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高中数学 三角函数的图象与性质 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质课件 新人教A版必修4


? 一、1.周期函数的定义
不为零 ? 一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个 f(x+T)=f(x) 的常数T,使得当x取定义域内的 周期函数 每一个值时, 都成立,那 么就把函数y=f(x)叫做 周期 ,不为 零的常数T叫做这个函数的 . 2kπ(k∈Z,k≠0) ? 2.y=sinx,y=cosx都是周期函数,其周 2π 期是 ,最小正周 期是 .

? 3.y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的最小正周期


?

.

4.y=sinx(x∈R)的奇偶性为:奇函数;单调性为:在每 π π 一个区间[2kπ- ,2kπ+ ],(k∈Z)上都是增函数,在每一个 2 2 π 3π 区间[2kπ+ ,2kπ+ ],(k∈Z)上都是减函数;图象的对称 2 2 特征为:关于每一个点(kπ,0)(k∈Z)成中心对称,关于每一 π π 条直线 x=kπ+2,(k∈Z)成轴对称;当 x=2kπ+2(k∈Z)时, 3π y 取最大值 1,当 x=2kπ+ 2 (k∈Z)时,y 取最小值-1.即 |sinx|≤1,此性质常称作正弦函数的有界性.

? 5.y=cosx(x∈R)的奇偶性为: 偶

函数;

[2kπ-π,2kπ](k∈Z) 单调性为:在每一个区间 上都是增函数,在每一个区间 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 上都是减函数;图象的 对称特征为:关于每一个点 成中心对称,关于每一条直线 x=kπ(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 成轴对称;当x= 时, 1 2kπ+π(k∈Z) y取最大值 ,当x= 时, -1 y取最小值 .

二、你能解答下列问题吗?
? ?2 π? π? 1. y=2sin?2x-3?的周期为________, y=-3cos?3x+4?的 ? ? ? ?

周期为________.

? [答案]

π 3π

π [答案] 3 {x|x=2kπ+ ,k∈Z} 2 ? 2.函数y=3sinx的最大值为________,取到

最大值时,x的取值集合为________.

? 3.函数y=-2cosx的最小值为________,取

到最小值时,x的取值集合为________. ? [答案] -2 {x|x=2kπ,k∈Z}

2π 3π 4. y=cosx 在[0, 由 π]上是减函数可比较 cos 与 cos 的 5 7 大小,结果为________.

[答案]

2π 3π cos 5 >cos 7

5. 函数

? 5π? y=sin?2x+ 2 ?图象的一条对称轴的方程是( ? ?

)

π A.x=- 2 π C.x= 8

π B.x=- 4 5π D.x= 4

? [答案]

A

[解析]

5π π kπ 由 2x+ 2 =kπ+2得,x= 2 -π,k∈Z.

令 k=1 知选 A. 也可以由
? ? 5π? π? y=sin?2x+ 2 ?=sin?2x+2?=cos2x ? ? ? ?

知,对称轴

kπ 方程为 2x=kπ,∴x= 2 ,取 k=-1 知选 A.

? 重点:正弦函数、余弦函数的性质.
? 难点:①函数周期的理解. ? ②函数在每一个单调区间上的单调性与在

定义域上不单调的特征. ? ③函数图象的对称性.

? 1.对函数周期的理解需注意以下几点:
? (1)一定要注意是对定义域内的每一个值都

有f(x+T)=f(x)成立,即x的任意性,否则 不能说y=f(x)是周期函数,自然也就没有 周期T. ? (2)周期T并不唯一,即若T为函数y=f(x)的 周期,则2T,3T,?,nT,n∈Z,都为其 周期. ? (3)由于周期的不唯一性,为了研究的方便, 我们需要确定一个可以方便研究的T,于 是,若所有的周期中,存在一个最小的正 数,我们便称它为最小正周期,以后若没

? (4)并非所有周期函数都有最小正周期.例

如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R), 所有非零实数T都是它的周期,而最小正 数不存在,所以常数函数没有最小正周 期. ? (5)周期函数的定义域:如果f(x)是周期函 数,T为其周期,那么x+kT(k∈Z)也属于 其定义域,也就是说,周期函数的定义域 是一个无限集.

2.函数 y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)是由 y=Asint 和 t= ωx+φ 组成的复合函数,因此可利用函数 y=Asint 的周期来 求它的周期,求解过程如下: 令 t=ωx+φ,设 Asin[ω(x+T)+φ]=Asin(ωx+φ)对任意 实数 x 都成立.即 Asin(t+ωT)=Asint 对任意实数 t 都成立, ∴ωT 为 y=Asint 的周期. 由函数 y=Asint 的最小正周期为 2π,可知 ωT 的最小值 2π 为 2π,即 T 的最小值为 ,故 y=Asin(ωx+φ)的最小正周期 ω 2π 为ω.

同理可推出当 ω∈R 且 ω≠0,A>0 时,y=Asin(ωx+φ) 2π 的最小正周期为|ω|.

? 3.正弦函数、余弦函数都有无穷多个单

调区间,但在两个单调增(或减)区间的并 集上不单调,这一点要特别注意. ? 4.正弦(余弦)函数的对称轴一定经过图象 的最高(或最低)点,对称中心在x轴上.

[例 1]

求下列函数的周期.

(1)y=cos2x; 1 (2)y=sin2x;
? x π? (3)y=2sin?3-6?; ? ? ? 1 ? (4)y=-2cos?-2x-1?; ? ?

(5)y=|sin2x|.

[解析]

(1)把 2x 看成一个新的变量 u,那么 cosu 的最小

正周期是 2π, 这就是说当 u 增加到 u+2π 且必须增加到 u+2π 时,函数 cosu 的值重复出现.而 u+2π=2x+2π=2(x+π), 所以当自变量 x 增加到 x+π 且必须增加到 x+π 时,函数值 重复出现,因此 y=cos2x 的周期为 π.

1 (2)如果令 t= 2 x,则 y=sint 是周期函数,且周期为
?1 ? 1 2π.∴sin?2x+2π?=sin x, 2 ? ?



?1 ? 1 1 ? (x+4π)?=sin x.∴y=sin x sin 2 2 2 ? ?

的周期为 4π.

?x π ? ? x π? (3)∵2sin?3-6+2π?=2sin?3-6?. ? ? ? ?



?1 ? x π? π? 2sin?3(x+6π)-6?=2sin?3-6?. ? ? ? ?

? x π? ∴y=2sin?3-6?的周期是 ? ?

6π.

? 1 ? ?1 ? (4)y=-2cos?-2x-1?=-2cos?2x+1?, ? ? ? ?

2π T= =4π. 1 2 2π π (5)因为 y=|sinx|的周期是 2 =π,故 y=|sin2x|的周期是2.

[点评]

一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)与 y

2π =Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的最小正周期都是|ω|.

(1)函数 (2)函数

?1 ? y=sin?2x+3?的最小正周期为______. ? ? ?3 π? y=-2cos?2x+4?的最小正周期为________. ? ?

[答案]

4π (1)4π (2) 3

[例 2]

判断下列函数的奇偶性:

1+sinx-cos2x (1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)= . 1+sinx

? [分析]

根据函数奇偶性定义进行判断, 先检查定义域是否关于原点为对称区间, 如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x), 进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该 函数必为非奇非偶函数.

[解析]

(1)函数的定义域为 R,关于原点对称.

∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx, ∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)要使函数有意义,应满足 1+sinx≠0,
? ? ? 3π ?x?x∈R,且x≠2kπ+ ,k∈Z ∴函数的定义域为 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数既不是奇函数也不是偶函数.

[点评]

当所要判断奇偶性的函数表达式比较复杂时, 可

以先化简再判断,但化简必须保持“等价”,即化简过程中 sin2x+sinx 定义域是否发生变化要心中有数.(2)中 f(x)= = 1+sinx sinx, 仅看最后表达式 sinx 很容易误判为奇函数, 但它实际是 非奇非偶函数,因为在化简“约分”时,约去 1+sinx 后定义 域发生了变化,∴原函数应为 f(x)=sinx(1+sinx≠0),而不是 f(x)=sinx.事实上,此函数的定义域关于原点不对称.

函数

?3x 3π? f(x)=sin? 4 + 2 ?的奇偶性为 ? ?

(

)

? A.奇函数

B.偶函数 ? C.非奇非偶函数 D.以上都不对 ? [答案] B

[例 3]

求下列函数的单调区间.

?π ? (1)y=2sin?4-x?; ? ?

(2)y=cos2x.
[分析] 将(1)先用诱导公式化为

? π? y=-2sin?x-4?, 然后依 ? ?

据 y=sint 与 y=cost 的单调区间和复合函数单调性的判断方 法求解.

[解析]

?π ? (1)y=2sin?4-x?化为 ? ?

? π? y=-2sin?x-4?. ? ?

∵y=sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z), 2 2? ? ? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ?

∴函数

? π? y=-2sin?x-4?的单调增、单调减区间分别由下 ? ?

面的不等式确定 π π 3π 2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z)① π π π 2kπ-2≤x-4≤2kπ+2(k∈Z)② 3π 7π 解①得,2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), π 3π 解②得,2kπ-4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z).

故函数

?π ? y=2sin?4-x?的单调增区间、单调减区间分别为 ? ?

? 3π 7π? π 3π ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)、2kπ- ,2kπ+ (k∈Z). 4 4? 4 4 ?

(2)函数 y=cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面 的不等式确定 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)② π 解①得,kπ- ≤x≤kπ(k∈Z), 2 π 解②得,kπ≤x≤kπ+2(k∈Z).

故函数 y=cos2x 的单调增区间、单调减区间分别为
? ? ? π π? ?kπ- ,kπ?(k∈Z)、?kπ,kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ? ? ?

求函数

? π? y=sin?3x-3?的单调区间. ? ?

[解析]

π π 解 y=sinu 在区间[2kπ-2, 2kπ+2]

(k∈Z)上是

π 3π 增函数,在区间[2kπ+ ,2kπ+ ] 2 2

(k∈Z)上是减函数.

π π π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ 解得, 2 3 2 2kπ π 2kπ 5π 3 -18≤x≤ 3 +18, π π 3π 由 2kπ+2≤3x-3≤2kπ+ 2 解得, 2kπ 5π 2kπ 11π 3 +18≤x≤ 3 + 18 . π ∵u=3x- 为增函数, 3

?2kπ π 2kπ 5π? ∴原函数的单调增区间为? 3 -18, 3 +18?(k∈Z).单 ? ? ?2kπ 5π 2kπ 11π? 调减区间为? 3 +18, 3 + 18 ? ? ?

(k∈Z).

[例 4]

比较下列各组数的大小.

3 1 7 (1)cos2,sin10,-cos4;
? ? 3π? 3π? (2)sin?sin 8 ?,sin?cos 8 ?. ? ? ? ?

? [分析]

三角函数值的大小比较,一般考 虑应用诱导公式化到同一个单调区间内; 有时候也用三角函数线等方法比较其大小, 不同名的欲应用单调性,须先化同名.

[解析]

?π 1? 1 (1)∵sin10=cos?2-10?≈cos1.47, ? ?

? 7? 7 3 ?π- ?≈cos1.39,cos =cos1.5, -cos4=cos 4? 2 ?

又 0<1.39<1.47<1.5<π,y=cosx 在[0,π]上是减函数, ∴cos1.5<cos1.47<cos1.39. 3 1 7 即 cos2<sin10<-cos4.

?π 3π? 3π π ? - ?=sin , (2)∵cos 8 =sin 2 8 8 ? ? ? π? π 3π π ∵0< < < ,y=sinx 在?0,2?上是增函数, 8 8 2 ? ?

π 3π π ∴0<sin8<sin 8 <1<2, 又∵y=sinx
? π? 在?0,2?上是增函数, ? ?

? ? π? 3π? ∴sin?sin8?<sin?sin 8 ?. ? ? ? ?



? ? 3π? 3π? sin?cos 8 ?<sin?sin 8 ?. ? ? ? ?

? [点评]

比较两个函数值大小时,一般先利用 诱导公式把它们化为同名三角函数,再把它 们转化到同一单调区间上,利用函数单调性 对它们进行比较.

已知

? π? α、β∈?0,2?,且 ? ?

π cosα>sinβ,比较 α+β 与 的大小 2

结果为________.

[答案]

π α+β< 2

[解析]

? ? π? π? π ∵α、β∈?0,2?,∴2-α∈?0,2?. ? ? ? ?

?π ? ∵cosα>sinβ,∴sin?2-α?>sinβ. ? ?

∵sinx

? π? π 在?0,2?上是增函数,∴2-α>β. ? ?

π ∴α+β< . 2

[例 5]

a+1 设 θ 是不等边三角形的最小内角, sinθ= 且 , a-1

求实数 a 的取值范围.

[错解] 0° <θ<90° .

∵θ 是三角形的最小角,∴θ 一定是锐角,即

a+1 ∴0<sinθ<1,得 0< <1.解得:a<-1. a-1

? [辨析]

解答忽视了以下内容:三角形中 的最小角θ的范围不是0°<θ<90°,而是 0°<θ≤60°,又∵三角形是不等边三角形, 故0°<θ<60°.

[正解]

∵是不等边三角形中的最小角,

∴0° <θ<60° . 由 cosθ 在(0° ,60° )内单调递减知: 1 1 a+1 <cosθ<1,即 < <1.解得 a<-3. 2 2 a-1 故所求实数 a 的范围为(-∞,-3).

一、选择题 1.函数 y=sin6x 的最小正周期为 ( A.2π π C.2 B.π π D.3 )

? [答案]

D

2.函数 A.π C.4π

? x π? y=cos?-2+4?的最小正周期为( ? ?

)

B.2π π D.2

? [答案]

C

3.函数 y=sin2x 的单调减区间是(
?π ? 3 A.?2+2kπ,2π+2kπ?(k∈Z) ? ? ? π 3 ? B.?kπ+4,kπ+4π?(k∈Z) ? ?

)

C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z)
? π π? D.?kπ-4,kπ+4?(k∈Z) ? ?

[解析]

π 3π 由 2kπ+2≤2x≤2kπ+ 2 ,k∈Z 得

? [答案]π B 3 kπ+ ≤x≤kπ+ π 4 4
π 3π ∴y=sin2x 的单调减区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 4 4

? 4 . sin1° 、 sin1 、 sinπ° 的 大 小 顺 序 是

( ) ?A . sin1°<sin1<sinπ° B.sin1°<sinπ°<sin1 ?C . sinπ°<sin1°<sin1 D.sin1<sin1°<sinπ° ? [答案] B ? [解析] 1弧度=57.3°, ? ∵y=sinx在(0°,90°)上是增函数,且 1°<π°<1, ? ∴sin1°<sinπ°<sin1.

? 5.下列函数中,奇函数的个数为
?( ? ①y=x2sinx;

)

②y=sinx,x∈[0,2π]; ? ③y=sinx,x∈[-π,π]; ④y=xcosx. ?A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ? [答案] C ? [解析] ∵y=sinx,x∈[0,2π]的定义域不 关于原点对称,∴②不是奇函数, ? ①、③、④符合奇函数的概念.

? 6.y=2sinx2的值域是
?( ? A.[-2,2] ? C.[-2,0] ? [答案]

)

B.[0,2] D.R

A ? [解析] ∵x2≥0,∴sinx2∈[-1,1], ? ∴y=2sinx2∈[-2,2].

二、填空题 7.函数 ________.
?π ? y=2cos ?3-ωx? 的最小正周期是 ? ?

4π,则 ω=

[答案] [解析]

1 ± 2 2π 1 1 ∵T= =4π,∴|ω|= ,∴ω=± . 2 2 |-ω|

? 8.函数y=asinx-b的最大值为1,最小值为

-7,则a=________,b=________. ?a-b=1 ?a=4 ? ? ? [答案] ±4 a>0 时,? [解析] 1)当 3 ??
?-a-b=-7 ? ?a=-4 ? ?? ?b=3 ? ?b=3 ?



2)a<0

?-a-b=1 ? 时,? ?a-b=-7 ?

.


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