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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第八节空间向量的应用(一) 理


第八节 空间向量的应用(一) 理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念,并会求这三类空间角 的大小或它的一种三角函数值. 知识梳理 一、异面直线所成的角 1. 定义: 已知两条异面直线 a, b, 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a, b′∥b, a′, b′ 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 a′,b′所成的锐角(或直角)叫异面直线 a,b 所成 的角(或夹角).为了简便起见,点 O 通常取在异面直线的一条上. ? π? 2.异面直线所成的角的取值范围:?0, ?. 2? ? 3.求异面直线所成的角的方法:①几何法;②向量法. 二、直线和平面所成的角 1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所 成的角. 特例:当一直线垂直于平面,规定它们所成的角是直角;当一直线平行于平面或在平面 内,规定它们所成的角为 0°角. ? π? 2.直线和平面所成角的取值范围:?0, ?. 2? ? 三、二面角 1.定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面 叫做二面角的面.若棱为 l,两个面分别为 α ,β 的二面角记为 α lβ . 2.二面角的平面角. 第 1 页 共 9 页 (1)过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB,则∠AOB 叫 做二面角 α lβ 的平面角. (2)一个平面垂直于二面角 α lβ 的棱 l,且与两半平面交线分别为 OA,OB,O 为垂足, 则∠AOB 就是 α lβ 的平面角. 说明:①二面角的平面角范围是[0,π ]; ②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直. 3.二面角大小的求法:①几何法;②向量法. S′ 4.求二面角的射影公式:cos θ = , S 其中各个符号的含义是:S 是二面角的一个面内图形 F 的面积,S′是图形 F 在二面角 的另一个面内的射影,θ 是二面角的平面角大小. 四、三种空间角的向量法计算公式 a,b |(其中 a,b 分别是异面直线 a, 1.异面直线 a,b 所成的角 θ :cos θ =| b 的方向向量). a,n |. 2.直线 a 与平面 α (其法向量为 n)所成的角 θ :sin θ =| m,n |,其中 m,n 为两个面的法向量. 3.锐二面角 θ :(法一)cos θ =| (法二)cos θ =|cos a,b |,其中 a,b 是分别在两个面内且与棱都垂直的向量. 基础自测 1.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所 成的角等于( ) A.120° B.60° C.30° D.60°或 30° 解析:根据线面角的定义知,选项 C 正确. 答案:C 9 2. (2013?山东卷)已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直, 体积为 , 底面是边长为 3 4 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) 第 2 页 共 9 页 A. 5π 12 π B. 3 π C. 4 π D. 6 1 3 3 解析:如题图所示:SABC= ? 3? 3?sin 60°= . 2 4 所以 VABCA1B1C1=SABC?OP= ∴OP= 3. 3 2 又 OA= ? 3? =1, 2 3 3 3 9 ?OP= , 4 4 OP π

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