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解答题训练五解析几何经典例题讲解


解答题训练五 解析几何经典例题讲解
1. (天津文)18. (本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 。 点 P( a, b)满 足 a 2 b2

| PF | | F F | . 2 ? 1 2
(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ;

(Ⅱ) 设直线 PF2 与椭圆相交于 A, 两点, B 若直线 PF2 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相 交于 M,N 两点,且 | MN |?

5 | AB | ,求椭圆的方程。 8

(Ⅰ)解:设 F (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,因为 | PF2 |?| F F2 | , 1 1

c ?c? c 2 2 所以 ( a ? c) ? b ? 2c ,整理得 2 ? ? ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1 (舍) a ?a? a


2

c 1 1 ? , 所以e ? . a 2 2
2 2 2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c ,直线 FF2 的方程为 y ?

3( x ? c).
?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 , ? ? y ? 3( x ? c). ?
2 消去 y 并整理,得 5x ? 8cx ? 0 。解

A,B 两点的坐标满足方程组 ?

8 ? ? x2 ? 5 c, x1 ? 0, ? 8 ? ? 得 x1 ? 0, x2 ? c ,得方程组的解 ? ? 5 3 3 ? y1 ? ? 3c, ? ? y ? c. ? 2 5 ?
不妨设 A ? c,

?8 ?5 ?

3 3 ? c ? , B(0, ? 3c) , 5 ? ?
2

2 ? 16 ?8 ? ?3 3 所以 | AB |? ? c ? ? ? c ? 3c ? ? c. ? 5 ? 5 ?5 ? ? ? 5 于是 | MN |? | AB |? 2c. 8

圆心 ?1, 3 到直线 PF2 的距离 d ?
2

?

?

| ? 3 ? 3 ? 3c | 3|2?c| ? . 2 2

因为 d 2 ? ?

3 ? | MN | ? 2 2 2 ? ? 4 ,所以 4 (2 ? c) ? c ? 16. ? 2 ? 26 (舍) ,或 c ? 2. 7

整理得 7c2 ? 12c ? 52 ? 0 ,得 c ? ?

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆方程为 16 12
2. (北京文)19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I 2 a b 3

的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积. 【解析】 (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2,

c 6 ? . 解得 a ? 2 3. 又 b2 ? a2 ? c2 ? 4. 所以椭圆 G a 3

的方程为

x2 y 2 ? ? 1. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m. 12 4

?y ? x ? m ? 2 2 由 ? x2 得 4x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0. y2 ?1 ? ? ? 12 4
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x 2 3m m ?? , y 0 ? x0 ? m ? 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 4 2 4
2?

m 4 ? ?1. 所以 PE⊥AB.所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4
解得 m=2。此时方程①为 4x ? 12x ? 0.
2

解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以|AB|= 3 2 . 此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

所以△PAB 的面积 S=

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

3. (全国大纲文)22. (本小题满分 l2 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率 2

为 - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足

??? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? OP ? 0.
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (II)设点 P 关于 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四 点在同一圆上。 【解析】22.解: (I)F(0,1) l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 , , 代入 x ?
2

y2 ? 1并化简得 2
…………2 分

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), 则 x1 ?

2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4

x1 ? x2 ?

2 , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2
2 , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1. 2

由题意得 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ?

所以点 P 的坐标为 (?

2 2 , ?1) 满足方程 , ?1). 经验证,点 P 的坐标为 (? 2 2

x2 ?

y2 ? 1, 故点 P 在椭圆 C 上。 2
2 2 ,1) , ?1) 和题设知, Q( 2 2 2 x. 2


(II)由 P ( ?

PQ 的垂直一部分线 l1 的方程为 y ? ?

设 AB 的中点为 M,则 M (

2 1 2 1 x? . , ) ,AB 的垂直平分线为 l2 的方程为 y ? 2 4 4 2

②由①、②得 l1 , l2 的交点为 N (? …………9 分

2 1 , )。 8 8

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 ? ) ? (?1 ? ) 2 ? , 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |? 1 ? (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |? | AM |? 3 2 , 4

| MN |? (

2 2 2 1 1 2 3 3 ? ) ?( ? ) ? , 4 8 2 8 8 3 11 , 8

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上 …………12 分 4. (全国新文)20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. ( Ⅰ ) 曲 线 y ? x ? 6x ? 1 与 y 轴 的 交 点 为 ( 0 , 1 ) , 与 x 轴 的 交 点 为
2

( 3 ? 2 2,0), (3 ? 2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32 ? (t ? 1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 , 解得 t=1.
2 2 则圆 C 的半径为 3 ? (t ? 1) ? 3.

所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9.
2 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),其坐标满足方程组:

? x ? y ? a ? 0, ? 消去 y,得到方程 ? 2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9. ?

2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0. 由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a 2 ? 0.

因此, x1, 2 ?

(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4
a 2 0 ? 2a ? 1 2

, 从而

x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 x2 ?



由于 OA⊥OB,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a, 所以

2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0.
a ? ?1.
6. (江西文)19. (本小题满分 12 分)

由 ① , ② 得 a ? ?1 , 满 足 ? ? 0, 故

已知过抛物线 y ? ? px( p ? ?) 的焦点, 斜率为 ? ? 的直线交抛物线于 A( x? , y? ) 和

B( x? , y? )( x? ? x? ) 两点,且 AB ? ? ,
(1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值. 【解析】19. (本小题满分 12 分) (1)直线 AB 的方程是 y ? 2 2( x ?

p ), 2 5p 由抛物线定义得: 4

与 y 2 ? 2 px 联立,从而有 4 x2 ? 5 px ? p2 ? 0, 所以: x1 ? x2 ?

| AB |? x1 ? x2 ? p ? 9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y 2 ? 8x.
(2)由 p ? 4, 4 x ? 5 px ? p ? 0 可简化为 x2 ? 5x ? 4 ? 0, 从而x1 ? 1, x2 ? 4,
2 2

y1 ? ?2 2, y2 ? 4 2, 从而 A(1, ?2 2), B(4, 4 2)
设 OC ? ( x3 , y3 ) ? (1 ? 2 2) ? ?(4,4 2) ? (4? ?1,4 2? ? 2 2) 又 y3 ? 8x3 ,即 [2 2(2? ?1)] ? 8(4? ?1), 即 (2? ?1) ? 4? ? 1
2 2
2

??? ?

解得 ? ? 0, 或? ? 2. 7. (山东文)22. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 3

且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直 线 x ? ?3 于点 D(?3, m) .

(Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE ,
2

(i)求证:直线 l 过定点; (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ? ABG 的外接圆方程;若 不能,请说明理由. 【解析】22. (I)解:设直线 l的方程为y ? kx ? t (k ? 0) , 由题意, t ? 0.

? y ? kx ? t , ? 由方程组 ? x 2 得 2 ? ? y ? 1, ?3

(3k 2 ? 1) x2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 3 ? 0 ,
由题意 ? ? 0 , 所以 3k 2 ? 1 ? t 2 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

6kt 2t , 所以 y1 ? y2 ? 2 . 2 3k ? 1 3k ? 1 3kt t , yE ? 2 , 由于 E 为线段 AB 的中点,因此 xE ? 2 3k ? 1 3k ? 1
由韦达定理得 x1 ? x2 ? ? 此时 kOE ?

1 yE 1 ? ? . 所以 OE 所在直线方程为 y ? ? x, 3k xE 3k 1 ,即 mk=1, k

又由题设知 D(-3,m) ,令 x=-3,得 m ?
2 2

所以 m ? k ? 2mk ? 2, 当且仅当 m=k=1 时上式等号成立, 此时 由 ? ? 0 得 0 ? t ? 2, 因此 当 m ? k ? 1且0 ? t ? 2 时,

m2 ? k 2 取最小值 2。
(II) (i)由(I)知 OD 所在直线的方程为 y ? ? 将其代入椭圆 C 的方程,并由 k ? 0, 解得 G (?

1 x, 3k

3k 3k ? 1
2

,

1 3k ? 1
2

) ,又 E (?

3k t 1 , 2 ), D( ?3, ) , 2 3k ? 1 3k ? 1 k

由距离公式及 t ? 0 得

| OG |2 ? (?

3k 3k 2 ? 1

)2 ? (

1 3k 2 ? 1

)2 ?

9k 2 ? 1 , 3k 2 ? 1

1 9k 2 ? 1 | OD |? (?3) 2 ? ( ) 2 ? , k k 3kt 2 t t 9k 2 ? 1 2 | OE |? (? 2 ) ? ( 2 ) ? , 3k ? 1 3k ? 1 3k 2 ? 1
由 | OG |2 ?| OD | ? | OE | 得t ? k , 因此,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1). 所以,直线 l恒过定点(?1,0). (ii)由(i)得 G (?

3k 3k ? 1
2

,

1 3k 2 ? 1

)

若 B,G 关于 x 轴对称, 则 B(?

3k 3k 2 ? 1

,?

1 3k 2 ? 1

).

代入 y ? k ( x ? 1)整理得3k 2 ? 1 ? k 3k 2 ? 1,
4 2 即 6k ? 7k ? 1 ? 0 ,

2 解得 k ?

1 2 (舍去)或 k ? 1, 6 3 1 3 1 , ? ), G (? , ) 关于 x 轴对称。 2 2 2 2

所以 k=1, 此时 B (?

又由(I)得 x1 ? 0, y1 ? 1, 所以 A(0,1) 。 由于 ?ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,可设 ?ABG 的外接圆的圆心为(d,0) ,
2 2 因此 d ? 1 ? (d ? ) ?

3 2

1 1 , 解得d ? ? , 4 2

故 ?ABG 的外接圆的半径为 r ?

d 2 ?1 ?
1 2

5 , 2
5 . 4

2 2 所以 ?ABG 的外接圆方程为 ( x ? ) ? y ?

8. (陕西文)17. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为 2 5 a b

(Ⅰ)求 C 的方程;

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标。 5 16 【解析】17.解(Ⅰ)将(0,4)代入 C 的方程得 2 ? 1 ∴b=4 b
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 又e ?

a 2 ? b2 9 x2 y 2 c 3 16 9 ? ? ?1 ? 得 即1 ? 2 ? , ∴a=5 ∴C 的方程为 a 5 a 25 25 16 a2 25
4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? , 5 5

( Ⅱ)过点 ? 3,0 ? 且斜率为

设直线与C的交点为A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? , 将直线方程 y ?
2

4 ? x ? 3? 代入C的方程,得 5

x2 ? x ? 3? ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ,解得 25 25
x1 ?
y?

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? ,? 2 2

AB 的中点坐标 x ?

x1 ? x2 3 ? , 2 2

y1 ? y2 2 6 ?3 6? ? ? x1 ? x2 ? 6 ? ? ? ,即中点为 ? , ? ? 。 2 5 5 ?2 5?

9. (上海文)22. (16 分)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(常数 m ? 1 ) P 是 C 上的动点,M ,点 m2

是右顶点,定点 A 的坐标为 (2, 0) 。 (1)若 M 与 A 重合,求 C 的焦点坐标; (2)若 m ? 3 ,求 | PA | 的最大值与最小值; (3)若 | PA | 的最小值为 | MA | ,求 m 的取值范围。 【解析】22.解:⑴ m ? 2 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1, c ? 4 ? 1 ? 3 4



左.右焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) 。



x2 m ? 3 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1,设 P( x, y) ,则 9 x2 8 9 1 ? ( x ? )2 ? (?3 ? x ? 3) 9 9 4 2

| PA |2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? 1 ?



x?

9 2 时 | PA |min ? ; 4 2

x ? ?3 时 | PA |max ? 5 。

⑶ 设动点 P( x, y) ,则

| PA |2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ?

x 2 m2 ? 1 2m 2 4m 2 ? ( x ? 2 )2 ? 2 ? 5(?m ? x ? m) m m2 m ?1 m ?1

m2 ? 1 ? 0 ,∴ ∵ 当 x ? m 时, | PA | 取最小值,且 m2
解得 1 ? m ? 1 ? 2 。

2m 2 ? m且m ?1 m2 ? 1

10. (四川文)21. (本小题共 l2 分) 3 x2 y 2 过点 C(0, 1)的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0) 、 2 a b A(?a,0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直 线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; ??? ???? ? (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考 查平面解析几何的思想方法及推理运算能力. c 3 x2 解: (Ⅰ)由已知得 b ? 1, ? ,解得 a ? 2 ,所以椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . a 2 4 3 x ? 1 ,代入椭圆方程得 椭圆的右焦点为 ( 3,0) ,此时直线 l 的方程为 y ? ? 3
7 x2 ? 8 3x ? 0 , 解 得 x1 ? 0, x2 ?

8 3 ,代入直线 l 的方程得 7

y1 ? 1, y2 ? ?

1 ,所以 7

D(

8 3 1 ,? ), 7 7

故 | CD |? (

8 3 1 16 . ? 0)2 ? (? ? 1)2 ? 7 7 7

(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0且k ? ) .代入椭圆方程得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 0 . 2 1 ? 4k 2 ?8k 解得 x1 ? 0, x2 ? 2 ,代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? 2 , 4k ? 1 4k ? 1 ?8k 1 ? 4k 2 所以 D 点的坐标为 ( 2 , ). 4k ? 1 4k 2 ? 1 ? x ? ?4k , x 1 ? 2k 又直线 AC 的方程为 ? y ? 1 , 又直线 BD 的方程为 y ? 联立得 ? ( x ? 2) , 2 2 ? 4k ? y ? 2k ? 1.
1 因此 Q(?4k , 2k ? 1) ,又 P(? ,0) . k

??? ???? ? 1 所以 OP ? OQ ? (? ,0)(?4k , 2k ? 1) ? 4 . k ??? ???? ? 故 OP ? OQ 为定值.

12. (重庆文)21. (本小题满分 12 分。 (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e= (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足:OP ? OM ? 2ON ,其中 M、 N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积 为?

2 ,一条准线的方程是 x ? 2 2 2

??? ?

???? ?

????

1 ,问:是否存在定点 F,使得 PF 与点 2

P 到直线 l: x ? 2 10 的距离之比为定值;若 存在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由。 【解析】21. (本题 12 分) 解: (I)由 e ? 解得 a ? 2, c ?

c 2 a2 ? , ? 2 2, a 2 c

2, b2 ? a2 ? c2 ? 2 ,故椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2
(II)设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由

??? ???? ? ? ???? OP ? OM ? 2ON 得
( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以
2 2
2 2 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4 , 2 2 2 2 故 x2 ? 2 y2 ? ( x1 ? 4x2 ? 4x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, x1 x2 2

所以 x2 ? 2 y 2 ? 20. 所以 P 点是椭圆

x2 (2 5)2

?

y2 ( 10)2

? 1上的点,该椭圆的右焦点为 F ( 10,0) ,离心率

e?

2 , 直线l : x ? 2 10 是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点 2

F ( 10,0) ,使得|PF|与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。
13. (安徽文) (17) (本小题满分 13 分)

k 设直线 l1 : y ? k1 x ? 1, l 2 : y ? k 2 x ? 1, 其中实数 1 , k 2 满足k1k 2 ? 2 ? 0.
(I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1上. 【解析】 (17) (本小题满分 13 分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证 明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力. 证明: (I)反证法,假设是 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,有 k1=k2,代入 k1k2+2=0, 得
2 2

k12 ? 2 ? 0.
此与 k1 为实数的事实相矛盾. 从而 k1 ? k 2 ,即l1与l 2 相交. (II) (方法一)由方程组 ?

? y ? k1 x ? 1 ? y ? k2 x ?1

2 ? ?x ? k ? k , ? 2 1 解得交点 P 的坐标 ( x, y ) 为 ? ? y ? k 2 ? k1 . ? k 2 ? k1 ?

2 2 k ? k1 2 8 ? k 2 ? k12 ? 2k1k 2 k12 ? k 2 ? 4 2 )2 ? ( 2 ) ? ? 2 ? 1. 2 2 k 2 ? k1 k 2 ? k1 k 2 ? k12 ? 2k1k 2 k1 ? k 2 ? 4

2 x 2 ? y 2 ? 2(

此即表明交点 P( x, y)在椭圆2 x ? y ? 1上.
2 2

(方法二)交点 P 的坐标 ( x, y ) 满足

? y ? 1 ? k1 x ? ? y ? 1 ? k2 x y ?1 ? ?k1 ? x , ? 故知x ? 0.从而? ?k ? y ? 1 . ? 2 x ? y ?1 y ?1 代入k1 k 2 ? 2 ? 0, 得 ? ? 2 ? 0. x x
整理后,得 2 x 2 ? y 2 ? 1, 所以交点 P 在椭圆 2 x 2 ? y 2 ? 1上. 14. (福建文)18. (本小题满分 12 分) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (I)求实数 b 的值; (11)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的 方程. 。 【解析】18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、 数形结合思想, 满分 12 分。 解: (I)由 ?

? y ? x ? b, ?x ? 4 y
2

(*) 得x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 ,

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4) ? 4 ? (?4b) ? 0,
2

解得 b=-1。 (II)由(I)可知 b ? ?1, 故方程(*)即为x ? 4 x ? 4 ? 0 ,
2

解得 x=2,代入 x ? 4 y, 得y ? 1.
2

故点 A(2,1) , 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r ?|1 ? (?1) |? 2, 所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4.
2 2

15. (湖北文)21. (本小题满分 14 分)平面内与两定点 A ? ?a,0? 、 A2 ? a , 0 ? ( a ? 0 ) 1

连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加上 A 1 、 2 2两点所成的曲线 C 可以是圆、 A 椭圆或双曲线。

A

(Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1,0) ? (0,??) ,对应的曲线为 C2 , 设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦点。试问:在 C1 上,是否存在点 N ,使得△ F1 N F2 的面积

S ?| m | a2 。若存在,求 tan F1 N F2 的值;若不存在,请说明理由。
【解析】 21. 本小题主要考查曲线与方程、 圆锥曲线等基础知识, 同时考查推理运算的能力, 以及分类与整合和数形结合的思想。 (满分 14 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) , 当 x ? ? a 时,由条件可得 kMA1 ? kMA2 ? 即 mx2 ? y 2 ? ma2 ( x ? ?a) , 又 A (?a,0), A2 ( A,0) 的坐标满足 mx ? y ? ma , 1
2 2 2

y y y2 ? ? 2 ? m, x ? a x ? a x ? a2

故依题意,曲线 C 的方程为 mx2 ? y 2 ? ma 2 .

时 当 m ? ?1 , 曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, C 是焦点在 y 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2
2 2 2

当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a ,C 是圆心在原点的圆; 当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2

x2 y2 ? 1, C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 2 ? a ma 2
(II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x ? y ? a ;
2 2 2

当 m? (?1,0) ? (0, ??) 时, C2 的两个焦点分别为 F (?a 1 ? m,0), F2 (a 1 ? m,0). 1 对于给定的 m? (?1,0) ? (0, ??) , C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得 S ?| m | a 的充要条件是
2
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2a 1 ? m | y0 |?| m | a . ?2

① ②

由①得 0 ?| y0 |? a, 由②得 | y0 |?

|m|a . 1? m

当0 ?

| m| a 1? 5 ? a,即 ? m ? 0, 2 1? m
1? 5 时, 2

或0 ? m ?

存在点 N,使 S=|m|a2; 当

|m| a 1? 5 ? a,即-1<m< , 2 1? m
1? 5 时, 2
?1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? , 0 ? ? ? 0, ? 时, ? ? 2 2 ? ? ? ?

或m ?

不存在满足条件的点 N, 当 m??

由 NF ? (?a 1 ? m ? x0 ? y0 ), NF2 ? (a 1 ? m ? x0 , ? y0 ) , 1 可得 NF ? NF2 ? x0 ? (1 ? m)a ? y0 ? ?ma , 1
2 2 2 2

????

???? ?

???? ???? ?

令 | NF |? r ,| NF2 |? r2 , ?F NF2 ? ? , 1 1 1 则由 NF1 ? NF2 ? r1r2 cos ? ? ?ma , 可得r1r2 ? ?
2

????

???? ?

???? ???? ?

ma 2 , cos ?

1 ma 2 sin ? 1 ? ? ma 2 tan ? , 从而 S ? r1r2 sin ? ? ? 2 2cos ? 2
于是由 S ?| m | a ,
2

可得 ?

1 2|m| ma 2 tan ? ?| m | a 2 , 即 tan ? ? ? . 2 m

综上可得: 当m??

?1 ? 5 ? , 0 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a2 , 且 tan F1NF2 ? 2; ? ? 2 ?

当 m ? ? 0,

? 1? 5 ? 2 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? ?2; ? 2 ? ?

当 m(?1,

1? 5 1? 5 )?( , ??) 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。 2 2

16. (湖南文)21. (本小题满分 13 分) 已知平面内一动点 P 到点 F (1, 0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B ,l2 与轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD, EB 的最小值. 【解析】21.解析: (I)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 由题意为 ( x ? 1) ? y ? | x |? 1.

???? ??? ?

化简得 y 2 ? 2 x ? 2 | x |, 当 x ? 0时, y 2 ? 4 x;当x ? 0时,y=0. 、 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y 2 ? 4x( x ? 0)和y=0(x ? 0). (II)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1) ,得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0. y2 ? 4x ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是

4 x1 ? x2 ?2 ? 2 , x1 x2 ?1 . k
因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ?

1 . k

设 D( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), 则同理可得 x3 ? x4 ? 2 ? 4k 2 , x3 x4 ? 1 故

? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? 1

2 当且仅当 k ?

???? ??? ? 1 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. k2


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