1.1.2
集合间的基本关系
整体设计
教学分析 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小 关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本 注重体现逻辑思考的方法，如类比等． 值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用 Venn 图，这有助于学生通过 体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生 区 分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与?的区别． 三维目标 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关 系，提高利用类比发现新结论的能力． 2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系，加强学 生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想． 重点难点 教学重点：理解集合间包含与相等的含义． 教学难点：理解空集的含义． 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.实数有相等、大小关系，如 5＝5,5＜7,5＞3 等等，类比实数之间的关系，你会想 到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生) 欲知谁正确，让我们一起来观察、研探． 思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系， 填空： (1)0____N； (2) 2____Q； (3)－1.5____R. 类比实数的大小关系，如 5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？ (答案：(1)∈；(2)?；(3)∈) 推进新课 新知探究 提出问题 (1)观察下面几个例子： ①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； ②设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全 体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集 合； ③设 C＝{x|x 是两条边相等的三角形}，D＝{x|x 是等腰三角形}； ④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}． 你能发现两个集合间有什么关系吗？ (2)例子①中集合 A 是集合 B 的子集，例子④中集合 E 是集合 F 的子集，同样是子集， 有什么区别？ (3)结合例子④，类比实数中的结论：“若 a≤b，且 b≤a，则 a＝b”，在集合中，你发 现了什么结论？ (4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看， 每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合， 联想集合还能用什么表示？ (5)试用 Venn 图表示例子①中集合 A 和集合 B. (6)已知 A?B，试用 Venn 图表示集合 A 和 B 的关系． (7)任何方程的解都能组成集合，那么 x2＋1＝0 的实数根也能组成集合，你能用 Venn 图表示这个集合吗？
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(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元 素，应该如何命名呢？ (9)与实数中的结论“若 a≥b，且 b≥c，则 a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结 论？ 活动：教师从以下方面引导学生： (1)观察两个集合间元素的特点． (2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果 A?B，但存在 x∈B，且 x?A，我 们称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)． (3)实数中的“≤”类比集合中的?. (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是 把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面 上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图． (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制． (6)分类讨论：当 A?B 时，A B 或 A＝B. (7)方程 x2＋1＝0 没有实数解． (8)空集记为 ? ，并规定：空集是任何集合的子集，即 ? ?A；空集是任何非空集合的 真子集，即 ? A(A≠ ? )． (9)类比子集． 讨论结果：(1)①集合 A 中的元素都在集合 B 中；②集合 A 中的元素都在集合 B 中；③ 集合 C 中的元素都在集合 D 中；④集合 E 中的元素都在集合 F 中． (2)例子①中 A?B，但有一个元素 4∈B，且 4?A；而例子④中集合 E 和集合 F 中的元 素完全相同． (3)若 A?B，且 B?A，则 A＝B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合． (5)如图 1 所示表示集合 A，如图 2 所示表示集合 B.
图1
图2 (6)如图 3 和图 4 所示．
图3
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图4 (7)不能．因为方程 x2＋1＝0 没有实数解． (8)空集． (9)若 A?B，B?C，则 A?C；若 A B，B C，则 A C. 应用示例 思路 1 例 1 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用 A 表示合格产 品的集合，B 表示重量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．已知集合 A，B， C 均不是空集． (1)则下列包含关系哪些成立？ A?B，B?A，A?C，C?A. (2)试用 Venn 图表示集合 A，B，C 间的关系． 活动：学生思考集合间的关系以及 Venn 图的表示形式．当集合 A 中的元素都属于集合 B 时，则 A?B 成立，否则 A?B 不成 立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师 提示学生注意以下两点： (1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格； 长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格． (2)根据集合 A，B，C 间的关系来画出 Venn 图． 解：(1)包含关系成立的有：A?B，A?C. (2)集合 A，B，C 间的关系用 Venn 图表示，如图 5 所示．
图5 变式训练 课本本节练习 3. 点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素 具体是什么． 判断两个集合 A，B 之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合 A，B 中的 元素，再分析集合 A，B 中的元素之间的关系，得：集合 A 中的元素都属于 集合 B 时，有 A?B；当集合 A 中的元素都属于集合 B，集合 B 中至少有一 个元素不属于集合 A 时，有 A B；当集合 A 中的元素都属于集合 B，并且 集合 B 中的元素也都属于集合 A 时，有 A＝B；当集合 A 中至少有一个元素 不属于集合 B，并且集合 B 中至少有一个元素也不属于集合 A 时，有 A B， 且 B A，即集合 A，B 互不包含. 例 2 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合 不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论． 解：集合{a，b}的所有子集为 ? ，{a}，{b}，{a，b}．真子集为 ? ，{a}，{b}. 变式训练 已知集合 P＝{1,2}，那么满足 Q?P 的集合 Q 的个数是( ) A．4 B．3 C．2 ．1 解析：集合 P＝{1,2}含有 2 个元素，其子集有 22＝4 个， 又集合 Q?P，所以集合 Q 有 4 个． 答案：A
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点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集 中所含元素的个数来写 出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏． 思考：集合 A 中含有 n 个元素，那么集合 A 有多少个子集？多少个真子集？ 解：当 n＝0 时，即空集的子集为 ? ，即子集的个数是 1＝20；当 n＝1 时，即 含有一个元素的集合如{a}的子集为 ? ，{a}，即子集的个数是 2＝21；当 n＝2 时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为 ? ，{a}，{b}，{a，b}，即子集 的个数是 4＝22.? 集合 A 中含有 n 个元素，那么集合 A 有 2n 个子集，由于一个集合不是其本身的 真子集，所以集合 A 有(2n－1)个真子集. 思路 2 例 1 已知集合 A＝{－ 1,3,2m－1}，集合 B＝{3，m2}．若 B?A，则实数 m＝________. 活动：先让学生思考 B?A 的含义，根据 B?A，知集合 B 中的元素都属于集合 A，由 集合元素的互异性，列出方程求实数 m 的值．因为 B?A，所以 3∈A，m2∈A.对 m2 的值分 类讨论． 解析：∵B?A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或 m2＝2m－1.解得 m＝1.∴m＝1. 答案：1 点评： 本题主要考查集合和子集的概念， 以及集合元素的互异性． 本题容易出现 m2＝3， 其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得 m 的值后，再代入验证． 讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为 解方程或解不等式. 变式训练 已知集合 M＝{x|2－x＜0}，集合 N＝{x|ax＝1}，若 N M，求实数 a 的取 值范围． 分析：集合 N 是关于 x 的方程 ax＝1 的解集，集合 M＝{x|x＞2}≠ ? ，由 于 N M，则 N＝ ? 或 N≠ ? ，要对集合 N 是否为空集分类讨论． 解：由题意得 M＝{x|x＞2}≠ ? ，则 N＝ ? 或 N≠ ? .当 N＝ ? 时，关于 x 的方程 ax＝1 无解，则有 a＝0；当 N≠ ? 时，关于 x 的方程 ax＝1 有解， 1 1 1 1 则 a≠0，此时 x＝ ，又∵N M，∴ ∈M.∴ ＞2.∴0＜a＜ .综上所得， a a a 2 ? 1 ? 1 0≤a< ?. 实 数 a 的取值范围是 a＝0 或 0＜a＜ ， 即实数 a 的取值范围是?a? 2 ? ? 2 ? 例 2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数： ? ，{a}，{a，b}，{a，b，c}． (2)由(1)你发现集合 M 中含有 n 个元素 ，则集合 M 有多少个子集？ 活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出 子集；(2)由(1)总结当 n＝0，n＝1，n＝2，n＝3 时子集的个数规律，归纳猜想出结论． 解：(1) ? 的子集有： ? ，即 ? 有 1 个子集； {a}的子集有： ? ，{a}，即{a}有 2 个子集； {a，b}的子集有： ? ，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有 4 个子集； {a，b，c}的子集有： ? ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即 {a，b，c}有 8 个子集． (2)由(1)可得：当 n＝0 时，集合 M 有 1＝20 个子集； 当 n＝1 时，集合 M 有 2＝21 个子集； 当 n＝2 时，集合 M 有 4＝22 个子集； 当 n＝3 时，集合 M 有 8＝23 个子集； 因此含有 n 个元素的集合 M 有 2n 个子集. 变式训练 已知集合 A {2,3,7}，且 A 中至多有一个奇数，则这样的集合 A 有( ) A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 解析：对集合 A 所含元素的个数分类讨论． A＝ ? 或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有 6 个．
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答案：D 点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合 M 中 含有 n 个元素，则集合 M 有 2n 个子集，有 2n－1 个真子集，记住这个结论， 可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生 重复和遗漏现象. 知能训练 课本本节练习 1,2. 【补充练习】 1．判断正误： (1)空集没有子集．( ) (2)空集是任何一个集合的真子集．( ) (3)任一集合必有两个或两个以上的子集．( ) (4)若 B?A，那么凡不属于集合 A 的元素，则必不属于 B.( ) 分析：关于判断题应确实把握好概念的实质． 解：该题的 4 个命题，只有(4)是正确的，其余全错． 对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集． 对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集． 对于(4)来讲，当 x∈B 时必有 x∈A，则 x?A 时也必有 x?B. 2．集合 A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出 A 的真子集． 分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有 n 个元素的 集合的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个，则该题先找该集合的元素，后找真子集． 解：因－1＜x＜3，x∈Z，故 x＝0,1,2， 即 A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}． 真子集： ? ，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共 7 个． 3．(1)下列命题正确的是( ) A．无限集的真子集是有限集 B．任何一个集合必定有两个子集 C．自然数集是整数集的真子集 D．{1} 是质数集的真子集 (2)以下五个式子中，错误的个数为( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1 ， － 3} ＝ { － 3,1} ③{0,1,2} ? {1,0,2} ④ ? ∈{0,1,2} ? ⑤ ∈{0} A．5 B．2 C．3 D．4 (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是( ) A．a M B．a?M C．{a}∈M D．{a} M 解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限 集的真子集有可能是无限集，如 N 是 R 的真子集，排除 A；由于 ? 只有一个子集，即它本 身，排除 B；由于 1 不是质数，排除 D. (2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系． ①应是{1}?{0,1,2}，④应是 ? ?{0,1,2}，⑤应是 ? ?{0}． 故错误的有①④⑤. (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π. 因 3＜a＜4，故 a 是 M 的一个元素， 因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a} M. 答案：(1)C (2)C (3)D 4．判断如下集合 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系： (1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}； (2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}． 解：(1)因 A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，
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故 A，B 都是由奇数构成的，即 A＝B. (2)因 A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又 x＝4n＝2· 2n， 在 x＝2m 中，m 可以取奇数，也可以取偶数；而在 x＝4n 中，2n 只能是偶数． 故集合 A，B 的元素都是偶数，但 B 中元素是由 A 中部分元素构成，则有 B A. 点评：此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求． 5．已知集合 P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{ x|ax＋1＝0}满足 Q P，求 a 所取的一切值． 解：因 P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当 a＝0 时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝ ? ，Q P 成 ? 1? 1 1 立．又当 a≠0 时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝?－a?，要 Q P 成立，则有－ ＝2 或－ ＝－3，a a a ? ? 1 1 1 1 ＝－ 或 a＝ .综上所述，a＝0 或 a＝－ 或 a＝ . 2 3 2 3 点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉 a＝0，ax＋1＝0 无解，即 Q 为空集的情况，而当 Q＝ ? 时，满足 Q P. 6．已知集合 A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使 A P ?B，求满足条件的集合 P. 解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝ ? ， B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}， 由 A P?B 知集合 P 非空，且其元素全属于 B，即有满足条件的集合 P 为 {1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}． 点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合 P 的元素，而做到这点，必须明确 A，B， 充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件． 7．设 A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，则 A 与 B 应具有何种关系？ 解：因 A＝{0,1}，B＝{x|x?A}， 故 x 为 ? ，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是 B 中一元素．故 A∈B. 点评：注意该题的特殊性，一集 合是另一集合的元素． 8．集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， (1)若 B?A，求实数 m 的取值范围； (2)当 x∈Z 时，求 A 的非空真子集的个数； (3)当 x∈R 时，没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立，求实数 m 的取值范围． 解：(1)当 m＋1＞2m－1 即 m＜2 时，B＝ ? 满足 B?A. ? ?m＋1≥－2， 当 m＋1≤2m－1 即 m≥2 时，要使 B?A 成立，需? 可得 2≤m≤3. ?2m－1≤5， ? 综上所得实数 m 的取值范围为 m≤3. (2)当 x∈Z 时，A＝{－2，－ 1,0,1,2,3,4,5}， ∴A 的非空真子集的个数为 28－2＝254. (3)∵x∈R，且 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立． 则①若 B＝ ? 即 m＋1＞2m－1，得 m＜2 时满足条件； ? ? ?m＋1≤2m－1， ?m＋1≤2m－1， ②若 B≠ ? ，则要满足条件：? 或? 解之，得 m＞4. ?m＋1>5 ?2m－1<－2， ? ? 综上有 m＜2 或 m＞4. 点评：此问题解决要注意：不应忽略 ? ；找 A 中的元素；分类讨论思想的运用． 拓展提升 问题：已知 A?B，且 A?C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合 A 共有多少个？ 活动：学生思考 A?B，且 A?C 所表达的含义．A?B 说明集合 A 是集合 B 的 子集， 即集合 A 中元素属于集合 B，同理有集合 A 中元素属于集合 C.因此集合 A 中的元素是集合 B 和集合 C 的公共元素． 思路 1：写出由集合 B 和集合 C 的公共元素组成的集合，得满足条件的集合 A；
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思路 2：分析题意，仅求满足条件的集合 A 的个数，转化为求集合 B 和集合 C 的公共 元素所组成的集合的子集个数． 解法 1：因 A?B，A?C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足 A?B，有： ? ， {0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}， {3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}， {1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共 25＝32(个)． 又满足 A?C 的集合 A 有：? ， {0}， {2}， {4}， {8}， {0,2}， {0,4}， {0,8}， {2,4}， {2,8}， {4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共 24＝16(个)． 其中同时满足 A?B， A?C 的有 8 个：? ， {0}， {2}， {4}， {0,2}， {0,4}， {2,4}， {0,2,4}， 实际上到此就可看出，上述解法太繁． 解法 2：题目只求集合 A 的个数，而未让说明 A 的具体元素，故可将问题等价转化为求 B，C 的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有 0,2,4，组成集合的子集有 23 ＝8(个)． 点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结 论要熟练掌握，其应用非常广泛． 课堂小结 本节课学习了： ①子集、真子集、空集、Venn 图等概念； ②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集； ③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明． 作业 课本习题 1.1A 组 5. 设计感想 本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知， 在实际教学中， 要留给学生适当的思 考时间，使学生自己通过类比得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是 高中数学课程追求的基本理念， 学生的数学学习活动不能仅限于对概念、 结论和技能的记忆、 模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方 式． 备课资料 【备选例题】 【例 1】下面的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种 几何图形之间的关系，问集合 A，B，C，D，E 分别是哪种图形的集合？
图6 思路分析：结合 Venn 图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来 确定． 解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故 A＝{四边形}；梯形不是平行四 边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故 B＝{梯形}，C＝{平行四边形}； 正方形是菱形，故 D＝{菱形}，E＝{正方形}，即 A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边 形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}． 【例 2】设集合 A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足 B A 的 a 的值共 有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
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解析：由已知得 A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合 B 是关于 x 的方程(a－ 2)x＝2 的解集，∵B A，∴B＝ ? 或 B≠ ? .当 B＝ ? 时，关于 x 的方程(a－2)x＝2 无解， 2 2 ∴a－2＝0.∴a＝2.当 B≠ ? 时，关于 x 的方程(a－2)x＝2 的解 x＝ ∈A，∴ ＝－2 a－2 a－2 2 2 2 或 ＝－1 或 ＝1 或 ＝2.解得 a＝1 或 0 或 4 或 3，综上所得，a 的值共有 5 个． a－2 a－2 a－2 答案：D 【例 3】集合 A＝{x|0≤x＜3，且 x∈N}的真子集 的个数是( ) ．．． A．16 B．8 C．7 D．4 解析：A＝{x|0≤x＜3，且 x∈N}＝{0,1,2}，则 A 的真子集有 23－1＝7(个)． 答案：C 【例 4】已知集合 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，试判断集合 B 是不是集合 A 的子集？是否存在实数 a 使 A＝B 成立？ 思路分析：先在数轴上表示集合 A，然后化简集合 B，由集合元素的互异性，可知此时 应考虑 a 的取值是否为 1，要使集合 B 成为集合 A 的子集，集合 B 的元素在数轴上的对应 点必须在集合 A 对应的线段上，从而确定字母 a 的分类标准． 解：当 a＝1 时，B＝{1}，所以 B 是 A 的子集；当 1＜a≤3 时，B 也是 A 的子集；当 a ＜1 或 a＞3 时，B 不是 A 的子集．综上可知，当 1≤a≤3 时，B 是 A 的子集． 由于集合 B 最多只有两个元素，而集合 A 有无数个元素，故不存在实数 a，使 B＝A. 点评：分类讨论思想， 就是科学合理地划分类别， 通过“各个击破”， 再求整体解决(即 先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探 索划分的数量界限是分类讨论的关键． 【思考】 (1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“?”有什么区别？ 剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的 原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例�