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《高等数学一(上)》期末考试模拟试题二


《高等数学一(上) 》期末考试模拟试题二
一、选择题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,满分 20 分) 。 1.函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 内可导,则 f ? x ? 在 ? a, b ? 内连续. A.正确 B.不正确 ( ) ( )

2.当 x ? 0 时, 1 ? cos x 是 sin x 的高阶无穷小. A.正确 3.极限 lim(
x ?0

B.不正确

2sin x 3 ? x sin ) ? x x
B. 1 D. 3

( )

A. 0 C. 2

? ln(1 ? kx) , x?0 ? 4.已知 f ( x) ? ? x ? 2 , x?0 ?
A. 1 C. 3 5.设函数 y ? cos x ,则 y ?? ? A. sin x C. ? cos x

,且在 x ? 0 连续,则 k ?

( )

B. 2 D. 0 ( ) B. ? sin x D. cos x ? c

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) 。 1.设 f ( x) ?

4 ? x 2 ,则 f (x) 的定义域是


.

2. y ? lg( x ? 2) 的反函数为 3.函数 f ( x) ?

x?2 的可去间断点是 x ? 3x ? 10
2



4.已知 f ( x) ? ?

? aex ?2 ? x

x?0 在 x ? 0 连续,则 a ? x?0

.

三、计算下列各题(本大题共5个小题,每小题8分,共40分)

1

1.求极限 lim

1? 2 ? 3 ??? n . n ?? n2

2. lim ?
x ?0

?1 ? 1 ? ?. ? x ln( x ? 1) ?
dy . dx
dy dx
x?0

3. 设 y ? x sec2 x ? tan x ,求

4.设 y ? y ( x) 是由方程 y3 ? 1 ? xe y 所确定的隐函数,求 5. 已知 ?

.

? x ? t ln t ? y ? t ln t
2

,求

dy dx

- 1] 四、 (8分)求 f ( x) ? x ? 1 ? x 2 在 [ 1, 的最大值和最小值.
五、 (8分)求曲线 y ? 3x4 ? 12 x3 ? 49 的凹凸区间及拐点.
x 六、 分)当 x ? 0 时, e ? 1 ? x . (8

2

《高等数学一(上) 》期末考试模拟试题二答案
一、选择题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,满分 20 分) 。 1.A; 2.A; 3.C; 4.B; 5.C 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) 。 1. [?2, 2] ; 2. y ? 10x ? 2 ; 3. x ? ?2 ; 4. 2 ;

三、计算下列各题(本大题共5个小题,每小题8分,共40分)

1.解

n(n ? 1) 1? 2 ? 3 ??? n (n ? 1) 1 2 lim ? lim lim ? 2 2 n?? n?? n?? 2n 2 n n
?1 1 ? ln(1 ? x) ? x ln(1 ? x) ? x ? ? lim lim? ? ? x?0 x ln(x ? 1) ? lim x ?0 ? x x ?0 ln(x ? 1) ? x? x ?
1 ?1 ln(1 ? x) ? x ?x 1 1? x ? lim ? lim lim ?? 2 x?0 x?0 2 x x ? 0 2 x(1 ? x) 2 x

2.解

3.解 y? ? sec x ? x ? 2 sec x sec x tan x ? sec x ? 2x sec x tan x
2 2 2

4.解 方程两边对 x 求导,

? ? ( y 3 ) x ? (1 ? xe y ) x

3 y2 ? y? ? 1? ? ( xe y )? x
3 y 2 ? y? ? 1? e y ? xe y ? y?

y? ?

dy ey , 2 y 3 y ? xe dx

x ?0

?

e 3

5. 解

dy (t 2 ln t )? 2t ln t ? t = ? dx (t ln t )? ln t ? 1

四、解

1) f ?( x) ? ( x ? 1 ? x 2 )? ? 1 ?

?x 1 ? x2

?

1 ? x2 ? x 1 ? x2

1

2) 令 f ?( x) ? 0, 得 x1 ? ?

1 2

, x2 ? 1 2

1 2 ) ? 2, f (1) ? 1 ,比较得

3) f (?1) ? ?1, f (?

1 2

) ? 0, f (

最大值为 f ( 五、解 ? D : (??, ??)

1 2

) ? 2 ,最小值为 f (?1) ? ?1

1) y? ? 12x3 ? 36 x2 , y ?? ? 36 x2 ? 72 x ? 36 x( x ? 2) 2) 令y?? ? 0, y?? ? 36x( x ? 2), 得 x1 ? 0, x2 ? 2 3)

x f ??( x)
f ( x)

(??, 0)

0
0
拐点 (0,1)

(0, 2)

2

(2, ??)

?
凹的

?
凸的

0
拐点 (2,1)

?
凹的

六、解 f ( x) ? ex ? (1 ? x), f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ( x ? 0)
x 所以 f (x) 单调增,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 , e ? 1 ? x

2


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