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数学(理)一轮教学案:第五章第1讲 平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理 Word版含解析


第五章 平面向量 第 1 讲 平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理 考纲展示 命题探究 考点一 平面向量的线性运算及几何意义 1 向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 相反向量 2 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 的模(或称向量的长度) 长度为零的向量叫做零向量,其方向是不确定的,零向 量记作 0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量, 平行向量又 叫共线向量.规定:零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 定义 既有大小又有方向的量叫做向量, 向量的大小叫做向量 (1)交换律: 加法 求两个向量和的 运算 a+b=b+a (2)结合律: (a+b)+c=a+(b + c) 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 3 向量的数乘和共线定理 (1)向量的数乘 ①长度:|λa|=|λ||a| ②方向 当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同; 当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反; 当 λ=0 时,λa=0,其方向是任意的. (2)向量的数乘的运算律 设 λ,μ 为实数,则①λ(μ a)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a +b)=λa+λb. (3)向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 注意点 对向量的运算结果的理解 (1)两个向量的和或差仍是向量. (2)λ· a 仍是向量.(λ∈R) a-b=a+(-b) 1.思维辨析 (1)单位向量只与模有关,与方向无关.( ) (2)零向量的模等于 0,没有方向.( (4)若 a∥b,b∥c,则必有 a∥c.( → +BA → =0.( (5)AB 答案 ) ) ) ) (3)若两个向量共线,则其方向必定相同.( (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ → +BO → +OC → 2. 如图, 在正方形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, AB =( ) A.0 → C.AC 答案 C → B.AD → D.BD → +BO → +OC → =AO → +OC → =AC →. 解析 AB → =2a+pb,BC → =a+b,CD →= 3.设 a、b 是两个不共线向量,AB a-2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________. 答案 解析 -1 → =BC → +CD → =2a-b,又 A、B、D 三点共线, ∵BD → =λBD →. ∴存在实数 λ,使AB ? ?2=2λ 即? , ?p=-λ ? ∴p=-1. [考法综述] 高考考查向量的概念、加减运算、数乘运算和 向量共线的条件.一般难度不大. 命题法 对概念的理解、运算和共线定理的应用 典例 (1)下列说法中: ①若|a|=|b|,则 a=b; → =DC → 是四边形 ABCD ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是( A.②③ C.③④ → +CB → =0,则OC → =( 足 2AC → -OB → A.2OA 2→ 1→ C.3OA -3OB d,那么( ) ) B.①② D.④⑤ (2)已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上

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