8 环的概率.

20. (本题满分 12 分)
? 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A ? 60 , c ? 3b .求:

a 的值; c sin B ? sin C (2) 的值. sin 2 A
(1)

21、 (本题满分 12 分) 如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E、F、G 分别是 AA , AB, AD 的中点. 1 (1)求证: AC1 ⊥平面 EFG ; (2)求异面直线 EF 与 CC1 所成的角. D1 A1 E D C A G F (题 21) 22、 (本题满分 14 分) B B1 C1

AB 如图, 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦, 交抛物线于 A、B 两点, A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) . 设
求证:(1) x1 x 2 ?

p2 ; y1 y2 ? ? p 2 ; 4 1 1 2 (2) ? ? . FA FB p
y
A

O

?

F

x

B (题 22)

2013 年安徽省普通高校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题参考答案与评分参考
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.每小题的 4 个选项中,只有 1 个选项符合题目要求,多选不给分) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C 11 B 12 C

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、 ?

24 25

14、 1

15、 ? 9

16、 12

三、解答题(共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题满分 12 分)

? a4 ? 14 解:由 ? ? S10 ? 185 ? a1 ? 5 ?? ?d ? 3

?a1 ? 3d ? 14, ? 得 ? 1 ?10a1 ? 2 ?10 ? 9 ? 9d ? 185, ?

…………………………………6 分

………………………………………………………………………………10 分

? an ? 3n ? 2

…………………………………………………………………………12 分

18、 (本题满分 12 分) 解:(1)∵函数 f ( x ) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2 ………………………………2 分 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

∴最小正周期为 T ? ? …………………………………………………………………4 分 ∴ ? ? 2 ,故函数 f ( x ) 的解析式为 y ? sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ?

? , 2

?
6

) ? 1 ……………………………6 分

?

?

2

∵0 ?? ? ∴? ?

?
2

,∴ ?

?
6

? 1 ) ? 1 ? 2 即 sin(? ? ) ? ……………………………8 分 6 6 2
?
6 ?

?? ?

?

?
6

?

?
6

,故 ? ?

?
3

3

…………………………………………………10 分

.……………………………………………………………12 分

19、 (本题满分 12 分) 解:设 A ? {射中 10 环}, B ? {射中 9 环}, C ? {射中 8 环} (1)因为 A, B 为互斥事件,则射中 10 环或 9 环的概率为:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.24 ? 0.28 ? 0.52 .……………………………6 分
(2) 因为 A, B , C 为互斥事件,则 8 环及 8 环以上的概率为:

P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.24 ? 0.28 ? 0.19 ? 0.71.
故不够 8 环的概率为 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.71 ? 0.29 ……………………………12 分

20、 (本题满分 12 分) 解: (1)由余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2b cos A ? ( c) 2 ?c 2 ? 2 ? c ? c ?

1 3

1 3

1 7 2 a 7 ? c ? ? . …6 分 2 9 c 3

1 2 c sin B sin C bc 3 3 (2)由正弦定理和(Ⅰ)的结论得: ? 2 ? 2 ? 2 7 sin A a a

…………………………12 分

21、 (本题满分 12 分) 解: (1) ∵C1B1⊥面 A1ABB1, A1B⊥AB1 由三垂线定理得 AC1⊥A1B ∵EF//A1B, AC1⊥EF, 同理可证 AC1⊥GF ∵GF 与 EF 是平面 EFG 内的两条相交直线, ∴AC1⊥面 EFG ……………………………………………………………………………6 分 (2)∵E,F 分别是 AA1,AB 的中点, ∴EF//A1B ∵B1B//C1C ∴∠A1BB1 就是异面直线 EF 与 C1C 所成的角 在 RT⊿A1BB1 中,∠ABB=45? ∴EF 与 CC1 所成的角为 45? ………………………………………………………………12 分 22、 (本题满分 14 分) 解: (1)当直线 AB 的斜率 k 不存在,即直线 AB 垂直于 x 轴时,显然有:

p2 ; y1 y2 ? ? p 2 .…………………………………………………2 分 4 当直线 AB 的斜率 k 存在,即直线 AB 不垂直于 x 轴时: p 根据题意可设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? ) 与 y 2 ? 2 px 联立,消去 y 得: 2 2 2 p k k 2 x 2 ? ( pk 2 ? 2 p) x ? ? 0 (k ? 0) 4 p2 由韦达定理得: x1 x 2 ? ………………………………………………………………………5 分 4 2 2 因为 A、B 两点均在抛物线上,所以有: y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 x1 x 2 ? p2 2 4 两式相乘得: ( y1 y2 ) ? 4 p x1 x2 ,将 x1 x 2 ? 代入得: ( y1 y 2 ) ? p 4 2 所以 y1 y2 ? ? p . ………………………………………………………………………………8 分 (在证明 y1 y2 ? ? p 2 时,也可联立方程消去 x 得: ky 2 ? 2 py ? p 2 k ? 0 (k ? 0) ,由韦达定理得:
2 2

y1 y2 ? ? p 2 ).
(2)∵ FA ? x1 ?

p p , FB ? x 2 ? ………………………………………………………10 分 2 2 4( x1 ? x2 ) ? 4 p 1 1 1 1 ∴ …………………12 分 ? ? ? ? p p 4 x1 x2 ? 2 p( x1 ? x2 ) ? p 2 FA FB x1 ? x2 ? 2 2

由题(1)得: x1 x 2 ?

p2 pk 2 ? 2 p x1 ? x2 ? , , 4 k2
…………………………………………………………14 分

代入上式化简得:

1 1 2 ? ? FA FB p


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