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湖南省岳阳县第一中学2016届高三数学上学期第四次月考试题 文


岳阳县一中 2016 届高三第四阶段检测 文科数学
时量:120 分钟 满分:150 分 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一选项是符合题 目要求的) 1. 已知集合错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。为 A.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 2i 3 2. 设 i 是虚数单位,复数 i + = 1

+i A.-i B.i C.-1 D.1 ( ) ( ) B.错误!未找到引用源。 ( ) D.错

C.错误!未找到引用源。

? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1), a // b 则 tan(? ? ) 等于 4 1 1 A.3 B. ?3 C. D. ? 3 3

4.以下四个命题中,其中真命题的个数为 ( ) ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样 是分层抽样;
2 2 ②对于命题 p : ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;

③“x<0”是“ln(x+1)<0”的充分不必要条件; ④命题错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的充分不必要条件。 A.1 B.2 C.3 D.4 5.将函数 的图象向右平移错误!未找到引用源。个单位长度后得 错误!未找到引用源。 到函数错误!未找到引用源。的图象,若错误!未找到引用源。的图象都经过点 ,则 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。的值可以是 A. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。 ) ( )

B. 错误!未找到引用源。

6. 阅读如下程序框图,如果输出 i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是 (

A.S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16? 7.已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。满足约束条件错误!未找到引用源。,若错误!未 找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用 源。 D.2 8.若 a,b,c 均为单位向量,且 a?b=0,(a-c)?(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为 ( )
1

A.

2-1

B.1

C. 2 )

D.2

9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( A.12 B.18
x

C.24

D.30

?1? 10. 已知 f ?x ? ? ? ? ? log3 x ,实数 a、b、c 满足 f ? a ? ? f ?b ? ? f ?c ? <0,且 0<a ? 3?
<b<c,若实数 x 0 是 函数 f ?x ? 的一个零点,那么下列不等式中,不可能 成 ... 立的是 ( ) A. x 0 <a B. x 0 >b C. x 0 <c + D. x 0 >c =1(a>b>0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与 ( ) D.

11.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A. B. C.

|lgx|,0<x≤10, ? ? 12.已知函数 f(x)=? 1 - x+6,x>10. ? ? 2 范围是 A.(1,10) B.(5,6)

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值

( C.(10,12) D.(20,24)

)

二.填空题(本题共 4 个小题,每小 5 分,满分 20 分) 13.在错误!未找到引用源。中,角错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 所对的边分别为错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 ,已知错误!未找 到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。________. 14.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=18,则该数列前 11 项和 S11= 15.已知三棱锥错误!未找到引用源。的外接球的球心错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上, 且错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,若三棱锥错误!未找到引用源。的体积为错误!未找到引用源。,则该三棱锥的 外接球的体积为 16.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2) ;当-1≤x<3 时,
2

f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 016)=
三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.( 本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣2. (1)求数列{an}的通项公式;
2

(2)设 bn=log2a1+log2a2+?+log2an,求(n﹣8)bn≥nk 对任意 n∈N 恒成立的实数 k 的取值范围. 18. ( 本小题满分 12 分) 最近 2016 届高考改革方案已在上海和江苏开始实施,某教育机构为了了解我省 广大师生对新 2015 届高考改革的看法,对某市部分学校 500 名师生进行调查,统计结果如下: 赞成改革 教师 学生 120 x 不赞成改革 y z 无所谓 40 130

*

在全体师生中随机抽取 1 名“赞成改革”的人是学生的概率为 0.3,且 z=2y. (1)现从全部 500 名师生中用分层抽样的方法抽取 50 名进行问卷调查,则应抽取“不赞成改革”的教师 和学生人数各是多少? (2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出三人进行座谈,求至少一名教师被选出的概率. 19.(本题满分 12 分) 如图,已知 AF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形 ABCD 为直角梯形, ∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:AC⊥平面 BCE; (3)求三棱锥 E﹣BCF 的体积. 20.(本题满分 12 分)给定椭圆错误!未找到引用源。 ,称圆心在原点错误!未找到引用源。,半径为错误! 未找到引用源。的圆是椭圆错误!未找到引用源。的“准圆” .若椭圆错误!未找到引用源。的一个焦点 为错误! 未找到引用源。 , 且其短轴上的一个端点到错误! 未找到引用源。 的距离为错误! 未找到引用源。 . (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点错误!未找到引用源。是椭圆错误!未找到引用源。的“准圆”上的一个动点,过动点错误!未找 到引用源。作直线错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ,使得错误!未找到引用源。,错误!未 找到引用源。与椭圆

C 都只有一个交点,试判断错误!未找到引用源。,错误!未找到引
用源。是否垂直,并说明理由. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x ﹣8lnx,g(x)=﹣x +14x. (Ⅰ)求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设 x≥1,讨论曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)+m 公共点的个数. 选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答时,请涂明题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,G 是 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AG 的垂 线,交直线 AC 于点 E,交直线 AD 于点 F,过点 G 作⊙O 的切线,切点为 H. (1)求证:C,D,E,F 四点共圆; (2)若 GH=6,GE=4,求 EF 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线错误!未找到引用源。的极坐标方程是错误!未找到引用源。,以极点为平面 直角坐标系的原点,极轴为错误!未找到引用源。轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是 错误!未找到引用源。(为参数) . (1)求曲线错误!未找到引用源。的直角坐标方程与直线的普通方程; (2)设点错误!未找到引用源。,若直线与曲线错误!未找到引用源。交于错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。两点,且错误!未找到引用源。,求实数错误!未找到引用源。的值.
3
2 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知正实数 a、b 满足: a ? b ? 2 ab .
2 2

(1)求

1 1 ? 的最小值 m ; a b 1 m | (t ? 0) ,对于(1)中求得的 m ,是否存在实数 x ,使得 f ( x) ? 成 t 2

(2)设函数 f ( x) ?| x ? t | ? | x ? 立,说明理由.

4

数学答案(文) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A B B A B C D C C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13、 错误! 未找到引用源。 或错误! 未找到引用源。 336 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解析 : 考点: 数列的求和;数列递推公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)首先利用递推关系式求出数列是等比数列,进一步求出数列的通项公式. (2)利用(1)的通项公式求出数列的和,进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围. 解答: 解: (1)由 Sn=2an﹣2,当 n=1 时,求得:a1=2, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,所以: (常数) , 14、 99 15、 错误! 未找到引用源。 16、

所以:数列{an}是以 a1=2 为首项,2 为公比的等比数列. 所以: .?(6 分) , 对任意的 n∈N 恒成立.设
+

(2)已知:bn=log2a1+log2a2+?+log2an,=1+2+3+?+n= 由于(n﹣8)bn≥nk 对任意 n∈N 恒成立,所以
*

,则当 n=3 或 4 时,cn 取最小值为﹣10. 所以:k≤﹣10.?(12 分) 点评: 本题考查的知识要点:利用递推关系式求出数列是等比数列,等比数列通项公式的求法,数列的 求和,及恒成立问题的应用. 18. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据题意,求出 x、y 和 z 的值,计算出应抽取的教师与学生人数; (2)利用列举法求出基本事件数,求出对应的概率即可. 解答: 解: (1)由题意 =0.3,解得 x=150,

所以 y+z=60;又因为 z=2y,所以 y=20,z=40; 则应抽取的教师人数为 ?20=2,应抽取的学生人数为 ?40=4; ?(5 分)

(2)所抽取的“不赞成改革”的 2 名教师记为 a、b,4 名学生记为 1,2,3,4, 随机选出三人的不同选法有(a、b、1) , (a、b、2) , (a、b、3) , (a、b、4) , (a、1、2) , (a、1、3) , (a、1、4) , (a、2、3) , (a、2、4) , (a、3、4) , (b、1、2) , (b、1、3) , (b、1、4) , (b、2、3) , (b、2、4) , (b、3、4) , (1、2、3) , (1、2、4) , (1、3、4) , (2、3、4)共 20 种,?(9 分) 至少有一名教师的选法有(a、b、1) , (a、b、2) , (a、b、3) , (a、b、4) , (a、1、2) ,
5

(a、1、3) , (a、1、4) , (a、2、3) , (a、2、4) , (a、3、4) , (b、1、2) , (b、1、3) , (b、1、4) , (b、 2、3) , (b、2、4) , (b、3、4)共 16 种, 所以至少有一名教师被选出的概率为 P= = . ?(12 分)

点评: 本题考查了分层抽样方法的应用问题, 也考查了用列举法计算古典概型的概率问题, 是基础题目. 19.考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线 与平面垂直的判定. 专题: 空 间位置关系与距离. 分析: (1)AF∥BE,BE? 平面 BCE,AF?平面 BCE,运用判定定理可判断. (2)运用勾股定理可判断 AC⊥BC,再根据线面的转化,AF⊥平面 ABCD,AF∥BE,BE⊥平面 ABCD,BE⊥AC, 得出 AC⊥平面 BCE, (3)CM⊥平面 ABEF,VE﹣BCF=VC﹣BEF 得出体积即可判断.

解答: 解: (1)∵四边形 ABEF 为矩形, ∴AF∥BE,BE? 平面 BCE,AF?平面 BCE,∴AF∥平面 BCE. (2)过 C 作 CM⊥AB,垂足为 M,∵AD⊥DC,∴四边形 ADCM 为矩形,∴AM=MB=2 ∵AD=2,AB=4.∴AC=2 ,CM=2,BC=2 ,∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC, ∵AF⊥平面 ABCD,AF∥BE,∴BE⊥平面 ABCD,∴BE⊥AC, ∵BE? 平面 BCE,BC? 平面 BCE,BC∩BE=B,∴AC⊥平面 BCE. (3)∵AF⊥平面 ABCD,∴AF⊥CM, ∵CM⊥AB,AF? 平面 ABEF,AB? 平面 ABEF,AF∩AB=A,∴CM⊥平面 ABEF, ∴VE﹣BCF=VC﹣BEF= = ?2?4?2.
2 2 2

点评: 本题综合考查了空间直线,几何体的平行,垂直问题,求解体积,属于中档题. x 2 2 2 2 20.解:(1)由题意可知 c= 2,b +c =( 3) ,则 a= 3,b=1,所以椭圆方程为 +y =1.易知准圆半 3 径为 ? 3? +1 =2,则准圆方程为 x +y =4. (2)①当 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在时,不妨设 l1 的斜率不存在, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x=± 3, 当 l1 的方程为 x= 3时,此时 l1 与准圆交于点( 3,1),( 3,-1), 此时经过点( 3,1)或( 3,-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=1 或 y=-1, 即 l2 为 y=1 或 y=-1,显然直线 l1,l2 垂直;
2 2 2 2 2

6

同理可证直线 l1 的方程为 x=- 3时,直线 l1,l2 也垂直. ②当 l1,l2 的斜率都存在时,设点 P(x0,y0),其中 x0+y0=4. 设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t(x-x0)+y0,
2 2

y=tx+y0-tx0, ? ? 2 由 ?x 2 +y =1, ? ?3
2

消去 y,得(1+3t )x +6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0) -3=0.

2

2

2

由Δ =0 化简整理得,(3-x0)t +2x0y0t+1-y0=0. 因为 x0+y0=4,所以有(3-x0)t + 2x0y0t+x0-3=0. 设直线 l1,l2 的斜率分别为 t1,t2,因为 l1,l2 与椭圆只有一个公共点, 所以 t1,t2 满足方程(3-x0)t +2x0y0t+x0-3=0, 所以 t1?t2=-1,即 l1,l2 垂直.综合①②知,l1,l2 垂直. 21.考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)因为 f'(x)=2x﹣ ,求出切线的斜率.继而得到切线方程. (Ⅱ)因为 f'(x)= ,求出函数 f(x)的单调区间,又由题意知有含参数的单调区

间,继而求出参数范围. 2 (Ⅲ)当 x≥1 时,曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)+m 公共点的个数方程 2x ﹣8lnx﹣14x=m 根的个数.转 化思路,对曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)+m 公共点的个数讨论. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f'(x)=2x﹣ ,所以切线的斜率 k=f'(1)=﹣6?(2 分) 又 f(1)=1,故所求切线方程为 y﹣1=﹣6(x﹣1) ,即 y=﹣6x+7 ?(4 分) (Ⅱ)因为 f'(x)= ,又 x>0,所以当 x>2 时,f'(x)>0;

当 0<x<2 时,f'(x)<0.即 f(x)在(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减?(6 分) 2 又 g(x)=﹣(x﹣7) +49,所以 g(x)在(﹣∞,7)上递增,在(7,+∞)上递减?(7 分) 欲 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,则 ,

解得 2≤x≤6?(8 分) 2 (Ⅲ)当 x≥1 时,曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)+m 公共点的个数为方程 2x ﹣8lnx﹣14x=m 根的个数, 2 令 h(x)=2x ﹣8lnx﹣14x,方程即为 h(x)=m. 又 ,且 x>0,所以当 x>4 时,h'(x)>0;当 0<x<4

时,h'(x)<0,即 h(x)在(4,+∞)上递增,在(0,4)上递减.
7

故 h(x)在 x=4 处取得最小值,且 h(1)=﹣12 当 m∈(﹣∞,﹣16ln2﹣24)时,有 0 个公共点;

?(10 分)

所以对曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)+m 公共点的个数,讨论如下: 当 m=﹣16ln2﹣24 或 m∈(﹣12,+∞)时,有 1 个公共点; 当 m∈(﹣16ln2﹣24,﹣12]时,有 2 个公共点.?(12 分) 点评: 本题主要考查导数的几何意义和利用导数求参数的取值范围等问题,属于难题,在高考中常以压 轴题出现.

22. 【解】(1)证明:连接 DB ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,在 Rt△ABD 与 Rt△AFG 中,∠ABD=∠AFE, 又∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠AFE,∴C,D,E,F 四点共圆.
? C,D,E,F四点共圆? GE?GF=GC?GD? 2 ?? GH =GE?GF, 2 ? GH切⊙O于点H? GH =GC?GD ?

(2)

又 GH=6,GE=4,∴GF=9,EF=GF-GE=5. 23. 解: (Ⅰ)由错误!未找到引用源。 ,得:错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 ,即错误! 未找到引用源。 , ∴曲线错误! 未找到引用源。 的直角坐标方程为错误! 未找到引用源。 . 错 误!未找到引用源。分 由错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 , ∴直线的普通方程为错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 分 (Ⅱ)将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。 ,得:错误!未找到引用源。 , 整理得:错误!未找到引用源。 , 由错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 ,解得:错误!未找到引用源。. 设错误!未找到引用源。是上述方程的两实根,则错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 分 又直线过点错误!未找到引用源。 ,由上式及直线的几何意义得 错误!未找到引用源。 ,解得:错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 ,都符合错误!未找到引用 源。 , 因此实数错误!未找到引用源。的值为或错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。分

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