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广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


广东省云浮市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合要求的。 1. (5 分)命题“若 x>2,则 x ﹣3x+2>0”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ﹣3x+2<0,则 x≥2 B. 若 x≤2,则 x ﹣3x+2≤0 2 2 C. 若 x ﹣3x+2≤0,则 x≥2 D.若 x ﹣3x+2≤0,则 x≤2 2. (5 分)已知直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 A.1 B . ﹣1 ,则 a 等于() C. D.﹣2
2

3. (5 分)已知椭圆 A.2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,则椭圆的短轴长为() C. 6 D.4

B. 4

4. (5 分)已知向量 A.0° B.45°
2 2

,则 与 的夹角为() C.90° D.180°

5. (5 分)直线 l 过圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 的圆心,且在 y 轴上的截距等于圆的半径,则直线 l 的方程为() A.5x+y﹣3=0 B.5x﹣y﹣3=0 C.4x+y﹣3=0 D.3x+2y﹣6=0 6. (5 分)已知直线 a,平面 α,β,且 a?α,则“a⊥β”是“α⊥β”的() A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7. (5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.90cm

3

B.95.5cm
2

3

C.102cm

3

D.104cm

3

8. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点作倾斜角为 30°的直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点, 分别过 P、Q 两点作 PP1,QQ1 垂直于抛物线的准线于 P1、Q1,若|PQ|=2,则四边形 PP1Q1Q 的面积是() A. B. 2 C. 3 D.1

二、填空题:本大题共有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 2 9. (5 分)命题“?x∈Z,x +2x+m≤0”的否定是.

10. (5 分)已知双曲线 x ﹣

2

=1(b>0)的离心率为

,则 b=.

11. (5 分)已知球 O 的表面积是其半径的 6π 倍,则该球的体积为. 12. (5 分) 已知抛物线 y =2px (p>0) 的准线与直线 x+y﹣3=0 以及 x 轴围成三角形面积为 8, 则 p=. 13. (5 分)已知圆 C:x +y ﹣4x+m=0 与圆(x﹣3) +(y+2 则点 P 到直线 mx﹣4y+4=0 的距离的最大值为.
2 2 2 2

) =4 外切,点是圆 C 一动点,

2

14. (5 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的 中点,那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为.

三、解答题:本大题共有 6 个小题,共 80 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知直线 l:x﹣2y﹣1=0,直线 l1 过点(﹣1,2) . (1)若 l1⊥l,求直线 l1 与 l 的交点坐标; (2)若 l1∥l,求直线 l1 的方程. 16. (13 分)设条件 p:x ﹣6x+8≤0,条件 q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)≤0,若 p 是 q 的必要不充分 条件,求实数 a 的取值范围. 17. (13 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点 (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E﹣BCD 的体积.
2

18. (14 分)已知圆 C:x +y +Dx+Ey+3=0,圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称,圆心在第二象限, 半径为 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 19. (14 分)在如图所示的几何体中,AE⊥平面 ABC,CD∥AE,F 是 BE 的中点,AC=BC=1, ∠ACB=90°,AE=2CD=2. (Ⅰ)证明 DF⊥平面 ABE; (Ⅱ)求二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值.

2

2

20. (14 分)在直角坐标平面内,已知点 A(2,0) ,B(﹣2,0) ,P 是平面内一动点,直线 PA、PB 斜率之积为﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点( ,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M,求直线 MA 的 斜率 k 的取值范围.

广东省云浮市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合要求的。 1. (5 分)命题“若 x>2,则 x ﹣3x+2>0”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ﹣3x+2<0,则 x≥2 B. 若 x≤2,则 x ﹣3x+2≤0 2 2 C. 若 x ﹣3x+2≤0,则 x≥2 D.若 x ﹣3x+2≤0,则 x≤2 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据逆否命题的定义写出命题的逆否命题即可. 2 解答: 解:命题“若 x>2,则 x ﹣3x+2>0”的逆否命题是: 2 若 x ﹣3x+2≤0,则 x≤2, 故选:D. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题.
2

2. (5 分)已知直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 A.1 B . ﹣1

,则 a 等于() C. D.﹣2

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出. 解答: 解:∵直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 ∴﹣a= , ,

∴a=1. 点评: 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题.

3. (5 分)已知椭圆 A.2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,则椭圆的短轴长为() C. 6 D.4

B. 4

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆 出椭圆的短轴长. 解答: 解:因为椭圆 所以 8﹣b =4, 所以 b=2,
2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,可得 8﹣b =4,求出 b,即可求

2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,

所以 2b=4, 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.

4. (5 分)已知向量 A.0° B.45° C.90°

,则 与 的夹角为() D.180°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 设则 与 的夹角为 θ 由向量夹角的定义可得, θ=90° 解答: 解:设则 与 的夹角为 θ 由向量夹角的定义可得, ∵0°≤θ≤180° ∴θ=90° 故选 C 点评: 解决本题的关键需掌握:向量数量积的坐标表示,还要知道向量的夹角的范围,只 有数列掌握基础知识,才能在解题时灵活应用. 5. (5 分)直线 l 过圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 的圆心,且在 y 轴上的截距等于圆的半径,则直线 l 的方程为() A.5x+y﹣3=0 B.5x﹣y﹣3=0 C.4x+y﹣3=0 D.3x+2y﹣6=0 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 首先将圆的方程化为标准方程,明确圆心即半径,利用两点式求出直线方程. 2 2 解答: 解:由已知得圆的方程为(x﹣1) +(y+2) =9, 所以圆心为(1,﹣2) ,半径为 3, 由两点式导弹直线方程为: ,
2 2

0°≤θ≤180°可得

化简得 5x+y﹣3=0. 故选 A. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系以及两点式求直线方程,属于基础题目. 6. (5 分)已知直线 a,平面 α,β,且 a?α,则“a⊥β”是“α⊥β”的() A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 根据线面垂直和面面垂直之间的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即 可. 解答: 解:由面面垂直的判定定理得,若 a⊥β,∵a?α,∴α⊥β 成立, 反之,若 α⊥β,则 a 与 β 位置关系不确定, 故“a⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据线面垂直和面面垂直之间的关系是 解决本题的关键. 7. (5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.90cm

3

B.95.5cm

3

C.102cm

3

D.104cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 原几何体为:一个长宽高分别为 6,3,6 的长方体砍去一个三棱锥,底面为直角边 分别为 3,5 直角三角形,高为 5.利用长方体与三棱锥的体积计算公式就可得出. 解答: 解:由题意,原几何体是一个长宽高分别为 6,3,6 的长方体砍去一个三棱锥,底 面为直角边分别为 3,5 直角三角形,高为 5. 因此该几何体的体积=3×6×6﹣ =108﹣12.5=95.5. 故选:B. 点评: 本题考查了三视图、长方体与三棱锥的体积计算公式,属于基础题. 8. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点作倾斜角为 30°的直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点, 分别过 P、Q 两点作 PP1,QQ1 垂直于抛物线的准线于 P1、Q1,若|PQ|=2,则四边形 PP1Q1Q 的面积是() A. B. 2 C. 3 D.1 考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质. 专题: 数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分析:这是一个抛物线的焦点弦问题,所以要尽可能的利用抛物线的定义、性质结 合图象将问题合理转化后求解. 解答: 解:如图所示:由已知得|PP1|+|QQ1|=|PQ|=2, 所以直角梯形 PP1QQ1 的面积 S= =|P1Q1|,
2

又因为∠QPP1=30°,所以在直角梯形 PP1QQ1 中,|P1Q1|=|PQ|sin∠QPP1=2sin30°=1. 所求四边形 PP1Q1Q 的面积为 1. 故选 D

点评: 抛物线的焦点弦问题常从定义出发,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离 相互转换,将所求的问题转化为我们所熟知的问题解决;同时要强化解析几何问题做题先画 图的思想意识,充分利用数形结合的思想解题. 另外,本题也可以借助于方程的思想求解,即先利用直线与抛物线方程联立消元,利用韦达定 理、弦长公式求出 p 的值,再将所求的面积用 P、Q 的坐标表示,最后利用韦达定理采用“设 而不求”的方法将面积表示并求出来. 二、填空题:本大题共有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 9. (5 分)命题“?x∈Z,x +2x+m≤0”的否定是“?x∈Z,x +2x+m>0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 解答: 解:命题为特称命题, 2 2 则命题“?x∈Z,x +2x+m≤0”的否定是:“?x∈Z,x +2x+m>0” 2 故答案为:?x∈Z,x +2x+m>0 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
2 2

10. (5 分)已知双曲线 x ﹣

2

=1(b>0)的离心率为

,则 b=3.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 x ﹣ 的值. 解答: 解:∵双曲线 x ﹣
2 2

=1(b>0)的离心率

,可得 a=1,c=

,求出 b,即可求出 b

=1(b>0)的离心率为



∴a=1,c= ∴b=

, =3,

故答案为:3 点评: 本题主要考查双曲线的简单性质的应用,属于基础题.

11. (5 分)已知球 O 的表面积是其半径的 6π 倍,则该球的体积为 π.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;球. 分析: 设球 O 的半径为 r,由球的表面积公式,解方程求得 r,再由球的体积公式,计算即 可得到. 解答: 解:设球 O 的半径为 r, 2 则 4πr =6πr, 解得 r= , 则球的体积为 V= πr = π× = π. 故答案为: π. 点评: 本题考查球的表面积和体积的公式的运用,考查运算能力,属于基础题. 12. (5 分) 已知抛物线 y =2px (p>0) 的准线与直线 x+y﹣3=0 以及 x 轴围成三角形面积为 8, 则 p=2. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线方程得到其准线方程,求出直线和准线的交点,直线在 x 轴上的截距,代 入三角形面积公式求得 p. 解答: 解:抛物线的准线方程为 x=﹣ ,
2 3

联立

,解得 y=3+ ,

在直线 x+y﹣3=0 中取 y=0,得 x=3, ∴抛物线 y =2px (p>0) 的准线与直线 x+y﹣3=0 以及 x 轴围成三角形面积 S= 解得:p=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了三角形面积公式的应用,是基础题.
2



13. (5 分)已知圆 C:x +y ﹣4x+m=0 与圆(x﹣3) +(y+2 则点 P 到直线 mx﹣4y+4=0 的距离的最大值为 3.

2

2

2

) =4 外切,点是圆 C 一动点,

2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据两圆外切求出 m 的值,利用直线和圆的位置关系即可得到结论. 解答: 解:圆 C 的标准方程为(x﹣2) +y =4﹣m, ∵两圆相外切, ∴ ,解得 m=3, ,
2 2

∵圆心 C(2,0)到 3x﹣4y+4=0 的距离 d=0

∴点 P 到直线 3x﹣4y+4=0 的距离的最大值为 2+1=3, 故答案为:3 点评: 本题主要考查点到直线距离的求解,根据圆与圆的位置关系求出 m 是解决本题的关 键. 14. (5 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的 中点,那么直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为 .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B1,得到的锐角或直角就是异面直线 所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 解答: 解:如图,将 AM 平移到 B1E,NC 平移到 B1F,则∠EB1F 为直线 AM 与 CN 所成角 设边长为 1,则 B1E=B1F= ∴cos∠EB1F= , 故答案为 ,EF=

点评: 本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力, 属于基础题. 三、解答题:本大题共有 6 个小题,共 80 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知直线 l:x﹣2y﹣1=0,直线 l1 过点(﹣1,2) . (1)若 l1⊥l,求直线 l1 与 l 的交点坐标; (2)若 l1∥l,求直线 l1 的方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 由 l1⊥l, 可设直线 l1 的方程为 2x+y+m=0, 把点 (﹣1, 2) 代入可得﹣2+2+m=0, 解得 m,联立直线方程即可得出交点. (2)由 l1∥l,直线 l1 的方程为 x﹣2y+n=0,把点(﹣1,2)代入即可得出. 解答: 解: (1) ∵l1⊥l, ∴可设直线 l1 的方程为 2x+y+m=0, 把点 (﹣1, 2) 代入可得﹣2+2+m=0, 解得 m=0.∴直线 l1 的方程为 2x+y=0.

联立

,解得

,∴交点为



(2)∵l1∥l,∴直线 l1 的方程为 x﹣2y+n=0, 把点(﹣1,2)代入可得﹣1﹣4+n=0,解得 n=5. ∴直线 l1 的方程为 x﹣2y+5=0. 点评: 本题考查了相互垂直、平行的直线斜率之间的关系、直线的交点,属于基础题. 16. (13 分)设条件 p:x ﹣6x+8≤0,条件 q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)≤0,若 p 是 q 的必要不充分 条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 即可. 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 分别求出关于 p,q 的 x 的范围,根据 p 是 q 的必要不充分条件,得到不等式,解出 解:设集合 A={x|x ﹣6x+8≤0},B={x|(x﹣a) (x﹣a﹣1)≤0},
2 2

则 A={x|2≤x≤4},B={x|a≤x≤a+1}, ∵p 是 q 的必要不充分条件,∴B?A, ∴ ,解得:2<a<3,

又当 a=2 或 a=3 时,B?A, ∴a∈. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了集合之间的关系,是一道基础题. 17. (13 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点 (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E﹣BCD 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)取 BC 中点 G,连接 AG,EG,通过证明四边形 EGAD 是平行四边形,推出 ED∥AG,然后证明 DE∥平面 ABC. (2) 证明 AD∥平面 BCE, 利用 VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC, 然后求解几何体的体积. 解答: 解: (1)证明:取 BC 中点 G,连接 AG,EG, 因为 E 是 B1C 的中点,所以 EG∥BB1, 且 .

由直棱柱知,AA1∥BB1,AA1=BB1,而 D 是 AA1 的中点, 所以 EG∥AD,EG=AD(4 分) 所以四边形 EGAD 是平行四边形, 所以 ED∥AG,又 DE?平面 ABC,AG?平面 ABC 所以 DE∥平面 ABC. (7 分) (2)解:因为 AD∥BB1,所以 AD∥平面 BCE, 所以 VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC, (10 分) 由(1)知,DE∥平面 ABC, 所以 . (14 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,考查空间想象 能力,计算能力. 18. (14 分)已知圆 C:x +y +Dx+Ey+3=0,圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称,圆心在第二象限, 半径为 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 考点: 圆的标准方程;圆的切线方程. 分析: (Ⅰ)由圆的方程写出圆心坐标,因为圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称,得到圆心在直 线上代入得到①,把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于 得到②,①②联立求出 D 和 E,即可写出圆的方程; (Ⅱ)设 l:x+y=a,根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出 a 即可. 解答: 解: (Ⅰ)由 x +y +Dx+Ey+3=0 知圆心 C 的坐标为(﹣ ,﹣ ) ∵圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称 ∴点(﹣ ,﹣ )在直线 x+y﹣1=0 上
2 2 2 2

即 D+E=﹣2,①且

=2②

又∵圆心 C 在第二象限∴D>0,E<0 由①②解得 D=2,E=﹣4 2 2 ∴所求圆 C 的方程为:x +y +2x﹣4y+3=0 (Ⅱ)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设 l:x+y=a ∵圆 C: (x+1) +(y﹣2) =2 ∴圆心 C(﹣1,2)到切线的距离等于半径 即| |= ,∴a=﹣1 或 a=3
2 2



所求切线方程 x+y=﹣1 或 x+y=3 点评: 考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力,理解直线与圆相切即为圆心到直线的 距离等于半径.

19. (14 分)在如图所示的几何体中,AE⊥平面 ABC,CD∥AE,F 是 BE 的中点,AC=BC=1, ∠ACB=90°,AE=2CD=2. (Ⅰ)证明 DF⊥平面 ABE; (Ⅱ)求二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值.

考点: 平面与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定. 分析: (1)将 DF 平移到 CG 的位置,欲证 DF⊥平面 ABE,即证 CG⊥平面 ABE,根据线 面垂直的判定定理可知,只需证 CG 与平面 ABE 内的两相交直线垂直即可; (2)过点 A 作 AM⊥BE 于 M,过点 M 作 MN⊥BD 于 N,连接 AN,∠ANM 是二面角 A﹣ BD﹣E 的平面角,在 Rt△ AMN 中利用余弦定理求出此角. 解答: 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 G,连接 CG、FG. 因为 CD∥AE,GF∥AE,所以 CD∥GF. 又因为 CD=1, ,所以 CD=GF.

所以四边形 CDFG 是平行四边形,DF∥CG. (2 分) 在等腰 Rt△ ACB 中,G 是 AB 的中点,所以 CG⊥AB. 因为 EA⊥平面 ABC,CG?平面 ABC,所以 EA⊥CG. 而 AB∩EA=A,所以 CG⊥平面 ABE. 又因为 DF∥CG,所以 DF⊥平面 ABE. (6 分) (Ⅱ)因为 DF⊥平面 ABE,DF?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABE. 过点 A 作 AM⊥BE 于 M,则 AM⊥平面 BDE,所以 AM⊥BD. 过点 M 作 MN⊥BD 于 N,连接 AN,则 BD⊥平面 AMN,所以 BD⊥AN. 所以∠ANM 是二面角 A﹣BD﹣E 的平面角. (10 分) 在 Rt△ ABE 中, 因为 在 Rt△ AMN 中, 所以二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值是 . (12 分) . , 所以△ ABD 是等边三角形. 又 AN⊥BD, 所以 . , NM= .

点评: 本题主要考查线面关系及面面关系的基础知识,同时考查空间想象能力和逻辑推理 能力. 20. (14 分)在直角坐标平面内,已知点 A(2,0) ,B(﹣2,0) ,P 是平面内一动点,直线 PA、PB 斜率之积为﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点( ,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M,求直线 MA 的 斜率 k 的取值范围. 考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x,y) ,依题意,有 知动点 P 的轨迹 C 的方程.
2

.由此可

(Ⅱ) 依题意, 可设直线 l 的方程为
2

, 由方程组

消去 x, 并整理得 4 (3m +4)

y +12my﹣45=0,由此入手可推导出直线 MA 的斜率 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x,y) , 依题意,有 . (3 分)

化简并整理,得



∴动点 P 的轨迹 C 的方程是 (Ⅱ)依题意,直线 l 过点 , (5 分)

. (4 分) 且斜率不为零,故可设其方程为

由方程组
2 2

消去 x,并整理得

4(3m +4)y +12my﹣45=0(6 分) 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,M(x0,y0) ,则 ∴ , (7 分)

∴ ∴ ,



, (9 分)

①当 m=0 时,k=0; (10 分) ②当 m≠0 时,



,∴0





.∴

且 k≠0. (11 分) . (12 分)

综合①②可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是:﹣

点评: 本题考查轨迹方程的求法和直线方程的知识,解题时要认真审题,注意公式的灵活 运用.


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