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2014届景德镇市高三第二次质检数学试题


景德镇市 2014 届高三第二次质检试题

数 学(理)
命题 市一中 江 宁 市二中 张勋达 审核 刘倩 昌江一中 叶柔涌 乐一中 许 敏 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

y
2

y
2

y

y

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? {x ?1 ? x ? 2}, N ? {y y ? a} ,若 M 是 A. ?1 ? a ? 2 B.
-1 O

N ? ? ,则实数 a 的取值范围一定

x

-1

O

x

-1

O

x
-2

-1

O

x

a?2

C. a ? ? 1

D. a ? ?1

2.若 (1 ? i)2 ? a 为纯虚数,则实数 a 的值为 A.0 B. ?2 C.1 D. ?1

A

B

C
1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log2 a2013 ? 3
D. 5

D

3. 若命题 P : 对于任意 x ?? ?1,1? ,有 f ( x) ? 0 ,则对命题 P 的否定是 A.对于任意 x ?? ?1,1? B.对于任意 x ? (??, ?1) 有 f ( x) ? 0

7.等差数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? A. 2 B. 3

C. 4

(1, ?) 有 f ( x) ? 0

C.存在 x0 ?? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0 D.存在 x0 ?? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0 4.在一组样本数据的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等 于其它 4 个小长方形的面积和的 A.56 B.80

8. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 是 AB 的 中点,D 是 AA1 的中点,则三棱锥 D ? B1C1E 的体积 与三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积之比是

A1 B1 D

C1

2 ,且样本容量为 280,则中间一组的频数为( 5
C.112 D.120

)

5.已知 ? ? ( ????? ) , sin(? ?

?

?

2

3 ) ? ,则 cos? ? 4 5
C. ?

1 4 1 C. 8
A.

1 6 3 D. 8
B.

A E B

C

A. ?

2 10

B.

7 2 10

2 7 2 或 10 10

D. ?

7 2 10

9.设 F 1 、F 2 分别是双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 的左.右焦点,过 F 1 的直线 l 与双曲线的左支相交 a 2 b2

于 A、B 两点,且三角形 ABF2 是以 ? B 为直角的等腰直角三角形,记双曲线 C 的离心率为 e , 6. 函数 y ?

2x ?1 的图像可能是 x ?1

则 e 为(

2



A. 5 ? 2 2

B.

5 2 ? 2 4

C. 5 ? 2 2

D.

5 2 ? 2 4

(2)方程 x ?1 ? x ? x ? 1 ? m 有四个解,则 m 的取值范围为



四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 a ? 2 sin A , (I)求边 c 的大小; (II)求△ABC 面积的最大值.

10.菱形 ABCD 的边长为

2 3 , ?ABC ? 60? ,沿对角线 AC 折成如图所示的四面体,二 3

面角 B ? AC ? D 为 60 ? , M 为 AC 的中点, P 在线段 DM 上,记 DP ? x , PA ? PB ? y , 则函数 y ? f ( x) 的图像大致为
y
2 2

cos B 2a b ? ? ?0. cos C c c

y
2

y
2

y

A

17. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ?

1 2 ax ? x ? ln x 2

M
1 1 1 1

B

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x ) 的单调区间;

P C

D

(2)若 f ( x ) 在 [2, ?) 上单调递增,求 a 的取值范围.

x O
1

x O
1

x O
1

x O
1

18. (本小题满分 12 分) 为了了解某班的全市“一检”的数学成绩情况,按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女 生的试卷成绩作为样本,他们数学成绩的茎叶图如图所示,其中茎为百位数和十位数,叶为 个位数. (Ⅰ)若该样本男女生平均分数相等,求 x 的值; 女生 男生 10 11 12 13 0 9 x 0 8 1 2 8 2 4

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. 11.已知程序框图如图,则输出的 i= .

12. 在 Rt ?ABC 中,AB ? 1 ,BC ? 2 ,AC ? 3 ,D 在边 BC 上,

(Ⅱ)若规定 120 分以上为优秀,在该 5 名女生试卷中 每次都抽取 1 份,且不重复抽取,直到确定出所

2 8 7 4 4

2 BD ? ,则 AB ? AD ? 3



有非优秀的女生为止(即所有非优秀的女生 的试卷被抽出,或所有优秀的女生的试卷被抽出) ,

13.已知抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过 F 的斜率为 3 的直线交
2

记所要抽取的次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

AF ? . FB 14. 设集合 S ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? , 集合 A ? ?a1, a2 , a3? ,A ? S ,
抛物线于 A, B 两点,其中第一象限内的交点为 A,则

19. (本小题满分 12 分)

P E D

P

a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a2 ? a3 且 a3 ? a2 ? 5 ,那么满足条件的集合 A
的个数为 . 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一 题评阅计分,本题共 5 分. 15. (1)如图,在极坐标下,写出点 P 的极坐标 .

如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC

60°
O 2 X

AB ? BC ? CD ?

1 AD ? 2 ,O 为 AD 上一点,且 2 A AO ? 1 , 平面外两点 P、 E 满足,AE ? 1 ,EA ? AB ,
B

O C

EB ? BD , PO // EA .

(1) 求证: EA ? 平面 ABCD ; (2) 求平面 AED 与平面 BED 夹角的余弦值; (3) 若 BE // 平面 PCD,求 PO 的长.

20. (本小题满分 13 分) 单调递增数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? (1)求 a1 ,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? ?

? an ?

1 2 ( an ? n ) . 2

? ?an?1,

n为奇数,

an?1 ? ?an?1 ? 2 ? 1 n为偶数

,求数列 {cn } 的前 2 n 项和 T2 n .

21. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 (m ? 0) , A.B 两点分别在双曲线 C 的两条渐近线上,且 m

AB ? 2 m ,又点 P 为 AB 的中点.
(1)求点 P 的轨迹方程并判断其形状; (2)若不同三点 D(-2,0) 、S、T 均在点 P 的轨迹上,且 DS ? ST ? 0 ; 求 T 点横坐标 xT 的取值范围。

景德镇市 2013 届高三第一次质检试题

数 学(文)
命题 市一中 昌江一中 江 宁 叶柔涌 市二中 乐一中 张勋达 许 敏 审核 刘倩

y
2

y
2

y

y

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x ?1 ? x ? 2}, N ? {y y ? a} ,若 M A. ?1 ? a ? 2 B.

-1 O

x

-1

O

x

-1

O

x
-2

-1

O

x

N ? ? ,则实数 a 的取值范围一定是
D. a ? ?1

a?2

C. a ? ?1

A

B

C

D

2.若 (1 ? i)2 ? a 为纯虚数,则实数 a 的值为 A.0 B. ?2 C.1 D. ?1

?x ? 2 ? 2 2 7. 不等式组 ? y ? 0 且 u ? x ? y ? 4 y ,则 u 的最小值为( ? y ? x ?1 ?
1 2 3 2

)

3. 若命题 P : 对于任意 x ?? ?1,1? 有 f ( x) ? 0 ,则对命题 P 的否定是 A.对于任意 x ?? ?1,1? B.对于任意 x ? (??, ?1) 有 f ( x) ? 0 A. B. 1 C. D. 4

(1, ?) 有 f ( x) ? 0

C.存在 x0 ?? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0 D.存在 x0 ?? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0 4.在一组样本的数据的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,若中间一个小长方形的面积 等于其它 4 个小长方形的面积和的 A.56 B.80

8. 等差数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? A. 2 B. 3

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log2 a2013 ? 3
D. 5

C. 4

9. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 是 AB 的 中点,D 是 AA1 的中点,则三棱锥 D ? B1C1E 的体积 与三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积之比是 A.

A1 B1 D

C1

2 ,且样本容量为 280,则中间一组的频数为( 5
C.112 D.120

)

5.已知 ? ? ( ?????? ) , sin(? ?

?

?

2

3 ) ? ,则 cos? ? 4 5

2 A. ? 10
6. 函数 y ?

7 2 B. 10

2 7 2 C. ? 或 10 10

7 2 D. ? 10

1 4 1 C. 8

B.

1 6
D.

3 8

A E B

C

2x ?1 的图像可能是 x ?1

2 3 ,?ABC ? 60? , 沿对角线 AC 3 折成如图所示的四面体,M 为 AC 的中点,?BMD ? 60? ,P
10. 菱形 ABCD 的边长为

在线段 DM 上,记 DP ? x , PA ? PB ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致为

y
2 2

y
2

y
2

y

17. (本小题满分 12 分)

A

设 f ( x) ? x2 ? x ? a ln x (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间;

1

1

1

1

M B P D

(2)若 f ( x ) 在 [2, ?) 上单调递增,求 a 的取值范围. 18.为了了解某班的全市“一检”的数学成绩情况,按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女生的试卷成绩作为样本,他们数学成绩的茎叶图如图所示,其中茎为十位数和百位数, 叶为个位数。 (Ⅰ)若该样本男女生平均分数相等,求 x 的值; 女生 2 8 7 4 4 19.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC 10 11 12 13 9 x 0 8 1 2 8 男生 0 2 4

x O
1

x O
1

x O
1

x O
1

A

B

C

D

C

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. 11.已知程序框图如图,则输出的 i= . 12.在 Rt ?ABC 中, AB ? 1 , BC ? 2 , AC ? 3 , D 在

(Ⅱ)若规定 120 分以上为优秀,在该 5 名女生 试卷中从中抽取 2 份试卷,求至少有 1 份成绩是 非优秀的概率.

2 边 BC 上, BD ? ,则 AB ? AD ? 3
C



D

1 AB ? BC ? CD ? AD ? 2 ,O 为 AD 上一点,且 2 AO ? 1 , 平 面 外 两 点 P 、 E 满 足 , 3 PO ? , AE ? 1 , EA ? 平面 ABCD , PO // EA 2
B
(1) 证明 BE // 平面 PCD; (2) 求该几何体的体积.

P E D

A B

O C

A

13 已知抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F , 过 F 的斜率为 3 的直线交抛物线于 A, B 两点, 其中第
2

20.单调递增数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? (1)求 a1 ,并求数列 {an } 的通项公式;

1 2 (an ? n) , 2

一象限内的交点为 A,则

AF ? FB



x 14.已知 y ? f ( x) ? 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 3 ,则 g (?1) ? _______ .

15.方程 x ?1 ? x ? 1 ? m 有 2 个解,则 m 的取值范围为



? 1 , ? 2 (2)设 cn ? ? an?1 ? 1 ? a ?3 ? 2 n?1 ? 1

n为奇数 n为偶数

,求数列 {cn } 的前 20 项和 T20 .

三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 c ? 2 , c cos B ? (2a ? b) cos C ? 0 . (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值. 21.已知 A,B 两点分别在直线 y ? 点.

x x 与y?? 上,且 AB ? 2 2 ,又点 P 为 AB 的中 2 2

(1)求点 P 的轨迹方程. (2)若不同三点 D(-2,0) ,S, T 均在点 P 的轨迹上,且 DS ? ST ? 0 , 求 T 点横坐标 xT 的 取值范围.

数学试题(理)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

(2) f ?( x) ? ax ? 1 ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? x x

由 f ?( x) ? 0 ,又 x ? 0 , 所以 ax ? x ? 1 ? 0
2

CACBA

BAA A D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.9 12.

a?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? )2 ? 2 x x x 2 4 1 1 ? x 2

2 3

13.3

14.55

由 x ? [2, ??) ? 0 ? 所以 (

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分. 15. (1) ( 3,

1 1 3 ? ) max ? 2 x x 4

?
6

)

(2) ?1, 2 ?

即 a ? [ , ??) 得a ?

3 4

四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3 ???12 分 4

16. (1)∵ ∴ ∴ ∴

cos B 2a b ∴ c cos B ? 2a cos C ? b cos C ? 0 ? ? ?0 cos C c c sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos C ? 0 sin A ? 2sin A cos C ? 0 ∵ sin A ? 0 1 2? a ∴ ∴ c? cos C ? ? C? ? sin C ? 3 ?? (6 分) 2 3 sin A

18. (1)解:依题意得

102 ? 118 ? 124 ? 127 ? 134 100 ? 102 ? 104 ? 119 ? 12 x ? 128 ? 130 ? 131 ? 132 ? 138 ? 5 10
得 x ? 6 ????????6 分 (2)由茎叶图知,5 名女生中优秀的人数为 3 人,非优秀的有 2 人

(2)∵

cos C ? ?

1 a ?b ?3 ? 2 2ab
2 2



a 2 ? b 2 ? ab ? 3

? ? 2,3, 4
P(? ? 2) ? P(? ? 4) ?
1 1 C2 C1 1 ? 1 1 C5C4 10 1 2 C2 C3 3 ? 3 C5 5



3ab ? 3 ∴
2

S ?ABC ?

1 3 ???? (12 分) ab sin C ? 2 4
( ( x ? 0)

17.解: f ( x) ? x ? x ? ln x

f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

3 10

令 f ?( x) ? 0 ? ?

?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ?1 ?x ? 0

?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 令 f ?( x) ? 0 ? ? ? 0 ? x ?1 ?x ? 0
所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减,在 [1, ??) 上单调递增?????????6 分

?
P

2
1 10

3
3 10

4
6 10

E? ? 2 ?

1 3 6 7 ? 3 ? ? 4 ? ? ????????12 分 10 10 10 2

19. (1)在等腰梯形 ABCD 中 BD ? AB ,又 ∵ EB ? BD ,∴ BD ? 平面 ABE ∴ BD ? EA 又 ∵ EA ? AB ∴ EA ? 平面 ABCD ?(4 分) (2)如图建立直角坐标系

n为奇数, ? ?an?1, cn ? ? an?1 ? ?an?1 ? 2 ? 1 n为偶数

T2n ? (2 ? 4 ?
A(0?,?? 1, ? ?0) , B( 3?,?0?,?0) , D(0?,?3?,?0) , E (0?,?? 1,1) ??
求得平面 AED 法向量为

? 2n) ? [1? 21 ? 3? 23 ?

(2n ?1) ? 22n?1 ] ? n

= n(n ? 1) ? [1? 21 ? 3 ? 23 ? 记 Sn ? 1? 21 ? 3? 23 ?

(2n ?1) ? 22n?1 ] ? n
① ②

(2n ?1) ? 22n?1 (2n ?1) ? 22n?1

n1 ? (1, ? ?0?,?0)
平面 BED 法向量为

z

4Sn ? 1? 23 ? 3? 25 ?
P E D A B x
∴ EB ? n1 ? 0 ∴h ? 由①-②得

n2 ? ( 3?,???,??)
∴平面 PBD 与平面 PCD 所成的角的余弦值为

?3Sn ? 2 ? 24 ? 26 ?
O C y

? 22n ? (2n ?1)22n?1

cos ? ?

3 15 ? 20 10

?3Sn ? 22 ? 24 ? 26 ?
?3Sn ?

? 22n ? (2n ?1)22n?1 ? 2

?(8 分)

(3) 设 PO ? h , EB ? ( 3?,1, ? ? ??1) 平面 PCD 法向量为

4(1 ? 4n ) ? (2n ? 1)22 n ?1 ? 2 1? 4

n2 ? (h?,? 3h?,?3 3)
(其他方法相应给分) 20. (1) n ? 1 时, a1 ?

3 ???? 2

Sn ?
(12 分)

4(1 ? 4n ) (2n ? 1)22 n ?1 2 ? ? 9 3 3 (6n ? 5)22 n ?1 10 ? 9 9

Sn ?
1 2 ( a1 ? 1) 2
得 a1 ? 1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? 得 an ?

1 2 ? an ?1 ? (an ?1 ? n ? 1) 2

T2n ?

(6n ? 5)22n?1 10 ? n2 ? n ? 9 9

?????13 分

1 2 2 (an ? an ?1 ? 1) 2
2 2

21. 双曲线渐近线为 y ?

化为 (an ?1) ? an?1 ? 0

x x 与y?? m m


an ? an?1 ? 1 或 an ? an?1 ? 1 ( n ? 2 )
又因为 ?an ? 单调递增数列,故 an ? an?1 ? 1 所以 ?an ? 是首项是 1,公差为 1 的等差数列, an ? n ??????6 分

所以设 A( xA ,

x ?x xA x x ?x ) , B( xB , B ) , xP ? A B yP ? A B 2 m m 2 m

又 AB ? 2 m ,点 P 的轨迹方程为 所以 m ? 1 时 P 的轨迹为圆

x2 ? y2 ? 1 2 m

m ? 1 时 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆 0 ? m ? 1 时 P 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆
把 D(-2,0)代入

(6 分) ①

x2 x2 2 ? y ? 1 ? y2 ? 1 ,得 P 的轨迹的 m2 4


(2)设直线 DS 为 y ? k ( x ? 2)

联立(1) (2)得 (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 4k 2 ?1 ? 0 设点 S ( x1 , y1 ) ,有 xD ? x1 ?

?16k 2 , 1 ? 4k 2

x1 ?

4k 2 ? 8k 2 , y1 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

则直线 ST 为 y ? ? 化简为: y ? ?

1 ( x ? x1 ) ? y1 k


x 2 ? 4k 2 ? k k (1 ? 4k 2 )

联立①,③得 (1 ?

4 2 8k 2 ? 4 ) x ? x ? 常数项=0 k2 k 2 (1 ? 4k 2 )

16 ? 32k 2 x1 ? xT ? (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 ) xT ? 16 ? 32k 2 2 ? 8k 2 8k 4 ? 2k 2 ? 8 ? ? (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2 4k 4 ? 17k 2 ? 4
36k 2 4k 4 ? 17k 2 ? 4
( 因为三点不同,易知 k ? 0 )

? 2?

? 2?

36k 2 36 36 14 ? ? 2? ? 4 2 4k ? 17k ? 4 4(k 2 ? 1 ) ? 17 25 25 k2
14 , ?? ) ?? (14 分) 25

所以 xT 的取值范围为 [

数学试题(文)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

a ? 2 x2 ? x
由 x ?[2, ??) 所以 (2 x2 ? x)min ? 6 得 a ? 6 ???12 分 18. (1)解:依题意得

CAC B A

BA A AD
2 3
14. ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.7 12. 13.

1 2

15. (2, ??)

102 ? 118 ? 124 ? 127 ? 134 100 ? 102 ? 104 ? 119 ? 12 x ? 128 ? 130 ? 131 ? 132 ? 138 ? 5 10
得 x ? 6 ????????5 分 (2)5 名女生中优秀有 3 人,记为 A 1 , A2 , A 1 , B2 3 非优秀 2 人记为 B 从中抽取 2 人有如下 10 种情况: (A , (A , (A , (A , ( A2 , A3 ) 1 , A2 ) 1, A 1, B 1) 1 , B2 ) 3) ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 期中至少有 1 份成绩是非优秀的有 7 种

三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (1)∵ c cos B ? 2a cos C ? b cos C ? 0 ∴ sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos C ? 0 ∴ sin A ? 2sin A cos C ? 0 ∵ sin A ? 0 ∴

cos C ? ?

1 2



C?

2? 3


??

(6 分)

(2)∵

1 a 2 ? b2 ? 3 cos C ? ? ? 2 2ab

a 2 ? b 2 ? ab ? 3

所以至少有 1 份成绩是非优秀的概率为

7 。??????12 分 10



3ab ? 3 ∴

S ?ABC ?

1 3 ???? (12 分) ab sin C ? 2 4
( ( x ? 0)

19. (1)取 AD 中点 G,延长 PE、DA 交于 F,连接 BF, ∴ GD ? 2 则 GD ? BC ∴

BG / /CD

P E D

17. (1) a ? 1

, f ( x) ? x2 ? x ? ln x

f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 ? ?

?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ?1 ?x ? 0 ?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? 0 ? x ?1 ?x ? 0

3 又 ∵ PO // EA 2 FA FE EA 2 ? ? ? ∴ FO FP PO 3 AO ? 1 得 FA ? 2 FG FE ? ∴ ∴ FG / / PD FD FP
∴ 平 面 EBG // 平 面 PCD ∴

F

A B

O

G C

令 f ?( x) ? 0 ? ?

所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减,在 [1, ??) 上单调递增?????????6 分

BE // 平面 PCD????
(2) 所求几何体体积为

(6 分)

a 2 x2 ? x ? a (2) f ?( x) ? 2 x ? 1 ? ? x x
由 f ?( x) ? 0 ,又 x ? 0 , 所以 2 x ? x ? a ? 0
2

V ? VP ? FBCD ? VE ? AFB

?2 3?

3 5 3 ? 3 3

????

(12 分)

20. (1) n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, S n ?1 ? 得 an ?

1 2 ( a1 ? 1) 2

得 a1 ? 1

x1 ?

1 2 (an ?1 ? n ? 1) 2

4k 2 ? 8k 2 , y1 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

1 2 2 (an ? an ?1 ? 1) 2

则直线 ST 为 y ? ? 化简为: y ? ?

1 ( x ? x1 ) ? y1 k


2 化为 (an ?1)2 ? an ?1 ? 0

x 2 ? 4k 2 ? k k (1 ? 4k 2 )

an ? an?1 ? 1 或 an ? an?1 ? 1 ( n ? 2 )
又因为 ?an ? 单调递增数列,故 an ? an?1 ? 1 所以 ?an ? 是首项是 1,公差为 1 的等差数列, an ? n ?????6 分

联立①,③得 (1 ?

4 2 8k 2 ? 4 ) x ? x ? 常数项=0 k2 k 2 (1 ? 4k 2 )

x1 ? xT ?

16 ? 32k 2 (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 )

? 1 , n为奇数, ? 2 (2) cn ? ? an?1 ? 1 ? a ?3 ? 2 n?1 ? 1 n为偶数

16 ? 32k 2 2 ? 8k 2 8k 4 ? 2k 2 ? 8 xT ? ? ? (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2 4k 4 ? 17k 2 ? 4
? 2? 36k 2 4k 4 ? 17k 2 ? 4
( 因为三点不同,易知 k ? 0 )

T2n ? [

1
2

2 ?1 4 ?1
?

?

1
2

?

?

] ? 3(21 ? 23 ? (20) ? 1
2

1

? 219 ) ? 10
? 2?



1 1 ? ? 1? 3 3 ? 5

1 2(1 ? 410 ) ? 3? ? 10 19 ? 21 1? 4

36k 2 36 36 14 ? ? 2? ? 4 2 4k ? 17k ? 4 4(k 2 ? 1 ) ? 17 25 25 k2
14 , ?? ) ?? (14 分) 25

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ) ? 2(410 ? 1) ? 10 2 1 3 3 5 19 21 10 178 ? 221 ? 8 ? 221 ? = ????????13 分 21 21


所以 xT 的取值范围为 [

21.(1)P 的轨迹的

x2 ? y2 ? 1 4

①?????6 分

(2)设直线 DS 为 y ? k ( x ? 2)
2 2 2


2

联立(1) (2)得 (1 ? 4k ) x ?16k x ?16k ? 4 ? 0 设点 S ( x1 , y1 ) ,有 xD ? x1 ?

?16k 2 , 1 ? 4k 2


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