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2013届高考理科数学第一轮总复习课件24


·高中总复习(第1轮)·理科数学 ·全国版

立足教育 开创未来

第三章
第 讲

数列

(第一课时)

1

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●等差数列的概念 ●等差数列的判定方法 ●等差数列的性质 ●等差数列的综合问题 考查等差数列的通项公式、求和 公式及其性质;同时考查等差数列 的函数性.

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?一、等差数列的判定与证明方法 ?1.定义法:① an-an-1=d (n≥2) . ?2.等差中项法:② . an-1+an+1=2an (n≥2) ?3.通项公式法:③ . an=kn+b ?4.前n项和公式法:④ . Sn=an2+bn
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?二、等差数列的通项公式 ?1.原形结构式:an=⑤ . a1+(n-1)d ?2.变形结构式:an=am+⑥ (n>m). (n-m)d

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?三、等差数列的前n项和公式 n ? a1 ? an ? 。 ?1.原形结构式:Sn=⑦ 2 ?=⑧ na1 ? n(n ? 1) d . 2 ?2.二次函数型结构式: ?Sn=⑨ . an2+bn
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?四、等差数列的常用性质 ?1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q,m、n、 p、q∈N*,则⑩ . am+an=ap+aq ?2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则an与 S2n-1的关系式为 a = S 2 n?1 n Sn,S3n-S2n成 等差数列
2n ? 1

;Sn,S2n.
a?b 2

?五、a,b的等差中项为

.
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?1.等差数列{an}中,已知 an=33,则n=( ) C ?A. 48 B. 49 ?C. 50 D. 51 ? 由已知解得公差 2 d? , ?再由通项公式得 3 ?解得n=50.故选C. 1 ? 2 (n ? 1) ? 33,
3 3

1 a1 ? ,a2+a5=4, 3

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?2.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8 =28,则该数列的前10项和S10等于( ) B ?A. 64 B. 100 ?C. 110 D. 120 ? 设数列{an}的公差为d, ?则 2a1+d=4 ? 2a1+13d=28,解得 a1=1 d=2. ?故 故选B.
10 ? 9 S10 ? 10a1 ? ? 100, 2d

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?3.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列 {an}有下列四个命题: ?①若an=an+1(n∈N*),则{an}既是等差数列又是 等比数列; ?②若Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列; ?③a,b,c成等差数列的充要条件是 ?④若{an}是等差数列,则Sm,S2m-Sb ? a3m-S2m ,S ? c ; m 2 (m∈N*)也成等差数列.

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?其中正确的命题是 ②③④ (填上正确命 题的序号). ? ①中若数列各项为零时不满足; ?②③④都是等差数列的性质.

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?题型1:a1,d,an,n,Sn中“知三求二”
1.已知等差数列{an}中,a3a7=- 16,a4+a6=0,求{an}的前 n 项和 Sn.

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分析:由于数列{an}是等差数列,则可 将条件中的 a3,a7,a4,a6 均用首项 a1 与公 差 d 来表示,进而建立关于 a1 与 d 的方程 组来求解. 解:设{an}的公差为 d, ??a +2d??a +6d?=-16 ? 1 1 则? , ?a1+3d+a1+5d=0 ?
?a2+8da +12d2=-16 ? 1 1 ? 即? ?a1=-4d



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?a =-8 ? 1 解得? ?d=2 ?

?a =8 ? 1 ,或? ?d=-2 ?

.

因此 Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或 Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).

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?【点评】:应用等差数列的通项公式,求出 基本量,然后利用求和公式求解.

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?设等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项 和为Sn. ?(1)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; ? 由S14=98,得2a1+13d=14. ?又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20. ?因此,数列{an}的通项公式是an=22-2n, n=1,2,3,….

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?(2)若a1≥6,a11>0,S14≤77, ?求所有可能的数列{an}的通项公式. ? 由 S14≤77 2a1+13d≤11 ? a11>0 a1+10d>0 ? a1≥6, 得 ?即 2a1+13d≤11 ①a1≥6, ? -2a1-20d<0 ② ? -2a1≤-12 ③.
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11 ?由①+②得-7d<11,即 d ? ? . 7 ?由①+③得13d≤-1,即 d ? ? 11 . 3 ?于是 11 11 ? ?d ?? . ?又d∈Z,故d=-1. 7 3

?代入①②得10<a1≤12.又a1∈Z,故a1=11或 a1=12. ?所以,所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,….

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? 题型2:等差数列前n项和的应用 ?2. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n. ?(1)求证:{an}为等差数列; ? (1)证明:当n=1时,a1=S1=-8. ?当n≥2时,an=Sn-Sn-1 ?=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)] ?=2n-10.

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?又n=1时,a1=-8也满足此式. ?所以an=2n-10(n∈N*). ?又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2, ?所以{an}为等差数列. ?(2)求Sn的最小值及相应n的值; ? 因为 9 ?所以,当n=4或5时, )2 ? 81 , Sn ? (n ? 2 4 ?Sn取最小值-20.
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?(3)记数列{|an|}的前n项和为Tn, ?求Tn的表达式. ? 因为当n≤5时,an≤0; ?当n≥6时,an>0, ?故当n≤5时,Tn=-Sn=9n-n2;

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?当n≥6时, ?Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an| ?=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an ?=Sn-2S5=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40. ?所以Tn= 9n-n2(n≤5) ? n2-9n+40(n≥6).

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?【点评】:公差不为零的等差数列的前n项 的和是关于n的二次函数(常数项为0),反之 也成立.因为和式是二次函数,所以和式有 最大值(或最小值),求其最值可按二次函数 处理,不过需注意自变量n是正整数.

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? 设数列{an}是公差不为零的等差数列,Sn是 数列{an}的前n项和,且 3 S2 ? 9S2,S 4 ? 4S 2, 求数列{an}的通项公式. ? 设等差数列{an}的公差为d. ?由 及已知条件得 n( n 2=9(2a ? 1) d ?(3a1Sn ? na1 ? +3d) 1+d), ① 2 ?4a1+6d=4(2a1+d). ②

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4 ?由②得d=2a1,代入①有 a ? a1, 9 ?解得a1=0或 a ? 4 . 1 9 ?当a =0时,d=0(舍去).
2 1

1

?因此, 4 8 a1 }的通项公式为 ?故数列{an? 9 ,d ? 9 .
4 8 4 an ? ? (n ? 1) ? 2n ? 1 n ? N 9 9 9
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参考题
? 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知 S5=S13,且a1>0,求当n为何值时,Sn最 大. ? 解法1:由S5=S13, [a1 ? (a1 ? 4d )] 13 a1 ? (a1 ? 12d )] 5 [ ?得 ? , 22 2 ?所以 d ? ? a1, 17 ?所以 n(n ? 1)d ?(n ? 9)2 ? 81 Sn ? na1 ? ? a1. 2 ?因为a1>0,所以当n=9时,S17 n取最大值.
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?解法2:因为S5=S13, ?所以5a1+10d=13a1+78d, ?所以 2 d ? ? a1 . ?所以由 17

2 an ? a1 ? (n ? 1)(? a1 ) ? 0 17 2 ?解得8.5≤n≤9.5.1 ? a1 ? n·? a1 ) ? 0, an? ( 17

?又n∈N*,所以n=9时,Sn最大.

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?解法3:因为S5=S13, ?所以S13-S5=0, ?即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0. ?又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10, ?所以a9+a10=0. ?又a1>0,所以a9>0,a10<0. ?故当n=9时,Sn最大.

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?1. 由五个量a1 、d、n、an 、Sn 中的三个量 可求出其余两个量,即“知三求二”.要求 选用公式恰当,即能减少运算量,达到快速、 准确的目的.

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?2. 在等差数列中,当a1>0,d<0时,解不 等式组 an≥0 ? an+1≤0可得Sn达到最大值时的n的值; 当a1<0,d>0时,解不等式组 ?an≤0 ?an+1≥0可得Sn达到最小值时的n的值.

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