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山东临淄中学2011届高三上学期模块考试数学(理)


山东省临淄中学 2010—2011 学年度高三第一学期模块学分认定考试

数学试题(理科)
本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。 3.将二卷所有答案卸载答题纸的相应位置处,否则不得分。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.

A ? (CU B) ? 1.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则
A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}





2 ? z2 ? 2.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z
A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i





3.已知条件 p:1≤x≤4,条件 q:|x-2|>1,则 p 是 ? q 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件





1

4. 如果函数

y=3 cos ? 2x+? ?

? 4? ? ? ,0 ? ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为( ) 的图像关于点 ? 3

? A. 6

? B. 4

? C. 3

? D. 2


5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(

4? A.8+ 3

4? B.4+ 3 10? D. 3

C.8+4π

x2 ? y2 ? 1 6.设 F 是椭圆 4 的右焦点,椭圆上的点与点 F 的最大距离为 M,最小距离是 m,
1 则椭圆上与点 F 的距离等 2 (M+m)的点的坐标是





A. (0,±2)

B. (0,±1)

1 ( 3 ,? ) 2 C.

( 2 ,?
D.

2 ) 2

? 1 x ?( ) f ( x) ? ? 2 ? f ( x ? 1) ? 7.已知

( x ? 3) , 则f (log2 3) ( x ? 3)

的值是





1 A. 12

1 B. 24

C.24

D.12

2 8.设双曲线 x2-y2=1 的两条渐近线与直线 x= 2 围成的三角形区域(包含边界)为 D,P
(x,y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z=x-2y 的最小值为 ( )

A.-2

2 B.- 2

C.0

3 2 D. 2

1 1 x ? 0, y ? 0, lg 2 x ? lg8 y ? lg 2, 则 ? x 3 y 的最小值是 9.已知
2





A.2

B.2

2

C.4

D.2 3

10.设α .β .γ 为平面,a.b 为直线,给出下列条件: ①a ? α.b ? β,a//β,b//α; ②α //γ,β//γ; ③α ⊥γ ,β⊥γ; ④a⊥α ,b⊥β ,a//b. 其中能使α //β 成立的条件是 A.①② B.②③ C.②④ 11.定义在 R 上的偶函数

( D.③④



f ( x)满足f (2 ? x) ? f ( x), 且在[?3,?2] 上是减函数;?, ? 是钝角
( ) B. f (cos? ) ? f (cos ? ) D. f (sin? ) ? f (cos? )

三角形的两个锐角,则下列结论正确的是 A. f (sin? ) ? f (cos? ) C. f (cos? ) ? f (cos ? )

12.已知 f (1,1) ? 1, f (m, n) ? N * (m, n ? N*) ,且对任意 m, n ? N * 都有 ①f(m,n+1)=f(m,n)+2; ②f(m+1,1)=2f(m,1) .则 f(2007,2008)的值为 ( A.22006+2007 B.22007+2007 C.22006+4014 D.22007+4014 )

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题纸的相应位置处. 13.若点 P(3,1)是圆x ? y ? 4x ? 21 ? 0 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是
2 2

14.定积分

?

?

0

sin xdx

=



15.已知右图所示的矩形,其长为 12,宽为 5.在矩形内随同 地措施 1000 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 550 颗.则可以估计出阴影部分的面积约为 . 16.如果一个三位正整数如“

a1a2 a3

”满足

a1 ? a2且a3 ? a2



则称这样的三位数为凸数(如 120.343.275 等)那么所有凸数个数为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A.B.C 的对边分别为 a.b.c,若 AB ? AC ? BA? BC ? k (k ? R).
3

(Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若 c ?

2 , 求k 的值

18.设数列

?an ?

满足

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ?

n 3 , a ? N* .

(Ⅰ)求数列

?an ? 的通项;
n an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

bn ?
(Ⅱ)设

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行乒乓球比赛,在每一局比赛中,甲获胜的概率为 P(0<P<1 ) . (1)如果甲、乙两人共比赛 4 局,甲恰好负 2 局的概率不大于其恰好胜 3 局的概率,试 求 P 的取值范围;
4

1 P? , 3 当采用 5 局 3 胜的比赛规则时,求比赛局数的分布列和数学期望 (2)若

20. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0,函数f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax (1)设函数 y=f(x)在点 (1, f (1))处的切线为l,若l与圆( x ? 1) ? y ? 1相切,求 a
2 2

的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

21. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 A1B1C1—ABC 的三视图如图所示,D.E 分别为棱 CC1 和 B1C1 的中点。

5

(1)求点 B 到平面 A1C1CA 的距离; (2)求二面角 B—A1D—A 的余弦值; (3)在 AC 上是否存在一点 F,使 EF⊥平面 A1BD,若存在确定其位置,若不存在,说 明理由.

x2 y2 ? ?1 3 22. (本小题满分 12 分)已知抛物线 D 的顶点是椭圆 Q: 4 的中心 O,焦点与椭
圆 Q 的右焦点重合,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 x2

? 0) 是抛物线 D 上的两个动点,且

| OA ? OB |?| OA ? OB |
(Ⅰ)求抛物线 D 的方程及 y1y2 的值; (Ⅱ)求线段 AB 中点轨迹 E 的方程;

(Ⅲ)求直线

y?

1 x 2 与曲线 E 的最近距离.

参考答案
6

一、选择题 BDBAA BABCC DC 二、填空题 13. x ? y ? 4 ? 0 三、解答题: 17.解: (I)? AB ? AC ? cbcos A, BA? BC ? ca cos B …………1 分 14.2 15.33 16.240

又 AB ? AC ? BA ? BC ? bccos A ? accos B
?sin B cos A ? sin Acos B
即 sin Acos B ? sin B cos A ? 0 …………3 分

?sin( A ? B) ? 0
? ?? ? A ? B ? ? ?A ? B

…………5 分

? ?ABC为等腰三角形.
(II)由(I)知 a ? b

…………7 分

? AB ? AC ? bc cos A ? bc ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? 2bc 2

…………10 分

?c ? 2
?k ? 1
…………12 分

18.解: (Ⅰ)

? a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ?

n 3,



? 当 n ≥ 2 时,

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ? 2 an ?1 ?

n ?1 3 .

②………………3 分

7

①-②得

3n ?1 an ?

1 1 an ? n 3, 3 . a1 ? 1 3.

在①中,令 n ? 1 ,得

? an ?

1 3n .

…………6 分

? bn ?
(Ⅱ)

n an ,

?bn ? n3n . ? Sn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? …? n3n , ?3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? …? n3n?1 .
④-③得 ③ ④ …………9 分

?2Sn ? n3n?1 ? (3 ? 32 ? 33 ? …? 3n ) .
2Sn ? n3
n ?1



3(1 ? 3n ) ? 1 ? 3 ,…………10 分

? Sn ?

(2n ? 1)3n ?1 3 ? 4 4 .…………12 分

19.解:设每一局比赛甲获胜的概率为事件 A,则 0<P(A)<1 (1)由题意知 C4 P (1 ? P) ? C4 P (1 ? P) ……………………………………2 分
2 2 2 3 3

3 6P 2 (1 ? P) 2 ? 4P 3 (1 ? P)解得 ? P ? 1 5 即 ……………………………………4 分
(2)设比赛局数为随机变量

? , 则?的取值为3、、 45

1 3 2 9 P(? ? 3)( ) ? ) ? ? ( 3 3 3 27 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 10 P(? ? 4) C( ) ? C( ) ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 27
8

1 2 2 8 P(? ? 5) C( ) ) ? ? 2 ( 2 4 3 3 27

?
P ………………………10 分

3

4

5

9 27

10 27

8 27

E? ? 3 *

9 10 8 107 ? 4* ? 5* ? 27 27 27 27 ………………………12 分

20.解: (1)∵ f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax



f ?( x) ?

?1 ?a 2? x

f ?(1) ? a ? 1

…………………………………2 分

又 f (1) ? a

∴l 方程为: y ? a ? (a ? 1)( x ? 1) ……………………4 分

即: (a ? 1) x ? y ? 1 ? 0
2 2

又 l 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1相切

| (a ? 1)(?1) ? 1 |


(a ? 1) 2 ? 1

? 1, a ? 1
………………………………………………6 分

1 a[ x ? (2 ? )] 1 ax ? 1 ? 2a a f ?( x) ? a ? ? ? x?2 x?2 x?2 (2)



a?0

?2 ?

1 ?2 a
1 a

又x?2

f ?( x) ? 0时,x ? 2 ?
∴当



f ?( x) ? 0时,? 2

1 ?x?2 a

9

∴ f (x) 增区间为

1 1 (?? ,2 ? ),减区间为(2 ? ,2) a a

……………………12 分

21.解: (1)由已知得:CA=CB=CC1=2,∠ACB=90° ∴BC⊥AC ∴BC⊥平面 A1C1CA ∴点 B 到平面 A1C1CA 的距离为 2…………………………………………………… 分) (3 (2)如图建立空间直角坐标系 则 B(0,2,0)D(0,0,1)A1(2,0,2)

? A1 D ? (?2,0,?1) A1 D(?2,2,?2)
设平面 A1DB 的法向量为 n1 (1, x, y)

?? 2 ? y ? 0 ? y ? ?2 ?? ? ? 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ? x ? ?1 则?

n1 ? (1,?1,?2) …………………………………………………………………………(6 分)
而平面 ACC1A1 的法向量为 n2 (0,1,0)

? cos ? n1 ? n2 ??

?1 6
arccos 6 6 ……………………………………(8 分)

∴二面角 B—A1D—A 的大小为

(3)存在 F 为 AC 的中点,使 EF⊥平面 A1BD 设 F(x,0,0) ,由 E(0,1,2)得 EF ? ( x,?1,?2) 若 EF⊥平面 A1BD,则 EF // n1 由 n1 ? (1,?1,?2) 得 x=1 ∴F 为 AC 的中点 ∴存在 F 为 AC 的中点, 使 EF⊥平面 A1BD………………………………(12 分) 22.解: (I)由题意,可设抛物线方程为 y ? 2 px
2

10

由 a ? b ? 4 ? 3 ? 1, 得c ? 1
2 2

∴抛物线的焦点为(1,0) ,∴p=2 ∴抛物线方程为 y ? 4 x ………………………………………………2 分
2

∵点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 x2

? 0) 是抛物线上的两个动点,

2 ? y12 ? 4 x1 ? y 2 ? 4 x 2 ? ( y1 y 2 ) 2 ? 16 x1 x 2

?| OA ? OB |?| OA ? OB | ? OA ? OB . ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 ? 0 16 y y ? y1 y 2 ( 1 2 ? 1) ? 0 16 ?

? y1 y2 ? 0,? y1 y2 ? ?16……………………………………5 分
| (Ⅱ)? OA ? OB |?| OA ? OB |,?OA ? OB

1 OA : y ? kx, 则OB : y ? ? x k 设
? y ? kx 4 4 得A( 2 , ),同理B(4k 2 ,?4k ) ? 2 k k y ? 4x 由?
2 ? 2 ? x ? k 2 ? 2k ? 消去k,得y 2 ? 2 x ? 8 ? ? y ? 2 ? 2k ? k 设 AB 的中点为(x,y) ,则 ? ………………10 分

(Ⅲ)设与直线

y?

1 x平行的直线x ? 2 y ? m ? 0 2
2

由题设,知直线 x ? 2 y ? m ? 0应与曲线E:y ? 2x ? 8 相切

11

? y 2 ? 2x ? 8 消去x,得y 2 ? 2(2 y ? m) ? 8 ? x ? 2y ? m ? 0 由?
即 y ? 4 y ? 2m ? 8 ? 0
2

? ? ? 16 ? 4(2m ? 8) ? 0,? m ? ?2 1 1 x与直线 ?· ? 2 ? 0之间的距离就是直线? x与曲线 的最近距离 x y y E 2 2 | 0 ? (?2) | 2 5 ? 最近距离 ? d ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14分 .. 2 2 5 1 ? (?2) ? 直线y ?

12


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