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2013绵阳一诊数学理科答案


绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. BCBCC AADDB AB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.-4 14.2 15. ? 0,
? ? 4 ? ? ? 5? ? ,2 ? ? ??? 3 ? ? 3

?

16.①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.解:(Ⅰ)f (x)=a·b =(cos2x,1)·(1, 3 sin2x) = 3 sin2x+ cos2x =2 sin(2x+ ∴ 最小正周期 T ? 令 2x+
?
6
2? 2

?
6

),

……………………………………………6 分

?? ,

= k? ?

?
2

,k∈Z,解得 x=
k? 2 ?

k? 2

?

?
6

,k∈Z,

即 f (x)的对称轴方程为 x=
(Ⅱ) 当 x∈[0,
?
2

?
6

,k∈Z.…………………………………8 分
?
2

]时,即 0≤x≤
?
6

,可得

?
6

≤2x+
?
6

?
6



7? 6



∴ 当 2x+ 当 2x+

?
6

= =

?
2
7? 6

,即 x=

时,f (x)取得最大值 f (
?
2

)=2;
?
2

?
6

,即 x=

时,f (x)取得最小值 f (

)=-1.

即 f (x) 的值域为[-1,2].……………………………………………………12 分 18.解:(Ⅰ)由 S 3 +S 5 =58,得 3a 1 +3d+5a 1 +10d=8a 1 +13d =58, ① ∵ a 1 ,a 3 ,a 7 成等比数列,a 3 2 =a 1 a 7 , 即(a 1 +2d) 2 =a 1 (a 1 +6d),整理得 a 1 =2d, 代入①得 d=2, a 1 =4, ∴ a n =2n+2. ………………………………………………………………… 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a 8 =18,b 5 ·b 6 +b 4 ·b 7 =2b 5 ·b 6 =18,解得 b 5 ·b 6 =9. ∵ T 1 0 = log 3 b 1 +log 3 b 2 + log 3 b 3 +…+ log 3 b 1 0 =log 3 (b 1 ·b 1 0 ) + log 3 (b 2 ·b 9 ) +…+ log 3 (b 5 ·b 6 ) =5log 3 (b 5 ·b 6 ) =5log 3 9 =10. …………………………………………………………………… 12 分
数学(理科)答案第1页(共 5 页)

19.解:(Ⅰ)由已知 y= f (x)是二次函数,且 f (x)<0 的解集是(0,5), 可得 f (x)=0 的两根为 0,5, 于是设二次函数 f (x)=ax(x-5), 代入点(1,-4),得-4=a×1×(1-5),解得 a=1, ∴ f (x)=x(x-5). ………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x 3 -(4k-10)x+5=x 3 +2x 2 -4kx+5, 于是 h ?( x ) ? 3 x2 ? 4 x ? 4 k , ∵ h(x)在[-4,-2]上单调递增,在[-2,0]上单调递减, ∴ x=-2 是 h(x)的极大值点, ∴ h ?( ? 2) ? 3 ? ( ? 2) 2 ? 4 ? ( ? 2) ? 4 k ? 0 ,解得 k=1. …………………………6 分 ∴ h(x)=x 3 +2x 2 -4x+5,进而得 h ? ( x ) ? 3 x2 ? 4 x ? 4. 令 h ? ( x ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 ? 3( x ? 2 )( x ? 由下表: x
h ?( x )

2 3

) ? 0 , 得 x1 ? ? 2 , x 2 ?

2 3



(-3,-2) + ↗

-2 0 极大

(-2, ↘

2 3

)

2 3

(

2 3

,1) + ↗

0 极小

h(x)

可知:h(-2)=(-2) 3 +2×(-2) 2 -4×(-2)+5=13,h(1)=1 3 +2×1 2 -4×1+5=4, h(-3)=(-3) 3 +2×(-3) 2 -4×(-3)+5=8,h( ∴ h(x)的最大值为 13,最小值为
95 27
2 3

)=(

2 3

) 3 +2×(

2 3

) 2 -4× +5=
3

2

95 27



.……………………………………12 分

20.解:(Ⅰ)∵asinA=(a-b)sinB+csinC, 由正弦定理
a sin A ? b s i nB ? c sin C

,得 a 2 ? ( a ? b ) b ? c 2 ,

即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab .① 由余弦定理得 co s C ?
a ?b ?c
2 2 2

?

1 2



2ab

结合 0 ? C ? ? ,得 C ?

?
3



…………………………………………………6 分

(Ⅱ)由 C=π-(A+B),得 sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA, ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A, ∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA, 整理得 sinBcosA=3sinAcosA. ………………………………………………8 分 若 cosA=0,即 A=
?
2

时,△ABC 是直角三角形,且 B=

?
6



数学(理科)答案第2页(共 5 页)

于是 b=ctanB=2tan

?
6

=

2 3 3

,∴ S △ A BC =

1 2

bc=

2 3 3

. ……………………10 分

若 cosA≠0,则 sinB=3sinA,由正弦定理得 b=3a.② 联立①②,结合 c=2,解得 a= ∴ S △ AB C =
1 2
2 7 7

,b= ×
3 2

6 7 7

, .

absinC=

1 2

×

2 7 7

× 或

6 7 7
3 3 7

=

3 3 7

综上,△ABC 的面积为

2 3 3

.………………………………………12 分

21.解:(Ⅰ)当 t=1 时,2a n -2=0,得 a n =1, 于是数列{a n }为首项和公比均为 1 的等比数列. ……………………………1 分 当 t≠1 时,由题设知(t-1)S 1 =2ta 1 -t-1,解得 a 1 =1, 由(t-1)S n =2ta n -t-1,得(t-1)S n + 1 =2ta n + 1 -t-1, 两式相减得(t-1)a n + 1 =2ta n + 1 -2ta n , , ∴
a n ?1 an ? 2t t ?1

(常数).
2t t ?1

∴ 数列{a n }是以 1 为首项, (Ⅱ)∵ q= f (t)= ∴
1 bn ?1 ? bn ? 1 bn ? 1 bn

为公比的等比数列.………………………4 分
1 2

2t t ?1

,b 1 =a 1 =1,b n + 1 =

f (b n )=

bn bn ? 1



? 1,

∴ 数列 ? ∴ bn ?
1 n

? 1 ? 1 ? n , ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,于是 bn ? bn ?

.………………………………………………………………………8 分
1 3
n ?1 时, 由(I)知 a n = ( ) ,

(III)当 t=

1

2

于是数列{c n }为:1,-1,

1 2

,2,2, ( ) 2 ,-3,-3,-3, ( ) 3 ,…
2
k

1

1

2

设数列{a n }的第 k 项是数列{c n }的第 m k 项,即 a k = c m , 当 k≥2 时,m k =k+[1+2+3+…+(k-1)]= ∴ m62=
62 ? 63 2 ? 1 9 5 3 ,m 6 3 = 63 ? 64 2

k ( k ? 1) 2



? 2016 .

设 S n 表示数列{c n }的前 n 项和,
数学(理科)答案第3页(共 5 页)

则 S 2016 =[1+

1 2

+ ( ) 2 +…+ ( ) 6 2 ]+[-1+(-1) 2 ×2×2+(-1) 3 ×3×3+…+(-1) 62 ×62×62]
2
1 2
1 63 1? ( ) 1 2 ? 2 ? 62 , = 1 2 1? 2

1

1

显然 1+

1 2

+ ( ) 2 +…+ ( ) 6 2
2
2

1

∵ (2n) 2 -(2n-1) 2 =4n-1, ∴ -1+(-1) 2 ×2×2+(-1) 3 ×3×3+…+(-1) 62 ×62×62 =-1+2 2 -3 2 +4 2 -5 2 +6 2 -…-61 2 +62 2 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =
3 1 ? (3 ? 1 2 3) 2

=1953. ∴ S 2016 = 2 ?
1 2
62

+1953=1955-

1 2
62



∴ S 2012 =S 2016 -(c 2016 +c 2015 +c 2014 +c 2013 ) =1955=17691 2
62

-( .

1 2
62

+62+62+62)

1 2
61

即数列{c n }的前 2012 项之和为 176922.解:(Ⅰ)由已知: f ? ( x ) ? ∴由题知 f ? ( 2 ) ? 于是 f ? ( x ) ?
1 x

1 2
61

.…………………………………12 分

1 x

?a ,

1 2

?a ? ?
1? x x

1 2

,解得 a=1.

?1?



当 x∈(0,1)时, f ? ( x ) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x ) ? 0 ,f (x)为减函数, 即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ……5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ? x 1 ∈(0,+∞),f (x 1 ) ≤f (1)=0,即 f (x 1 )的最大值为 0, 由题知:对 ? x 1 ∈(0,+∞), ? x 2 ∈(-∞,0)使得 f (x 1 )≤g(x 2 )成立, 只须 f (x) ma x ≤g(x) ma x . ∵ g (x) ?
x ? 2 kx ? k
2

? x?

k

x

k ? ? ? 2k ? ? ? ? x ? ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ?x ? x ?

∴ 只须 ? 2 k ? 2 k ≥0,解得 k≥1.………………………………………10 分
数学(理科)答案第4页(共 5 页)

(Ⅲ)要证明 只须证 只须证
2 ln 2 2
2

ln 2 2
2

?

ln 3 3
2

?? ?

ln n n
2

?

2n ? n ? 1
2

4 ( n ? 1)
2

(n∈N*,n≥2).

?

2 ln 3 ?? ? 2 3 ln 3 3
2 2

2 ln n ln n n
2 2

?

n ? n? 2 2 (n ? 1) 2 ? n? 1 n
2

, .

1

ln 2 2
2

2

2

?

?? ?

?

2 (n ? 1)

由(Ⅰ)当 x ? ? 1,? ? ? 时, f ?( x ) ? 0 ,f (x)为减函数, f (x)=lnx-x+1≤0,即 lnx≤x-1, ∴ 当 n≥2 时, ln n 2 ? n 2 ? 1 ,
ln n n
2 2

?
2

n ?1
2

n
?

2

?1?

1 n
2

?1?
2

1 n ( n ? 1)
1 2 ?

?1?
1

1 n

?

1 n ?1


1 1 ? ? ?1 ? ? ? n n ?1? ?

ln 2 2
2

ln 3 3
2

2

?? ?

ln n n
2

< ?1 ?
?

?

1 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ??? ? 2 ?1? ? 3 3?1?
? 1 n ?1 ? 2n ? n ? 1
2

? n ?1? ln 2 2
2

1 2

2 ( n ? 1)





?

ln 3 3
2

?? ?

ln n n
2

?

2n ? n ? 1
2

4 ( n ? 1)

.………………………………………14 分

数学(理科)答案第5页(共 5 页)


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