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3.2.1立体几何中的向量方法(平行和垂直)


3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量
如图, 且平行于 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 的方向向量。 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 叫做 方向向量

A?
a

?

l

P

直线l的向量式方程

AP = t a

2、平面的法向量 、

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 非零向量 的法向量 平面 α的向量式方程 l

a
α
A
P

a i AP = 0

例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________ (0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (3)平面AB C 的一个法向量坐标为___________
1

z
O1 A1 B1 C1

o
A B

C

y

x

2.在空间直角坐标系中, 例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , 的一个法向量. C(0,0,2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n = (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z )

n 则 n ⊥ AB , ⊥ AC .∵ AB = ( ?3, 4, 0) , AC = ( ?3, 0, 2)
3 ? ?( x , y , z ) ? ( ?3, 4, 0) = 0 ? ?3 x + 4 y = 0 ?y = 4 x ? ∴? 即? ( x , y , z ) ? ( ?3, 0, 2) = 0 ? ?3 x + 2 z = 0 ∴ ? ? ?z = 3 x ? 2 ? 取 x = 4 ,则 n = (4, 3, 6)
的一个法向量. ∴ n = (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.

总结:如何求平面的法向量 总结 如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n = ( x , y , z )
找出(求出) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a = ( a1 , b1 , c1 ), b = ( a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ?n ? a = 0 组? ?n ? b = 0 ?

方程组 其中的 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 练习 如图,在四棱锥 中 底面ABCD是 是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC 正方形,侧棱 ⊥底面 , 是 的中点, 求平面EDB的一个法向量 的一个法向量. 的中点, 求平面 的一个法向量
解:如图所示建立空间直角坐标系. 如图所示建立空间直角坐标系 Z

依题意得D(0, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 B(1, ,0) 1 E (0, , ) 2 2 1 1 DE = (0, , ) DB =(1, ,0) =(1 1 2 2 设平面EDB的法向量为 n = ( x, y ,1) 设平面 的法向量为
则n ⊥ DE , n ⊥ DB
A
1 ?1 y+ =0 ? 于是 ? 2 ? n = (1, ? 1, 1) 2 X ?x + y = 0 ?

P E
D B

C

Y

用向量方法解决几何问题

因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置, 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量 方向向量与平面的法向量表 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行 垂直、 平行、 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系 等位置关系. 夹角、距离等位置关系

二、 立体几何中的向量方法 ——平行关系 ——平行关系

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v , 则

平行关系: 一. 平行关系:
(1) l / / m ? a / / b ? a = λ b ;

a
l
m

b

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v , 则

(2) l / /α ? ① a ⊥ u ? a ? u = 0 ;

u
α

a

? ② a∥ A C

? ③ a = x AB + y AD

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α, β 的法向量分别为 u, v , 则
(3) α / / β ? ① u / / v ? u = λ v .
u
α

v
β

例1.用向量方法证明 用向量方法证明 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 直线l与 相交 相交, 已知 直线 与m相交

a
α

u

m l

l ? α , m ? α , l∥β , m∥β 求证α∥β .
证明 取l,m的方向向量a,b

b

v
β

取α ,β的法向量u, v.
∵ l∥β , m∥β ∴ a ⊥ v, b ⊥ v

又a, b不共线, 所以v是α的一个法向量 于是 v 同时是α、β的一个法向量

∴ α∥β .

四棱锥P-ABCD中,底面 例2 四棱锥 中 底面ABCD是正方 是正方 形, PD⊥底面 ⊥底面ABCD,PD=DC=6, , E是PB的 是 的

中点, 求证: 中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 如图所示, 证 :如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. 空间直角坐标系. A(6,0,0), P F(2,2,0), G(0,4,2),
几何法呢? 几何法呢?

AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)

3 AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线 AE与FG不共线

E
D

G
C Y

AE//FG

A X

F
B

四棱锥P-ABCD中,底面 例3 四棱锥 中 底面ABCD是正 是正 方形, ⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 方形,PD⊥底面 , 是 的 中点, 求证 求证: 平面EDB. 中点, (1)求证:PA//平面 平面
Z

立体几何法 解1 立体几何法

P E

D A X
G

C B

Y

为坐标原点, 解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1 :如图所示建立空间直角坐标系, 为坐标原点 (1)证明:连结AC,AC交BD于点 连结 证明:连结 于点G,连结 证明 交 于点 连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , ,0) 2 2 2 2 1 1 PA = (1, 0, ?1), EG = ( , 0, ? ) 2 2

Z

P E

所以PA = 2 EG,即PA // EG

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB 所以,PA // 平面EDB
A X D
G

C B

Y

为坐标原点, 解3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1 :如图所示建立空间直角坐标系, 为坐标原点

1 1 1 (1)证明: 题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, ,0) 证明: 证明 依 2 2 1 1 PA = (1, 0, ?1), DE = (0, , ) Z =(1 1 DB =(1, ,0) 2 2
设平面EDB的法向量为 n = ( x, y ,1) 的法向量为 设平面

P E

则n ⊥ DE , n ⊥ DB
1 ?1 ? y+ =0 于是 ? 2 ? n = (1, ? 1, 1) 2 ?x + y = 0 ?

? PAin = 0 ? PA ⊥ n

而PA ? 平面EDB 所以,PA // 平面EDB

D A X B

C

Y

为坐标原点, 解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1 :如图所示建立空间直角坐标系, 为坐标原点

1 1 1 (1)证明: 题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, ,0) 证明: 证明 依 2 2 1 1 PA = (1, 0, ?1), DE = (0, , ) Z =(1 1 DB =(1, ,0) 2 2

设 PA = xDE + yDB
解得 x=-2,y=1 =-2 y=1 =- y=
即PA = ?2 DE + DB
于是 PA、 DE、 DB共面

P E

而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
A X

D B

C

Y



所在平面相交于AD AD, 如图, 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相交于AD,点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上,且 BM = BD, AN = AE, 3 3 求证: 求证: MN // 平 面 CDE
F N A M C E

证明 MN = MD + DE + EN
2 2 = ? DB + DE + EA 3 3
2 2 = ? ( DA + DC ) + DE + ( DA ? DE ) B 3 3

D 几何法呢? 几何法呢?

2 1 = ? DC + DE 3 3

所以 MN、 DC、 DE共面

但MN ? 平面CDE

故MN // 平面CDE

三、 立体几何中的向量方法 ——垂直关系 ——垂直关系

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α, β 的法向量分别为 u, v , 则
二、垂直关系: 垂直关系:

(1) l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b = 0
l
a b
m

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α, β 的法向量分别为 u, v , 则
(2) l ⊥ α ?

a // u ? a = λ u
u

l
a

α

C A B

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α, β 的法向量分别为 u, v , 则

(3)α ⊥ β ? u ⊥ v ? u ? v = 0
β

u

v

α

例1

四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD

的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证1 立几法
A M B N C D

例1

四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD

的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证2 MN MA + AD + DN =
1 1 = ? AB + AD + DC 2 2 1 1 = ? AB + AD + ( AC ? AD) 2 2 1 1 1 = ? AB + AC + AD 2 2 2
M B N C D A

1 1 1 MN ? AB = (? AB + AC + AD) ? AB = 0 2 2 2

MN⊥AB, 同理 MN⊥CD.

例1

四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD

的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证3 如图所示建立空间直角坐标系,设AB=2.

B (0, 0, 0) D(0, 2, 0)
Z

C ( 3,1, 0) A( 3 ,1, 2 6 )
3 3

A M

3 1 6 M( , , ) 6 2 3

3 3 N ( , , 0) 2 2

?

y

B

?
N C

D

y x

x

棱长为a 练习 棱长为a 的正方体 OABC? O' A' B' C' ? ,E、 分别是棱AB,OA上的动点, AF=BE,求证 AB,OA上的动点 求证: 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点,且AF=BE,求证:

A F ⊥O E
1 1

解:如图所示建立空间 O’ 直角坐标系,设AF=BE=b. C’ 1 A (a, a, a ) F (0, a ? b, 0)
O1 (0, 0, a )
1

Z
B’ A’

E (a ? b, a, 0)
C

O B

F A E

A F = (? a, ?b, ? a) O1 E = (a ? b, a, ?a )

y

x
A F ⊥O E
1 1

A F ?O E = 0
1 1

A1F ⊥ O1 E

例 2. 四 棱 锥 P - ABCD中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , PD ⊥ 底 面 ABCD , PD = DC , 点 E 是 PC 的 中 点 , 作 EF ⊥ PB 交 PB 于 点 F . (2) 求 证 : PB ⊥ 平 面 EFD .

证1:如图所示建立 空间直角坐标系,设DC=1. 1 1 PB = (1, , 1) DE = (0, , ) 1? 2 2 1 1 故PB ? DE = 0 + ? = 0 2 2 所以 PB ⊥ DE
由已知 EF ⊥ PB , 且 EF ∩ DE = E ,

Z

P F
D

E

C B

Y

所以 PB ⊥ 平面 EFD

A X

例 2. 四 棱 锥 P - A BC D中 , 底 面 A B CD 是 正 方 形 , PD ⊥ 底 面 A B C D , PD = D C , 点 E 是 PC 的 中 点 , 作 E F ⊥ PB 交 PB 于 点 F , 求 证 : PB ⊥ 平 面 E F D .

证2:

Z

P F
D A X B

E

C

Y

练习

、 分别 正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,E、F分别

平面ADE. 中点, 是BB1,,CD中点,求证:D1F ⊥ 平面 中点 求证:
以 证明:设正方体棱长为 , 证明:设正方体棱长为1, DA ,DC , DD1为单位 基底,建立如图所示坐标系D-xyz, 正交 基底,建立如图所示坐标系

1 DA = (1, 0, 0), = (1,1, , ) DE 2 1 D1 F = (0, , ?1) 2 则 1 ? DA = 0 , 1 ? DE = 0 DF DF

z
D1

C1 B1 E

A1

DF 则 1 ⊥ DA , 1 ⊥ DE. DF

D A
x

F B

C y

所以

D1 F ⊥ 平面 ADE

练习

、 分别 正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,E、F分别

平面ADE. 中点, 是BB1,,CD中点,求证:D1F ⊥ 平面 中点 求证: 证明2: 证明 :

z
D1

C1 B1 E

A1

D

C

F
A
x

y
B

,E是 中点, 例3 正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 ,E是AA1中点, 求证:平面 求证:平面EBD ⊥ 平面 1BD. 平面C 证明: 设正方体棱长为2, 证明: 设正方体棱长为 建立如图所示坐标系 E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)

EB = (2, 0, ?1) ED = (0, 2, ?1)
设平面EBD的一个法向量是 的一个法向量是 设平面

E

u = (x, y,1)
由u ? EB = u ? ED = 0
1 1 得 u = ( , ,1) 平面 1BD的一个法向量是 v = CA = (?1, ?1,1) 平面C 的一个法向量是 1 2 2

u ? v = 0,

平面EBD ⊥ 平面 1BD. 平面 平面C

,E是 中点, 例3 正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 ,E是AA1中点, 求证:平面 求证:平面EBD ⊥ 平面 1BD. 平面C 证明2: 证明 :

E

?

练习 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是 正方形, PD ⊥ 底面ABCD, G是PB上的点, 求证 : 平面GAC ⊥ 平面PDB
Z

P
G

D A X B

C Y

3.2.4 立体几何中的向量方法 ——夹角问题 ——夹角问题

夹角问题: 夹角问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(1) l , m的夹角为θ, cos θ = cos < a, b >

l

l

a

θ

b

m

b

a

θ

m

夹角问题: 夹角问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(2) l , α的夹角为θ, sin θ = cos < a, u >

l

l

a u
α
cos(

a
θ α
π cos( + θ) = cos < a, u > 2

θ

π - θ) = cos < a, u > 2

u

夹角问题: 夹角问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(3) α , β 的夹角为θ, θ = ±cos < u, v > cosθ cos

u

β

v
θ

α

夹角问题: 夹角问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(3) α , β 的夹角为θ, θ = ±cos < u, v > cosθ cos

u

β

v
θ

α

例 Rt △ ABC中,∠BCA = 900 , 现将△ ABC沿着平面ABC 的法向量平移到?A1 B1C1位置,已知BC = CA = CC1 , 取A1 B1、 A1C1的中点D1、F1,求AF1与D1 B所成的角的余弦值.

1 1 1 F1 A(1,0, 0), B (0,1, 0), F1 ( ,0, a), D1 ( , ,1) D1 2 2 2 A1 C 1 1 1 AF1 = ( ? , 0,1), D1 B = (? , , ?1) 2 2 2 A AF1 i BD1 30 x cos < AF1 , BD1 >= =? . 10 | AF1 || BD1 |
30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

C 解1:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 ? xyz z 如图所示,设 CC1 = 1 则: C
1

B1

By

例 Rt △ ABC中,∠BCA = 900 , 现将△ ABC沿着平面ABC 的法向量平移到?A1 B1C1位置,已知BC = CA = CC1 , 取A1 B1、 A1C1的中点D1、F1,求AF1与D1 B所成的角的余弦值.

解2

C1
F1

B1
D1

A1

C

B

A

空间四边形ABCD中,AB=BC=CD, 练习 空间四边形 中 , AB⊥BC,BC⊥CD,AB与CD成600角,求AD ⊥ , ⊥ , 与 成 所成的角大小. 与BC所成的角大小 所成的角大小

解 设 AB = 1

AD = AB + BC + CD
AD = AB + BC + CD + 2 ABi BC +2 BC iCD + 2 ABiCD
2 2 2 2

= 1+1+1+ 0 + 0 +1 = 4
cos < AD, BC >= 1/ 2

AD = 2

ADi BC = ( AB + BC + CD)i BC = 1

例:
建立直角坐标系. 解1 建立直角坐标系
则B1C1 = (0,-1, 0),

的棱长为 1.

求 B 1 C 1与 平 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
z
D1 C1
D B1 E

A1

平面AB1C的一个法向量为 D1B = (1,1, 1) ?

0 ?1+ 0 3 =? cos BD1,1C1 = B 3 1? 3

F
x

A y B

C

3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

例:

的棱长为 1.

求 B 1 C 1与 平 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
解2

z
D1 C1
D B1 E

A1

F
x

A y B

C

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 例4 如图,在四棱锥 中 底面ABCD是 是 正方形,侧棱 ⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 正方形,侧棱PD⊥底面 , 是 的 中点, 于点F. 中点,作EF⊥PB交PB于点 ⊥ 交 于点 的大小。 的大小。 (3)求二面角 求二面角C-PB-D 求二面角

P F
D A B

E

C

即x = k , y = k , z = 1 ? k
因为PB ? DF = 0

(3) 解 建立空间直角坐标系,设DC=1. 已知PB ⊥ EF ,由(2)可知PB ⊥ DF , 故∠EFD是 二面角C ? PB ? D的平面角。 设点F的坐标为( x, y, z ), 则PF = ( x, y, z ? 1) Z 因为PF = k PB P 所以( x , y , z ? 1) = k (1,1, ?1) = (k , k , ? k )

F
D

E

所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) = k + k ? 1 + k = 3k ? 1 = 0A 1 1 2 X 1 F ( ,, ) 所以k = 3 3 3 3

C B

Y

1 1 2 1 1 点F的坐标为( , , ) 又点E的坐标为(0, , ) 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 所以FE = (? , ,? ) FD = (? , ? , ? ) 3 6 6 3 3 3
因为 cos ∠EFD = FE ? FD FE FD

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 3 6 6 3 3 3 =6=1 = 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以∠EFD = 60 ,即二面角 C ? PB ? D的大小为 60 .

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 例4 如图,在四棱锥 中 底面ABCD是 是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 正方形,侧棱 ⊥底面 , 是 的 中点, 于点F. (3)求二面角 求二面角C-PB-D 中点,作EF⊥PB交PB于点 ⊥ 交 于点 求二面角 Z 的大小。 的大小。 解2 如图所示建立 P 空间直角坐标系,设DC=1. 平面PBC的一个法向量为 的一个法向量为 平面
1 1 DE = (0, , ) 2 2

F
D G

E

平面PBD的一个法向量为 的一个法向量为 平面
1 1 CG = ( , ? , 0) 2 2
A X

C B

Y

cos < DE1 , GC >= ?1/ 2

cos θ = 1/ 2, θ = 60

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 例4 如图,在四棱锥 中 底面ABCD是 是 正方形,侧棱 ⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 正方形,侧棱PD⊥底面 , 是 的 中点, 于点F. 中点,作EF⊥PB交PB于点 ⊥ 交 于点 的大小。 的大小。 解3 设DC=1.
已知PB ⊥ EF , 由(2) 可知PB ⊥ DF , 故∠EFD是二 面角C ? PB ? D的平面角。
A D B C

(3)求二面角 求二面角C-PB-D 求二面角

P F E

练习

的棱长为 1.

求 二 面 角 A - B D1 -C 的 大 小 .
建立直角坐标系. 解1 建立直角坐标系

z
D1 C1
D B1

平面PBD1的一个法向量为 平面
DA1 = (0,1,1)

A1

平面CBD 平面CBD1的一个法向量为
DC1 = (1, 0,1)

cos < DA1 , DC1 >= 1/ 2
cos θ = ?1/ 2, θ = 120

A y B

x

C

二 面 角 A - B D1 -C 的 大 小 为 1 2 0 .

的棱长为 1.

求 二 面 角 A - B D1 -C 的 大 小 .
解2
D1 C1
D B1

A1

A B

C

3.2.4 立体几何中的向量方法 ——距离问题 ——距离问题

距离问题: 距离问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则

AB = ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) + ( z1 ? z2 )
2 2

2

距离问题: 距离问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(2) 点P与直线 的距离为 , 则 与直线l的距离为 与直线 的距离为d

d = AP sin < AP, a >

a

距离问题: 距离问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(3) 点P与平面 的距离为 , 则 与平面α的距离为 与平面 的距离为d

d =| AP | ? |cos ? AP , u? |=
u

| AP ? u | |u|

.

?P

d
α

A?

?O

距离问题: 距离问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(4) 平面 与β的距离为 , 则 平面α与 的距离为 的距离为d

d =| AP | ? |cos ? AP , u? |=
m D P

| AP ? u | |u|

.

u

b
A

α

l

C

a

如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点 例1 如图 :一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点 为端点 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60° 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是 °,那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 设 如图1, 解:如图 , AB = AA1 = AD = 1 ,∠BAD = ∠BAA1 = ∠DAA1 = 60°

AC1 = AB + AD + AA1
AC1 = ( AB + AD + AA1 ) 2
= AB + AD + AA1 + 2( AB ? AD + AB ? AA1 + AD ? AA1 )
2 2 2

2

= 1 + 1 + 1 + 2(cos 60° + cos 60° + cos 60° )
=6
所以 | AC1 |= 6 答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
A A1 D1
B1

C1

D
图1

C
B

如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点 例1 如图 :一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点 为端点 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60° 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是 °,那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 设 解2:如图 , AB = AA1 = AD = 1 ,∠BAD = ∠BAA1 = ∠DAA1 = 60° :如图1,

D1 A1
B1

C1

D
A
图1

C
B

练习.(P107.2)如图,60° 练习.(P107.2)如图,60°的二面角的棱上 .(P107.2)如图 AC、 有A、B两点, 直线AC、BD分别在这个二面角的 两点, 直线AC BD分别在这个二面角的 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB 4,AC= AB= 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB=4,AC=6, BD=8,求CD的长. BD= CD的长. 的长

解1

β
α

C

68

B

A

D

练习.(P107.2)如图,60° 练习.(P107.2)如图,60°的二面角的棱上 .(P107.2)如图 AC、 有A、B两点, 直线AC、BD分别在这个二面角的 两点, 直线AC BD分别在这个二面角的 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB 4,AC= AB= 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB=4,AC=6, BD=8,求CD的长. BD= CD的长. 的长

解2

β
α

C A B

68

D



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 如图,在正方体

1,E为D1C1的中点,求点 到直线 1B的距离 , 为 的中点,求点E到直线 到直线A 的距离 的距离.
1 解 : 建立坐标系. A 1E = (-1, ,0), A 1B = (0,1,-1) 2

1 cos < A1 E , A1 B >= 10

z
D1
A1
E

3 sin < A1 E , A1 B >= 10 到直线A 的距离为 点E到直线 1B的距离为 到直线

C1

B1
D
C

3 d = A1 E sin < A1 E , A1 B >= 2 4

A

y

x

B



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 如图,在正方体

1,E为D1C1的中点,求点 到直线 1B的距离 , 为 的中点,求点E到直线 到直线A 的距离 的距离. 解2

z
D1
A1
E

C1

B1
D
C

A

y

x

B



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 如图,在正方体

1,E为D1C1的中点,求B1到面 1BE的距离 , 为 的中点, 到面A 的距离. 的距离
1 解 : 建立坐标系. A 1E = (-1, ,0), A 1B = (0,1,-1) 2 z)为 BE的法向 的法向量 设u = (1, y, z)为面A 1BE的法向量

?u i A 1E = 0, ? 由? 得 u = (1,2,2) ?u i A 1B = 0, ?

z

D1
A1

E

C1

A 1B1 = ( 0,1,0 ) ,
BE的距 的距离 B1到面A 1BE的距离为 d= A 1B1 in n 2 = 3

B1
D
C

A

y

x

B



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 如图,在正方体

1,E为D1C1的中点,求B1到面 1BE的距离 , 为 的中点, 到面A 的距离. 的距离 解2 等体积法

VB1 ? A1BE = VE ? A1BB1
D1
A1
E

C1

B1
D
C

A

B

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 , 棱长为1, 例 如图,在正方体 E为D1C1的中点,求D1C到面 1BE的距离 为 的中点, 到面A 的距离. 到面 的距离 解1:∵D1C∥面A1BE ∵ ∥ 到面A ∴ D1到面 1BE的距离即为 的距离即为 D1C到面 1BE的距离 到面A 的距离. 到面 的距离 仿上例求得D 到 仿上例求得 1C到 面A1BE的距离为 的距离为
d= D1 A1 ? u u

z
D1
E

C1

A1

B1
D
C

1 = 3

A

y

B

x

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 , 棱长为1, 例 如图,在正方体 E为D1C1的中点,求D1C到面 1BE的距离 为 的中点, 到面A 的距离. 到面 的距离 解2 等体积法

VD1 ? A1BE = VB ? A1D1E
A1

D1

E

C1

B1
D
C

A

B

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 , 棱长为1, 例 如图,在正方体 求面A 与面D 的距离. 求面 1DB与面 1CB1的距离 与面 解1:∵面D1CB1∥面A1BD ∵ 到面A ∴ D1到面 1BD的距离即 的距离即 为面D1CB1到面 1BD的距离 到面A 为面 的距离
平面A1 BD的一个法向量为 AC1 = ( ?1,1,1), 且 D1 A1 = (1, 0, 0)
d= D1 A1 ? AC1 AC1 3 = 3

z
D1
A1

C1

B1
D
C

y

x

A

B

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 , 棱长为1, 例 如图,在正方体 求面A 与面D 的距离. 求面 1DB与面 1CB1的距离 与面 解2 等体积法

VD1 ? A1BD = VB ? A1DD1

D1
A1

C1

B1
D
A

C

B

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 , 棱长为1, 例 如图,在正方体 求面A 与面D 的距离. 求面 1DB与面 1CB1的距离 与面 解3

D1 ?
A1

C1

B1
D ?
C

?A

B

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 , 棱长为1, 例 如图,在正方体 E为D1C1的中点,求异面直线 1B与A1E的距离 的中点,求异面直线D 与 的距离. 为 的距离
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) : 2 1 ? ? ∴ A1 E = ? ?1, , 0 ? , D1 B = (1,1, ?1) 2 ? ? 设n = (1, y , z )与 A1 E , D1 B都垂直

z

? n ? A1 E = 0, ? 由? ? n ? D1 B = 0, ?

得n = (1, 2, 3)

D1
A1

E

C1

D1 A1 = ( 1,0,0) ,
A1 E与BD1的距离为
d= D1 A1 ? n n = 14 14

B1
D
C

A

y

B

x

作业 P111 2 P112 5
2. 提示:< A E , AF >=θ 或π -θ .
1

5(2). 用重心公式, 或计算 < AO, AD >
A1

E

作业
1 . 在正方体 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 ,求面 棱长为1, 与面D 的距离. A1DB与面 1CB1的距离 与面 2. 在正方体 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 ,E为 棱长为1, 为 D1C1的中点,求异面直线 1B与A1E的距离 的中点,求异面直线D 与 的距离. 的距离

四棱锥P-ABCD中,底面 例 四棱锥 中 底面ABCD是正方 是正方 形, PD⊥底面 ⊥底面ABCD,PD=DC=6, , E是PB的 是 的

中点, 求证: 中点,PF=FG=GC . 求证:面AEF//面BDG. 面
Z

作业

P F E
D
A X B

G
C Y

选做题
三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点 求证:BC1∥面AB1D.

AB1 = AB + AA1
1 AD = AC + AA1 2

BC1 = ? AB + AA1 + AC BC1 = ? AB + 2 AD

练习
分别是平面α,β的法向量 的法向量,根据 设 u, v 分别是平面 的法向量 根据 下列条件,判断 的位置关系. 判断α,β的位置关系 下列条件 判断 的位置关系

(1)u = (?2,2,5), v = (6,?4,4)

垂直

(2)u = (1,2,?2), v = (?2,?4,4) 平行 (3)u = (2,?3,5), v = (?3,1,?4) 相交


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