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2014-2015学年北京市昌平区215届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)


昌平区 2014-2015 学年第一学期初三年级期末质量抽测

数 学 试 卷
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的. 1 1.已知∠A 为锐角,且 sinA= ,那么∠A 等于 2 A.15° B.30°

120 分钟,120 分

2015.1

/>
C.45°

D.60°

2.下列图形中,既是轴对 称图形又是中心对称图形的是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.正方形 D.正五边形

3.如图,等边三角形 ABC 内接于⊙O,那么∠BOC 的度数是 A.150° B.120° C.90° D.60°

A O B C

4.如图,在△ABC 中,DE∥BC,分别交 AB,AC 于点 D,E. 若 AD=1,DB=2,则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于
D A E

A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 9

B

C

5.如图,在△ABC 中,D 为 AC 边上一点,若∠DBC=∠A,BC= 6 ,

C
AC=3,则 CD 的长为

D

A.1

B.

3 2

C.2

D.

5 2

A

B

1

6.如图,点 P 是第二象限内的一点,且在反比例函数 y ? △PAO 的面积为 3,则 k 的值为 A.3 B.- 3 C. 6

k 的图象上,PA⊥x 轴于点 A , x
y P A O x

D.-6

7.如图,AB 为⊙O 的弦,半径 OD⊥AB 于点 C.若 AB=8,CD=2,则⊙O 的半径长为 A. 7 B.3 C .4 D.5

O A
C

B

D
8.如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠B=60°,M 为 AB 的中点.动点 P 在菱形的边上从点 B 出发,沿 B→C→D 的方向运动,到达点 D 时停止.连接 MP,设点 P 运动的路程为 x, MP
2

=y,则表示 y 与 x 的函数关系的图象大致为 y y 7 7 A D

y
7 7

y

M B P C
4 x 4 x 4 x 4 x

A

B

C

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 抛物线 y ? ( x ? 2)2 ? 1 的顶点坐标是
2



10.已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范 围是 . 11. 如图,点 P 是⊙ O 的直径 BA 的延长线上一点,PC 切⊙ O 于 点 C,若 ?P ? 30 ,PB=6,则 PC 等于 .

P

A O C B

12.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(3,0),B(0,4),记 Rt△OAB 为三角形①,按 图中所示的方法旋转三角形,依次得到三角形②,③,④,……,则三角形⑤的直角顶点的 坐标 为 为 . ;三角形⑩的直角顶点的坐标为 y B
① ②

;第 2015 个三角形的直角顶点的坐标





……

O

A

x

2

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. 计算 : 3 tan 60? ? sin 45? ? 3tan 45? ? cos60? .
2

[来源:学_科_网]

14. 解方程: 2 x ? 3x ? 1 ? 0 .
2

15.已知△ ABC 如图所示地摆放在边长为 1 的小正方形组成的网格内,将△ ABC 绕点 C 顺 时针旋转 90°,得到△ A1 B1C . (1)在网格中画出△ A1 B1C ; (2)直接写出点 B 运动到点 B1 所经过的路径的长.

A C

B

16. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? ax ? b 的图象与反比例函数 y ? 图象交于 A(-1,4),B(2,m)两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)直接写出不等式 ax ? b <

k 的 x

y A
O

k 的解集. x

B

x

17.如图,在△ABC 和△CDE 中,∠B =∠D=90°,C 为线段 BD 上一点,且 AC⊥ CE.AB=3,DE=2,BC=6.求 CD 的长.
A E B C D

18.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,DC= 3 , AC=3. (1)求∠B 的度数; (2)求 AB 及 BC 的长.

A
[来源:学。科。网 Z 。X。X。K]

B

D

C

3

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.已知抛物线 y ? x2 ? (2m ?1) x ? m2 ? m .错误!未找到引用源。 (1)求证:此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点; (2)若此抛物线与直线错误!未找到引用源。 y ? x ? 3m ? 3 的一个交点在 y 轴上,求 m 的值. 20.如图,在修建某条地铁时,科技人员利用探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到地下 C 处有金属回声.已知 A、B 两点相距 8 米,探测线 AC,BC 与地面的夹角分别是 30°和 45°,试确定有金属回声的点 C 的深度是多少米?

B 45°

A

30°

C

21.已知: 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,经过 B、

D 两点的⊙ O 交 AB 于点 E,交 BC 于点 F, EB 为⊙ O 的直径.
(1)求证:AC 是⊙ O 的切线;

D A

C F O B

1 (2)当 BC=2,cos∠ABC ? 时,求⊙ O 的半径. 3

E

22.已知,正 方形 ABCD 的边长为 6,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 AB 边上,且∠EDF =45°. (1)利用画图工具,在右图中画出满足条件的图形; (2)猜想 tan∠ADF 的值,并写出求解过程.

A

D

B

C

4

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)
23.已知:如图,一次函数 y ? x ? 2 的图象与反比例函数 y ? 点,且点 A 的坐标为(1,m). (1)求反比例函数 y ?

k 的图象交于 A、B 两 x

k 的表达式; x k 的图象上,求△AOC 的面积; x

(2)点 C(n,1)在反比例函数 y ?

(3)在 x 轴上找出 点 P,使△ABP 是以 AB 为斜边的直角三角形,请直接写出所有符 合条件的点 P 的坐标.

y A C B O x

y A C B O x

备用图

24.如图,已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠DAE = 90°,AB =AC, AD =AE.连接 BD 交 AE 于 M,连接 CE 交 AB 于 N,BD 与 CE 交点为 F,连接 AF. (1)如图 1,求证:BD⊥CE; (2)如图 1,求证:FA 是∠CFD 的平分线; (3)如图 2,当 AC=2,∠BCE=15°时,求 CF 的长.
B F
M
[来源:Zxxk.Com]

B
E

F E N
M

N

C

A D

C

A D

图1

图2

5

25.如图,二次函数 y=-x +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(﹣1,0),B(2,0),与 y 轴相 交于点 C. (1)求二次函数的解析式; (2)若点 E 是第一象限的抛物 线上的一个动点,当四边形 ABEC 的面积最大时,求点 E 的 坐标,并求出四边形 ABEC 的最大面积; (3)若点 M 在抛物线上,且在 y 轴的右侧.⊙ M 与 y 轴相切,切点为 D.以 C,D,M 为 顶点的三角形与△AOC 相似,求点 M 的坐标.

2

y
C

y
C

A

O

B

A
x

O

B

x

备用图

6

2014-2015 学年第一学期初三年级期末质量抽测(样题)

数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)

2015.1

题号 答案

1
B

2
C

3
B

4
D

5
C

6
D

7
D

8
B

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)

题号 答案

9 (2,1)

10

11
2 3

12

m>-1



84 12 40284 12 , ) (36, 0) ( , ) 5 5 5 5

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)

? 2? 1 ? 13.解:原式 ? 3 ? 3 ? ? ? 2 ? ? 3 ?1 ? 2 ? ?
? 3? 1 1 ?3? 2 2

2

…………………………4 分

? 0.

……………………………………5 分

14.解法一:∵ a ? 2 , b ? ?3 , c ? 1 , ∴ ? ? (?3) 2 ? 4 ? 2 ?1 ? 1. ∴ x? ……………………………………2 分 ……………………………………3 分

3 ?1 . 4

∴ 原方程的根为: x1 ? 1,x2 ? 解法二:

1 . 2

……………………………………5 分

x2 ?

3 1 x?? . 2 2
………………………………………1 分

x2 ?

3 9 1 9 x? ?? ? . 2 16 2 16

7

3? 1 ? ?x? ? ? . 4? 16 ?
x? 3 1 ?? . 4 4
1 . 2

2

………………………………………2 分

………………………………………3 分 ………………………………………5 分 ………………………………………2 分 ………………………………………3 分 ………………………………………5 分

∴ x1 ? 1 , x2 ?

解法三: ?2 x ? 1??x ? 1? ? 0

2 x ? 1 ? 0 ,或 x ? 1 ? 0 .
∴ x1 ? 1 , x2 ?

1 . 2

15.解:(1)如图所示,△A1B1C 即为所求作的图形. (2) BB = 2 π. 1 16.解:(1)∵ 反比例函数 y ?

……………3 分

……………………………5 分

k 经过 A(-1,4),B(2,m)两点, x

∴ 可求得 k =-4,m =-2.

4 ∴ 反比例函数的解析式为 y ? ? . x

B(2,-2).
∵ 一次函数 y ? ax ? b 也经过 A、B 两点,

……………………………………2 分

?4 ? ?a ? b , ∴ ? ??2 ? 2a ? b . ?a ? ?2 , 解得 ? ?b ? 2 .
∴ 一次函数的解析式为 y ? ?2 x ? 2 . (2)如图,-1<x<0,或 x>2.

y A
-1 O 2

B

x

……………………………………3 分 ……………………………………5 分

8

17.解:∵ 在△ABC 中,∠B =90?,
A

∴ ∠A +∠ACB = 90?. ∵ AC⊥CE, ∴ ∠ACB +∠ECD =90?. ∴ ∠A=∠ECD. ∵ 在△ABC 和△CDE 中, ∠A=∠ECD,∠B=∠D=90?, ∴ △ABC∽△CDE. ∴
AB BC . ? CD DE
B C

E D

……………………………………2 分

……………………………………3 分 ……………………………………4 分

∵ AB = 3,DE =2,BC =6, ∴ CD =1. ……………………………………5 分

18.解:(1)∵ 在△ ACD 中, ?C ? 90? ,CD= 3 ,AC=3, ∴ tan ?DAC ?
CD AC ? 3 3

. ……………………………………1 分

A

∴ ∠DAC =30?. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAC =2∠DAC =60?. ∴ ∠B =30?.

B

D

C

……………………………2 分

[来源:Z&xx&k.Com]

…………………………………………3 分

(2) ∵ 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30?,AC=3,
9

∴ AB =2AC =6.
BC ? AC tan B ? 3 3 3 ?3 3.

………………………4 分 …………………………5 分

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19 (1)证明:∵ △= ??(2m ? 1)? ? 4(m2 ? m)
2

…………………………………… 1 分

= 4m2 ? 4m ? 1 ? 4m2 ? 4m =1>0,
∴ 此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点. ……… 2 分

(2)解:∵ 此抛物线与直线错误!未找到引用源。 y ? x ? 3m ? 3 的一个交点在 y 轴上, ∴ m2 ? m ? ?3m ? 3 . ∴ m2 ? 2m ? 3 ? 0 . ∴ m1 ? ?3 , m2 ? 1 . ∴ m 的值为 ?3 或 1. 20.解:如图,作 CD⊥AB 于点 D.
D

……………………………………… 3 分

………………………… 5 分

∴ ∠ ADC =90° . ∵ 探测线与地面的夹角分别是 30°和 45°, ∴ ∠DBC=45°,∠DAC=30°. ∵ 在 Rt △ DBC 中,∠ DCB =45° , ∴ DB = DC . ............................ 2 分 ∵ 在 Rt △ DAC 中,∠ DAC =30° , ∴ AC= 2 CD ............................ 3 分
10

B 45°

A

30°

C

∵ 在 Rt △ DAC 中,∠ ADC =90° ,AB =8 , ∴ 由勾股定理,得 AD 2 ? CD 2 ? AC 2 . ∴ (8 ? CD)2 ? CD2 ? (2CD)2 . ∴ CD ? 4 ? 4 3 . ∵ CD ? 4 ? 4 3 不合题意,舍去. ∴ CD ? 4 ? 4 3 . ∴ 有金属回声的点 C 的深度是( 4 ? 4 3 ) 米. 21(1)证明:如图,连结 OD . ∴ OD ? OB . ∴ ?1 ? ? 2 . ∵ BD 平分 ?ABC , ∴ ?1 ? ?3 . ∴ ?2 ? ?3 . ∴ OD ∥ BC . ∴ ?ADO ? ?C ? 90 °. ∴ OD ⊥ AC . ∵ OD 是⊙O 的半径, ∴ AC 是⊙O 的切线. …………………………………2 分 …………………………..1 分
A E D
2

……………………………………… 4 分

………………… 5 分

C F
1 3

O

B

(2)解:在Rt△ACB中, ?C ? 90 ,BC=2 , cos∠ABC ?

1 , 3

11

∴ AB ?

BC ? 6. cos ?ABC

…………………………………………………… 3分

设 ⊙O 的半径为 r ,则 AO ? 6 ? r . ∵ OD ∥ BC , ∴ △ AOD ∽△ ABC . ∴

OD AO ? . BC AB
r 6?r ? . 2 6



解得 r ?

3 . 2
3 . 2
………………………………………………………… 5 分

∴ ⊙O 的半径为

22. 解:(1)如图 1.

………………………… 1 分

(2)猜想 tan∠ADF 的值为 求解过程如下: 如 图 2.

1 .……………………2 分 3

A F

D

B

E

C

在 BA 的延长线上截取 AG=CE,连接 DG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°. ∴ ∠GAD = 90°. ∴ △AGD ≌ △CED. ………………………………3 分

图1

∴ ∠GDA=∠EDC ,GD=ED,AG=CE.

12

∵ ∠FDE=45°, ∴ ∠ADF+∠EDC=45°. ∴ ∠ADF+∠GDA =45°. ∴ ∠GDF=∠EDF . ∵ DF = DF, ∴ ∠GDF≌∠EDF . ∴ GF =EF. 设 AF=x, 则 FB=6-x, ∵ 点 E 为 BC 的中点, ∴ BE=EC=3. ∴ AG=3. ∴ FG=EF=3+x. 在 Rt △ BEF 中,∠B =90°, 由勾股定理,得 BF 2 ? BE 2 ? EF 2 , ∴ 32 ? (6 ? x)2 ? (3 ? x)2 . ∴ x=2. ∴ AF=2. ∴ 在 Rt △ ADF 中,tan∠ADF= ………………………………………… 5 分 ……………………………… 4分

G

A F

D

B

E

C

图2

AF 1 ? . AD 3

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.解:(1)∵点 A(1,m)在一次函数 y ? x ? 2 的图象上,

[来源:学科网 ZXXK]

13

∴ m=3. ∴ 点 A 的坐标为(1,3). ………………………………1 分

∵点 A(1,3)在反比例函数 y ? ∴ k =3. ∴反比例函数 y ?

k 的图象上, x

3 k 的表达式为 y ? x. x

…………………2 分

(2)∵点 C(n,1)在反比例函数 y ? ∴ n=3. ∴ C(3,1). ∵ A(1,3), ∴ S△AOC =4. (3)所有符合条件的点 P 的坐标:

3 的图象上, x

………………………………5 分

P1( ? 7 ?1 ,0),P2( 7 ? 1 ,0).
24.(1)证明:如图 1. ∵ ∠BAC =∠DAE=90°,∠BAE=∠BAE,

………………………7 分

B F M C A D E

N

∴ ∠CAE=∠BAD. 在△CAE 和△BAD 中,

图1

? AC ? AB, ? ??CAE ? ?BAD, ? AE ? AD, ?
∴ △CAE≌△BAD. …………………… 1 分

14

∴ ∠ACF=∠ABD. ∵ ∠ANC=∠BNF, ∴ ∠BFN=∠NAC=90°. ∴ BD⊥CE. (2)证明:如图 1’. 作 AG⊥CE 于 G,AK⊥BD 于 K.
C
N G

………………………… 2 分
B F
M

E

由(1)知 △CAE ≌△BAD, ∴ CE = BD,S△CAE =S△BAD . ………………… 3 分 ∴ AG = AK. ∴ 点 A 在∠CFD 的平分线上. 即 FA 是∠CFD 的平分线. (3)如图 2.
B

A

K

图1'

D

………… 4 分

∵ ∠BAC = 90°,AB =AC, ∴ ∠ACB=∠ABC =45°.
C

F E N
M

A D

∵ ∠BCE=15°, ∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN. 在 Rt△ACN 中 ∵ ∠NAC = 90°,AC=2,∠ACN = 30°,
图2

∴ AN ?

2 3 3

, CN ?

4 3 3



…………………………………… 5 分

∵ AB=AC=2,
15

∴ BN= 2-

2 3 3



…………………………………… 6 分

在 Rt△ACN 中 ∵ ∠BFN = 90°,∠FBN = 30°,

∴ NF ?

1 2

BN ?

3? 3 3



∴ CF ? CN ? NF ? 1 ?
2

3.

……………… 7 分

25.解:(1)∵ 二次函数 y=-x +bx+c 的图象与 x 轴相交于点 A(﹣1,0),B(2, 0), ∴ ?

? 0 ? ?1 ? b ? c, ?0 ? ?4 ? 2b ? c. ? b ? 1, ?c ? 2.
2

解得 ?

∴ 二次函数的解析式为 y= -x +x +2. (2)如图 1. ∵二次函数的解析式为 y=-x2+x+2 与 y 轴相交于点 C, ∴ C(0,2). 设 E(a,b),且 a >0,b >0.

……………………2 分

y
C

E B

A

O

F 图1

x

∵ A(-1,0),B(2,0), ∴ OA=1,OB=2,OC=2. 则 S 四边形 ABEC=

1 1 1 ?1? 2 ? (2 ? b) ? a ? (2 ? a) ? b = 1 ? a ? b 2 2 2

∵ 点 E(a,b)是第一象限的抛物线上的一个动点,
16

∴ b = -a2 +a +2, ∴ S 四边形 ABEC = - a2+2a+3 = -(a -1)2+4 ∴ 当四边形 ABEC 的面积最大时,点 E 的坐标为(1,4),且四边形 ABEC 的最大面积为 4.…………5 分
C

y

(3)如图 2. 设 M(m,n),且 m>0. ∵ 点 M 在二次函数的图象上, ∴ n =-m2 +m +2. ∵ ⊙M 与 y 轴相切,切点为 D, ∴ ∠MDC =90°. ∵ 以 C,D,M 为顶点的三角形与△AOC 相似, ∴
A O

D

M B x

图2

CD OA 1 CD OC ? ? ,或 ? ?2. DM OC 2 DM OA

…………6 分

①当 n >2 时,

-m 2 ? m 1 ?m 2 ? m ? ,或 ?2 . m 2 m
1 , 或 m3=0(舍去),m4=-1(舍去). 2 3 ,或 m3=0(舍去),m4=3. 2

解得 m1=0(舍去),m2=

②同理可得,当 n<2 时,m1=0(舍去) ,m2=

综上,满足条件的点 M 的坐标为(

1 9 3 , ),( , 2 4 2

5 ),(3,-4). ……8 分 4

17


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