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精品教案 1.1.2 集合间的基本关系


1.1.2

集合间的基本关系
整体设计

教学分析 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小 关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本 注重体现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用 Venn 图,这有助于学生通过 体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生 区 分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与?的区别. 三维目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关 系,提高利用类比发现新结论的能力. 2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系,加强学 生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点 教学重点:理解集合间包含与相等的含义. 教学难点:理解空集的含义. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.实数有相等、大小关系,如 5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关系,你会想 到集合之间有什么关系呢?(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生) 欲知谁正确,让我们一起来观察、研探. 思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系, 填空: (1)0____N; (2) 2____Q; (3)-1.5____R. 类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢? (答案:(1)∈;(2)?;(3)∈) 推进新课 新知探究 提出问题 (1)观察下面几个例子: ①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; ②设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全 体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集 合; ③设 C={x|x 是两条边相等的三角形},D={x|x 是等腰三角形}; ④E={2,4,6},F={6,4,2}. 你能发现两个集合间有什么关系吗? (2)例子①中集合 A 是集合 B 的子集,例子④中集合 E 是集合 F 的子集,同样是子集, 有什么区别? (3)结合例子④,类比实数中的结论:“若 a≤b,且 b≤a,则 a=b”,在集合中,你发 现了什么结论? (4)升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看, 每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看到的,要想直观表示集合, 联想集合还能用什么表示? (5)试用 Venn 图表示例子①中集合 A 和集合 B. (6)已知 A?B,试用 Venn 图表示集合 A 和 B 的关系. (7)任何方程的解都能组成集合,那么 x2+1=0 的实数根也能组成集合,你能用 Venn 图表示这个集合吗?
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(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元 素,应该如何命名呢? (9)与实数中的结论“若 a≥b,且 b≥c,则 a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结 论? 活动:教师从以下方面引导学生: (1)观察两个集合间元素的特点. (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果 A?B,但存在 x∈B,且 x?A,我 们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A). (3)实数中的“≤”类比集合中的?. (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是 把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面 上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制. (6)分类讨论:当 A?B 时,A B 或 A=B. (7)方程 x2+1=0 没有实数解. (8)空集记为 ? ,并规定:空集是任何集合的子集,即 ? ?A;空集是任何非空集合的 真子集,即 ? A(A≠ ? ). (9)类比子集. 讨论结果:(1)①集合 A 中的元素都在集合 B 中;②集合 A 中的元素都在集合 B 中;③ 集合 C 中的元素都在集合 D 中;④集合 E 中的元素都在集合 F 中. (2)例子①中 A?B,但有一个元素 4∈B,且 4?A;而例子④中集合 E 和集合 F 中的元 素完全相同. (3)若 A?B,且 B?A,则 A=B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图 1 所示表示集合 A,如图 2 所示表示集合 B.

图1

图2 (6)如图 3 和图 4 所示.

图3

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图4 (7)不能.因为方程 x2+1=0 没有实数解. (8)空集. (9)若 A?B,B?C,则 A?C;若 A B,B C,则 A C. 应用示例 思路 1 例 1 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用 A 表示合格产 品的集合,B 表示重量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.已知集合 A,B, C 均不是空集. (1)则下列包含关系哪些成立? A?B,B?A,A?C,C?A. (2)试用 Venn 图表示集合 A,B,C 间的关系. 活动:学生思考集合间的关系以及 Venn 图的表示形式.当集合 A 中的元素都属于集合 B 时,则 A?B 成立,否则 A?B 不成 立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师 提示学生注意以下两点: (1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格; 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合 A,B,C 间的关系来画出 Venn 图. 解:(1)包含关系成立的有:A?B,A?C. (2)集合 A,B,C 间的关系用 Venn 图表示,如图 5 所示.

图5 变式训练 课本本节练习 3. 点评:本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素 具体是什么. 判断两个集合 A,B 之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合 A,B 中的 元素,再分析集合 A,B 中的元素之间的关系,得:集合 A 中的元素都属于 集合 B 时,有 A?B;当集合 A 中的元素都属于集合 B,集合 B 中至少有一 个元素不属于集合 A 时,有 A B;当集合 A 中的元素都属于集合 B,并且 集合 B 中的元素也都属于集合 A 时,有 A=B;当集合 A 中至少有一个元素 不属于集合 B,并且集合 B 中至少有一个元素也不属于集合 A 时,有 A B, 且 B A,即集合 A,B 互不包含. 例 2 写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 活动:学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合 不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论. 解:集合{a,b}的所有子集为 ? ,{a},{b},{a,b}.真子集为 ? ,{a},{b}. 变式训练 已知集合 P={1,2},那么满足 Q?P 的集合 Q 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 .1 解析:集合 P={1,2}含有 2 个元素,其子集有 22=4 个, 又集合 Q?P,所以集合 Q 有 4 个. 答案:A
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点评:本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集 中所含元素的个数来写 出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏. 思考:集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有多少个子集?多少个真子集? 解:当 n=0 时,即空集的子集为 ? ,即子集的个数是 1=20;当 n=1 时,即 含有一个元素的集合如{a}的子集为 ? ,{a},即子集的个数是 2=21;当 n=2 时,即含有两个元素的集合如{a,b}的子集为 ? ,{a},{b},{a,b},即子集 的个数是 4=22.? 集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有 2n 个子集,由于一个集合不是其本身的 真子集,所以集合 A 有(2n-1)个真子集. 思路 2 例 1 已知集合 A={- 1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 活动:先让学生思考 B?A 的含义,根据 B?A,知集合 B 中的元素都属于集合 A,由 集合元素的互异性,列出方程求实数 m 的值.因为 B?A,所以 3∈A,m2∈A.对 m2 的值分 类讨论. 解析:∵B?A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或 m2=2m-1.解得 m=1.∴m=1. 答案:1 点评: 本题主要考查集合和子集的概念, 以及集合元素的互异性. 本题容易出现 m2=3, 其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得 m 的值后,再代入验证. 讨论两集合之间的关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为 解方程或解不等式. 变式训练 已知集合 M={x|2-x<0},集合 N={x|ax=1},若 N M,求实数 a 的取 值范围. 分析:集合 N 是关于 x 的方程 ax=1 的解集,集合 M={x|x>2}≠ ? ,由 于 N M,则 N= ? 或 N≠ ? ,要对集合 N 是否为空集分类讨论. 解:由题意得 M={x|x>2}≠ ? ,则 N= ? 或 N≠ ? .当 N= ? 时,关于 x 的方程 ax=1 无解,则有 a=0;当 N≠ ? 时,关于 x 的方程 ax=1 有解, 1 1 1 1 则 a≠0,此时 x= ,又∵N M,∴ ∈M.∴ >2.∴0<a< .综上所得, a a a 2 ? 1 ? 1 0≤a< ?. 实 数 a 的取值范围是 a=0 或 0<a< , 即实数 a 的取值范围是?a? 2 ? ? 2 ? 例 2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数: ? ,{a},{a,b},{a,b,c}. (2)由(1)你发现集合 M 中含有 n 个元素 ,则集合 M 有多少个子集? 活动:学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出 子集;(2)由(1)总结当 n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 解:(1) ? 的子集有: ? ,即 ? 有 1 个子集; {a}的子集有: ? ,{a},即{a}有 2 个子集; {a,b}的子集有: ? ,{a},{b},{a,b},即{a,b}有 4 个子集; {a,b,c}的子集有: ? ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},即 {a,b,c}有 8 个子集. (2)由(1)可得:当 n=0 时,集合 M 有 1=20 个子集; 当 n=1 时,集合 M 有 2=21 个子集; 当 n=2 时,集合 M 有 4=22 个子集; 当 n=3 时,集合 M 有 8=23 个子集; 因此含有 n 个元素的集合 M 有 2n 个子集. 变式训练 已知集合 A {2,3,7},且 A 中至多有一个奇数,则这样的集合 A 有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解析:对集合 A 所含元素的个数分类讨论. A= ? 或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有 6 个.
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答案:D 点评:本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合 M 中 含有 n 个元素,则集合 M 有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,记住这个结论, 可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生 重复和遗漏现象. 知能训练 课本本节练习 1,2. 【补充练习】 1.判断正误: (1)空集没有子集.( ) (2)空集是任何一个集合的真子集.( ) (3)任一集合必有两个或两个以上的子集.( ) (4)若 B?A,那么凡不属于集合 A 的元素,则必不属于 B.( ) 分析:关于判断题应确实把握好概念的实质. 解:该题的 4 个命题,只有(4)是正确的,其余全错. 对于(1),(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲,当 x∈B 时必有 x∈A,则 x?A 时也必有 x?B. 2.集合 A={x|-1<x<3,x∈Z},写出 A 的真子集. 分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有 n 个元素的 集合的子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,则该题先找该集合的元素,后找真子集. 解:因-1<x<3,x∈Z,故 x=0,1,2, 即 A={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}. 真子集: ? ,{1},{2},{0},{0,1},{0,2},{1,2},共 7 个. 3.(1)下列命题正确的是( ) A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.{1} 是质数集的真子集 (2)以下五个式子中,错误的个数为( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1 , - 3} = { - 3,1} ③{0,1,2} ? {1,0,2} ④ ? ∈{0,1,2} ? ⑤ ∈{0} A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( ) A.a M B.a?M C.{a}∈M D.{a} M 解析:(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项,必须对概念把握准确,无限 集的真子集有可能是无限集,如 N 是 R 的真子集,排除 A;由于 ? 只有一个子集,即它本 身,排除 B;由于 1 不是质数,排除 D. (2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系. ①应是{1}?{0,1,2},④应是 ? ?{0,1,2},⑤应是 ? ?{0}. 故错误的有①④⑤. (3)M={x|3<x<4},a=π. 因 3<a<4,故 a 是 M 的一个元素, 因此{a}是{x|3<x<4}的真子集,那么{a} M. 答案:(1)C (2)C (3)D 4.判断如下集合 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}; (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}. 解:(1)因 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},
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故 A,B 都是由奇数构成的,即 A=B. (2)因 A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},又 x=4n=2· 2n, 在 x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在 x=4n 中,2n 只能是偶数. 故集合 A,B 的元素都是偶数,但 B 中元素是由 A 中部分元素构成,则有 B A. 点评:此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求. 5.已知集合 P={x|x2+x-6=0},Q={ x|ax+1=0}满足 Q P,求 a 所取的一切值. 解:因 P={x|x2+x-6=0}={2,-3},当 a=0 时,Q={x|ax+1=0}= ? ,Q P 成 ? 1? 1 1 立.又当 a≠0 时,Q={x|ax+1=0}=?-a?,要 Q P 成立,则有- =2 或- =-3,a a a ? ? 1 1 1 1 =- 或 a= .综上所述,a=0 或 a=- 或 a= . 2 3 2 3 点评:这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉 a=0,ax+1=0 无解,即 Q 为空集的情况,而当 Q= ? 时,满足 Q P. 6.已知集合 A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使 A P ?B,求满足条件的集合 P. 解:A={x∈R|x2-3x+4=0}= ? , B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4}, 由 A P?B 知集合 P 非空,且其元素全属于 B,即有满足条件的集合 P 为 {1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}. 点评:要解决该题,必须确定满足条件的集合 P 的元素,而做到这点,必须明确 A,B, 充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件. 7.设 A={0,1},B={x|x?A},则 A 与 B 应具有何种关系? 解:因 A={0,1},B={x|x?A}, 故 x 为 ? ,{0},{1},{0,1},即{0,1}是 B 中一元素.故 A∈B. 点评:注意该题的特殊性,一集 合是另一集合的元素. 8.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (3)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ? 满足 B?A. ? ?m+1≥-2, 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B?A 成立,需? 可得 2≤m≤3. ?2m-1≤5, ? 综上所得实数 m 的取值范围为 m≤3. (2)当 x∈Z 时,A={-2,- 1,0,1,2,3,4,5}, ∴A 的非空真子集的个数为 28-2=254. (3)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立. 则①若 B= ? 即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件; ? ? ?m+1≤2m-1, ?m+1≤2m-1, ②若 B≠ ? ,则要满足条件:? 或? 解之,得 m>4. ?m+1>5 ?2m-1<-2, ? ? 综上有 m<2 或 m>4. 点评:此问题解决要注意:不应忽略 ? ;找 A 中的元素;分类讨论思想的运用. 拓展提升 问题:已知 A?B,且 A?C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合 A 共有多少个? 活动:学生思考 A?B,且 A?C 所表达的含义.A?B 说明集合 A 是集合 B 的 子集, 即集合 A 中元素属于集合 B,同理有集合 A 中元素属于集合 C.因此集合 A 中的元素是集合 B 和集合 C 的公共元素. 思路 1:写出由集合 B 和集合 C 的公共元素组成的集合,得满足条件的集合 A;
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思路 2:分析题意,仅求满足条件的集合 A 的个数,转化为求集合 B 和集合 C 的公共 元素所组成的集合的子集个数. 解法 1:因 A?B,A?C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足 A?B,有: ? , {0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4}, {3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3}, {1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共 25=32(个). 又满足 A?C 的集合 A 有:? , {0}, {2}, {4}, {8}, {0,2}, {0,4}, {0,8}, {2,4}, {2,8}, {4,8},{0,2,4},{0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共 24=16(个). 其中同时满足 A?B, A?C 的有 8 个:? , {0}, {2}, {4}, {0,2}, {0,4}, {2,4}, {0,2,4}, 实际上到此就可看出,上述解法太繁. 解法 2:题目只求集合 A 的个数,而未让说明 A 的具体元素,故可将问题等价转化为求 B,C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有 0,2,4,组成集合的子集有 23 =8(个). 点评:有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结 论要熟练掌握,其应用非常广泛. 课堂小结 本节课学习了: ①子集、真子集、空集、Venn 图等概念; ②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集; ③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. 作业 课本习题 1.1A 组 5. 设计感想 本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知, 在实际教学中, 要留给学生适当的思 考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是 高中数学课程追求的基本理念, 学生的数学学习活动不能仅限于对概念、 结论和技能的记忆、 模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方 式. 备课资料 【备选例题】 【例 1】下面的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种 几何图形之间的关系,问集合 A,B,C,D,E 分别是哪种图形的集合?

图6 思路分析:结合 Venn 图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来 确定. 解:梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故 A={四边形};梯形不是平行四 边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故 B={梯形},C={平行四边形}; 正方形是菱形,故 D={菱形},E={正方形},即 A={四边形},B={梯形},C={平行四边 形},D={菱形},E={正方形}. 【例 2】设集合 A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2},则满足 B A 的 a 的值共 有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
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解析:由已知得 A={x||x|=1,或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合 B 是关于 x 的方程(a- 2)x=2 的解集,∵B A,∴B= ? 或 B≠ ? .当 B= ? 时,关于 x 的方程(a-2)x=2 无解, 2 2 ∴a-2=0.∴a=2.当 B≠ ? 时,关于 x 的方程(a-2)x=2 的解 x= ∈A,∴ =-2 a-2 a-2 2 2 2 或 =-1 或 =1 或 =2.解得 a=1 或 0 或 4 或 3,综上所得,a 的值共有 5 个. a-2 a-2 a-2 答案:D 【例 3】集合 A={x|0≤x<3,且 x∈N}的真子集 的个数是( ) ... A.16 B.8 C.7 D.4 解析:A={x|0≤x<3,且 x∈N}={0,1,2},则 A 的真子集有 23-1=7(个). 答案:C 【例 4】已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合 B 是不是集合 A 的子集?是否存在实数 a 使 A=B 成立? 思路分析:先在数轴上表示集合 A,然后化简集合 B,由集合元素的互异性,可知此时 应考虑 a 的取值是否为 1,要使集合 B 成为集合 A 的子集,集合 B 的元素在数轴上的对应 点必须在集合 A 对应的线段上,从而确定字母 a 的分类标准. 解:当 a=1 时,B={1},所以 B 是 A 的子集;当 1<a≤3 时,B 也是 A 的子集;当 a <1 或 a>3 时,B 不是 A 的子集.综上可知,当 1≤a≤3 时,B 是 A 的子集. 由于集合 B 最多只有两个元素,而集合 A 有无数个元素,故不存在实数 a,使 B=A. 点评:分类讨论思想, 就是科学合理地划分类别, 通过“各个击破”, 再求整体解决(即 先化整为零,再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探 索划分的数量界限是分类讨论的关键. 【思考】 (1)空集中没有元素,怎么还是集合?(2)符号“∈”和“?”有什么区别? 剖析:(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的 原因是没有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如,根据集合 1 元素的性质,方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于 =0,x2+4=0 等方 x 程来说,它们的解集中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学 符号来刻画没有元素的集合呢?为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空 集.这就是建立空集这个概念的背景.由此看出,空集的概念是一个规定.又例如,不等式 |x|<0 的解集也是不含任何元素,就称不等式|x|<0 的解集是空集. (2)难点是经常把这两个符号混淆,其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用 范围,并加以对比.符号∈只能适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,其右边只能写 1 集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z, ?Z; 2 符号?只能适用于集合与集合之间, 其左右两边都必须写集合, 说明左边的集合是右边集合 的子集,表示集合与集合之间的关系,如{1}?{1,0}, ? ?{x|x<0}.

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