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2012年高考第一轮复习数学:10.4 排列与组合的综合问题


10.4

排列与组合的综合问题

●知识梳理 1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,它们之间 的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序, 不需要考虑顺序的是组合问题, 需要考虑 顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组 合问题的基本思维是“先组,后排”. 2.解排列

组合的应用题,要注意四点: (1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题;要按元素的性质分类,按事件发生的 过程进行分步. (2)深入分析、严密周详,注意分清是乘还是加,既不少也不多,辩证思维,多角度 . . 分析,全面考虑,这不仅有助于提高逻辑推理能力,也尽可能地避免出错. (3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题,要周密分析,设计出合理的方案, 把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决. (4)由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应 着重检查所设计的解决问题的方案是否完备, 有无重复或遗漏, 也可采用多种不同的方法求 解,看看是否相同.在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏或重复. ●点击双基 1.(2004 年福建,理 6)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排 到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为
2 A.A 6 C 2 4

B.

1 2

2 A6 C2 4

2 C.A 6 A 2 4

2 D.2A 6

解析:将 4 名学生均分成两组,方法数为
2 法数为 A 6 ,∴合要求的安排方法数为

1 2

C 2 ,再分配给 6 个年级中的 2 个,分配方 4

1 2

2 C 2 ·A 6 . 4

答案:B 2.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中 A 不参加物理、 化学竞赛,则不同的参赛方案种数为 A.24 B.48 C.120 D.72 解析: 若不含 A, 则有 A 4 种; 若含有 A, 则有 C 3 · 12 · 3 种.∴A 4 +C 3 · 12 · 3 =72. C A3 C A3 4 4 4 4 答案:D 3.5 本不同的书,全部分给四个学生,每个学生至少 1 本,不同分法的种数为 A.480 B.240 C.120 D.96
2 解析: 先把 5 本书中的两本捆起来 5 )再分成四份 4 )∴分法种数为 C 5 · 4 =240. (C 2 , (A 4 , A4

答案:B 4.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字组成没有重复数 字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有_____________个.(用数字作答) 解析:①四位数中包含 5 和 0 的情况:C 1 ·C 14 · 3 +A 12 ·A 2 )=120. (A 3 3 2

②四位数中包含 5,不含 0 的情况:C 1 ·C 2 ·A 3 =108. 3 4 3
2 ③四位数中包含 0,不含 5 的情况:C 3 C 14 A 3 =72. 3

综上,四位数总数为 120+108+72=300. 答案:300 5.市内某公共汽车站有 10 个候车位 (成一排) 现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车, , 则恰好有 5 个连续空座位的候车方式共有_____________种.(用数字作答) 解析:把四位乘客当作 4 个元素作全排列有 A 4 种排法,将一个空位和余下的 4 个空位 4
2 2 作为一个元素插空有 A 5 种排法.∴A 4 ·A 5 =480. 4

答案:480 ●典例剖析 【例 1】 从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100 m 接力,如果其中甲不能跑第一棒, 乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛方法? 解法一:问题分成三类: (1)甲、乙两人均不参加,有 A 4 种; (2)甲、乙两人有且仅 4 有一人参加,有 2C 3 (A 4 -A 3 )种; (3)甲、乙两人均参加,有 C 2 (A 4 -2A 3 +A 2 ) 4 4 3 4 4 3 2 种.故共有 252 种.
4 解法二:六人中取四人参加的种数为 A 6 ,除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位

4 置的有 C 12 A 3 种, 因前后把甲、 乙两人都不在恰当位置的种数 A 2 减去了两次.故共有 A 6 - 5 4

C 12 A 3 +A 2 =252 种. 5 4 评述: 对于带有限制条件的排列、 组合综合题, 一般用分类讨论或间接法两种方法处理. 【例 2】 对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试,至区分出所有次 品为止.若所有次品恰好在第 5 次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能? 解:C 14 (C 16 C 3 )A 4 =576,第 5 次必测出一次品,余下 3 件在前 4 次被测出,从 4 件 3 4 中确定最后一件品有 C 14 种方法,前 4 次中应有 1 正品、3 次品,有 C 16 C 3 种,前 4 次测试 3 中的顺序有 A 4 种,由分步计数原理即得. 4 评述:本题涉及一类重要问题,即问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先 选元素(即组合)后排列.

思考讨论
用类似的方法,讨论如下问题. 某种产品有 5 件不同的正品,4 件不同的次品,现在一件件地进行检测,直到 4 件次品 全部测出为止,则最后一件次品恰好在第 6 次检测时被测出,这样的检测方案有多少种? 提示:问题相当于从 10 件产品中取出 6 件的一个排列,第 6 位为次品,前五位有其余 3 件次品,可分三步:先从 4 件产品中留出 1 件次品排第 6 位,有 4 种方法;再从 5 件正品

2 中取 2 件,有 C 5 种方法;再把 3 件次品和取出的 2 件正品排在前五位有 A 5 种方法.所以检 5

2 测方案种数为 4×C 5 ·A 5 =4800. 5

【例 3】 在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物,每种作物种 植一垄.为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的种植方法共有 多少种? 解: 依题意, B 两种作物的间隔至少 6 垄, A、 至多 8 垄. 1) ( 间隔 6 垄时, 3×A 2 种; 有 2 (2)间隔 7 垄时,有 2×A 2 种.(3)间隔 8 垄时,有 A 2 种.所以共有 3A 2 +2A 2 +A 2 =12 2 2 2 2 2 种种植方法. 【例 4】 有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排 中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 A.234 B.346 C.350 D.363 解法一:分类讨论法. (1)前排一个,后排一个,2C 1 ·C 1 =192. 8 12 (2)后排坐两个(不相邻) , 2(10+9+8+?+1)=110. (3)前排坐两个,2· (6+5+?+1)+2=44 个. ∴总共有 192+110+44=346 个. 解法二:考虑中间三个位置不坐,4 号座位与 8 号座位不算相邻.
2 ∴总共有 A 19 +2+2=346 个.

答案:B 评述:本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题. ●闯关训练 夯实基础 1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地 上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有 A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种
2 解析:∵黄瓜必选,故再选 2 种蔬菜的方法数是 C 3 种,在不同土质的三块土地上种植

的方法是 A 3 . 3
2 ∴种法共有 C 3 ·A 3 =18 种. 3

答案:B 2.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法种数为 A.A 1 A 3 3 4 B.C 2 A 3 4 3 C.C 3 A 2 4 2 D.C 14 C 3 C 2 4 2

解析:4 个球放入 3 个盒子,则有一个盒子要放两个球,故 C 2 A 3 . 4 3

答案:B 3.书架上原有 5 本书,再放上 2 本,但要求原有书的相对顺序不变,则不同的放法有 _____________种. 解析:分三步,每步各有 6,7,8 种放法,共有 6×7×8=336 种. 答案:336 4.(2004 年浙江,文 16)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向 正方向或负方向跳 1 个单位,经过 5 次跳动质点落在点(3,0) (允许重复过此点)处,则 .. 质点不同的运动方法共有__________种.(用数字作答) 解析:记向左跳一次为-1,向右跳一次为+1,则只要 5 次和为+3,质点一定落在(3,0) , 所以只需 4 个“+1” 个“-1”即可,从 5 次中挑出一次取“-1” ,1 ,结果数为 C 1 =5,故 5 质点运动方法共有 5 种. 答案:5 5.在一张节目表上原有 6 个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个 节目,求共有多少种安排方法? 解法一:添加的三个节目有三类办法排进去:①三个节目连排,有 C 1 A 3 种方法;② 7 3 三个节目互不相邻,有 A 3 种方法;③有且仅有两个节目连排,有 C 1 C 1 C 16 A 2 种方法.根据 7 3 7 2 分类计数原理共有 C 1 A 3 +A 3 +C 1 C 1 C 16 A 2 =504 种. 7 3 7 3 7 2 解法二:从结果考虑,排好的节目表中有 9 个位置, 先排入三个添加节目有 A 3 种方法, 9 余下的六个位置上按 6 个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为 A 3 =504 种. 9 解法三:
A9 A6
6 9

=504.

评述:插空法是处理排列、组合问题常用的方法. 培养能力 6.18 人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作, 有两位老年男人不在推选之列, 共有 64 种不同选法,问这个团中男女各几人? 解:设这个团中有男人 x 人,则有女人 18-x 人,根据题意得 C 1x ? 2 · C 1 ? x =64.解得 18 x=10. ∴这个团中有男 10 人,女 8 人. 7.(理)如下图,矩形的对角线把矩形分成 A、B、C、D 四部分,现用五种不同色彩给 四部分涂色, 每部分涂 1 种颜色, 要求共边的两部分颜色互异, 共有多少种不同的涂色方法?
A B C D

解法一:依题意,给四部分涂色,至少要用两种颜色,故可分成三类涂色:
4 第一类,用 4 种颜色涂色,有 A 5 种方法;

第二类,用 3 种颜色涂色,选 3 种颜色的方法有 C 3 种;在涂的过程中,选对顶的两部 5 分(A、C 或 B、D)涂同色,另两部分涂异色有 C 12 种选法;3 种颜色涂上去有 A 3 种涂法. 3 共 C 3 ·C 12 ·A 3 种涂法; 5 3
2 第三类,用两种颜色涂色.选颜色有 C 5 种选法;A、C 与 B、D 各涂一色有 A 2 种涂法. 2

2 共 C 5 ·A 2 种涂法. 2

4 2 所以共有涂色方法 A 5 +C 3 ·C 12 ·A 3 +C 5 ·A 2 =260 种. 5 3 2

解法二:区域 A 有 5 种涂色法;区域 B 有 4 种涂色法;区域 C 的涂色法有 2 类:若 C 与 A 涂同色,区域 D 有 4 种涂色法;若 C 与 A 涂不同色,此时区域 C 有 3 种涂色法,区域 D 也有 3 种涂色法. 所以共有 5×4×4+5×4×3×3=260 种涂色法. (文)10 只不同的试验产品,其中有 4 只次品,6 只正品,现每次取一只测试,直到 4 只次品全测完为止.求第 4 只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种? 分析:这个问题实际上可以看成是有约束条件的“10 选 5”排列.主要约束条件是第 5 个位置上的限定.考查对这类问题的“10 选 5”模型的转化. 解:优先考虑第五次(位置)测试.这五次测试必有一次是测试正品,有 C 16 种;4 只次 品必有一只排在第五次测试,有 A 14 种;那么其余 3 只次品和一只正品将在第 1 至第 4 次测 试中实现,有 A 4 种.于是根据分步计数原理有 C 16 A 14 A 4 种. 4 4 评述:C 16 A 5 是本题的错解,原因是这样排正好有可能正品出现在第五次测试. 5 探究创新 8.有点难度哟! 6 名运动员分到 4 所学校去做教练,每校至少 1 人,有多少种不同的分配方法? 分析:人员分配有两类:1,1,1,3 或 1,1,2,2. 解法一:先取人,后取位子. 1,1,1,3:6 人中先取 3 人有 C 3 种取法,与剩余 3 人分到 4 所学校去有 A 4 种不同 6 4 分法,∴共 C 3 A 4 种分法; 6 4
2 1,1,2,2:6 人中取 2 人、2 人、1 人、1 人的取法有 C 6 ·C 2 ·C 12 种,然后分到 4 4

所学校去,有

A4 A2 ?A2
2 2

4
2 种不同的分法,共 C 6 ·C 2 ·C 12 · 4

A4 A2 ?A2
2 2

4

种分法.所以符合条件的

2 分配方法有 C 3 A 4 +C 6 ·C 2 ·C 12 · 6 4 4

A4 A2 ?A2
2 2

4

=1560 种.

解法二:先取位子,后取人. 1,1,1,3:取一个位子放 3 个人,有 C 14 种取法,6 人中分别取 3 人、1 人、1 人、1 人的取法有 C 3 ·C 1 ·C 12 ·C 1 种,∴共有 C 14 ·C 3 ·C 1 ·C 12 ·C 1 种. 6 3 1 6 3 1 1,1,2,2:先取 2 个位子放 2(其余 2 个位子放 1)有 C 2 种取法,6 人中分别取 2 4
2 2 人,2 人,1 人,1 人的取法有 C 6 ·C 2 ·C 12 ·C 1 种,共有 C 2 ·C 6 ·C 2 ·C 12 ·C 1 种. 4 1 4 4 1

2 所以符合条件的分配方法有 C 14 ·C 3 ·C 1 ·C 12 +C 2 ·C 6 ·C 2 ·C 12 =1560 种. 6 3 4 4

●思悟小结 1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素,或充分利用元素的性质进行分类、 分步,再利用两个基本原理作最后处理. 2.对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重不漏. 3.对于选择题的答案要谨慎选择, 注意等价答案的不同形式.处理这类选择题可从分析答 案形式入手,采用排除法.错误的答案,都是犯有重复或遗漏的错误. ●教师下载中心 教学点睛 1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则:一是按元素的性质进行分类;二是按事件发 生的过程进行分步. 2.对于有附加条件的排列组合应用题,通常从三个途径考虑: (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列或组合数. 3.关于排列、组合问题的求解,应掌握以下基本方法与技巧 (1)特殊元素优先安排; (2)合理分类与准确分步; (3)排列、组合混合问题先选后 排; (4)相邻问题捆绑处理; (5)不相邻问题插空处理; (6)定序问题排除法处理; (7)分 排问题直排处理; “小集团”排列问题先整体后局部; (8) (9)构造模型; (10)正难则反, 等价转化. 拓展题例 【例 1】 (1)一条长椅上有 9 个座位,3 个人坐,若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子, 共有几种不同的坐法? (2)一条长椅上有 7 个座位,4 个人坐,要求 3 个空位中,恰有 2 个空位相邻,共有 多少种不同的坐法? 解: (1)先将 3 人(用×表示)与 4 张空椅子(用

□表示)排列如图(×□□×

□□×) 这时共占据了 7 张椅子,还有 2 张空椅子,一是分开插入,如图中箭头所示(↓ ,
×

□↓□×□↓□×↓) 4 个空当中选 2 个插入,有 C ,从

2 4

种插法;二是 2 张同时插

入,有 C 14 种插法,再考虑 3 人可交换有 A 3 种方法. 3 所以,共有 A 3 (C 2 +C 14 )=60(种). 3 4

下面再看另一种构造方法: 先将 3 人与 2 张空椅子排成一排, 5 个位置中选出 3 个位置排人, 2 个位置排空椅 从 另 子,有 A 3 C 2 种排法,再将 4 张空椅子中的每两张插入每两人之间,只有 1 种插法,所以 5 2 所求的坐法数为 A 3 ·C 2 =60. 5 2 (2)可先让 4 人坐在 4 个位置上,有 A 4 种排法,再让 2 个“元素” (一个是两个作为 4
2 一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入 4 个人形成的 5 个“空当”之间,有 A 5 种插

2 法,所以所求的坐法数为 A 4 ·A 5 =480. 4

【例 2】 已知 1<m<n,m,n∈N*,求证: (1+m)n>(1+n)m. 证法一:由二项式定理(1+m)n=C 0 m0+C 1n m1+?+C n mn, n n (1+n)m=C 0 n0+C 1m n1+?+C m n m , m m 又因为 C in m i =
A nm i!
i i

,C im n i =

A mn i!

i

i



而 A in mi>A im n i ,所以 C 2 m2>C 2 n 2 ,C 3 m 3 >C 3 n3,?,C m m m >C m n m . n n m m n m 又因为 C 0 m 0 =C 0 n 0 ,C 1n m 1 =C 1 n 1 , n m m 所以(1+m)n>(1+n)m. 证法二: (1+m)n>(1+n)m ? nln(1+m)>mln(1+n)
?
ln( 1 ? m ) m

>

ln( 1 ? n ) n

.

令 f(x)=

ln( 1 ? x ) x

,x∈[2,+∞] ,

只要证 f(x)在[2,+∞]上单调递减,只要证 f ′(x)<0. f ′(x)=
[ln( 1 ? x ) ] ? x ? x ? ? ln( 1 ? x ) x
2

=

x ? ln( 1 ? x )
2

(1 ? x )

x (1 ? x )

.

当 x≥2 时,x-lg(1+x) (1? x ) <0, x2(1+x)>0,得 f ′(x)<0,即 x∈[2,+∞]时,f ′(x)<0. 以上各步都可逆推,得(1+m)n>(1+n)m.


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