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课件 函数y=Asin(wx+a)的图象


函数y=Asin( ? x+? )的图象

高一数学

教学目标
用五点法作函数y=Asin(?x+? )的简 图。 掌握函数y=Asin(? x+ ? )的图象的 基本变换。

培养学生掌握从特殊到一般,从 具体到抽象的思维方法。

教学重点和难点
五点法
作函数y

=Asin(? x+? )的简图 函数y=Asin( ? x+? )的图象

的基本变换

复习
新课

复习——图象变换
y=sinx y=sin(x+2) ( 平移)变换 y=sinx+1 y=-sinx y=sin(-x) ( 对称)变换

y=sin x y= sin x

( 翻折 )变换



y=2sinx

1、五点法作图的步骤:
列表; 描点;

用光滑曲线连接。

2、用五点法画函数y=sinx在[0,2? ]的图象 的关键点是:(如图)
y
1

最高点

曲线与x轴交点
3? 2

y=sinx
o
? 2

2?

?

x

-1

3、五点法作y=A sin( 键点找法:

)图象的五个关

x
0 ) 0

? 2
A

? ? x?

Asin(

? ? x?

?
0

3? 2 -A

2?
0

? ? x?

4、 函数y=Asin(? x+ ? )(其中
A ?0,? >0)的周期公式是 T= ? 。
2?

1、函数图象的纵向伸缩变换
问题1 在同一坐标系中作出y=2sinx 1 sinx的简图,并指出它们 及 y= 2 与y=sinx图象间的关系。

x
sinx

0
0

? 2

?
0

3? 2

2?
0

1

-1

2sinx
1 sinx 2

0
0

2
1 2

0
0

-2
? 1 2

0
0

y
2

y=2sinx
y=sinx
3? 2

1 y= 2sinx
2?

1

o
-1 -2

? 2

?

x

小结1
函数y=Asinx,x? 其中A>0且A ? ) R( 1 的图象,可以看作把正弦曲线上所 有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩 短(当0<A<1时)到原来的A倍(横 坐标不变)而得到。函数y=Asinx, x? R的值域是[-A,A],最大值是A, 最小值是-A。 A的作用 纵向伸缩

练习1:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图:
(1) y ? 3 sin x 2
y 2 3/2 1

( 2)

y ? 1 sin x 3

1/3
0 ?1/3

2?
? x

?1 ?3/2 ?2

2、函数图象的横向伸缩变换
问题2 1 作函数y=sin2x及y=sin 2 x的简 图,并指出它们与y=sinx图象间的 关系。

x
2x sin2x
y
1

0
0 0

? 2

? 4

?
0

? 2

3? 4 3? 2

?
2?
0

1

-1

y=sin2x y=sinx
3?

o

? 4

? 2

?
3? 4

3? 2

2?

4?

x

-1

x 1 x 2
1 sin 2

0

?
1

2?

0
x 0

? 2

?
0

3? 3? 2
-1

4?
2?
0

y
1

y=sin2x
y=sinx

1 y=sin 2 x
?
2? 3?
4?

o

? 4

? 2

3? 4

3? 2

x

-1

小结2
函数y=sin? x,x?R(其中? >0且? ?1) 的图象,可以看作把正弦曲线上所有 点的横坐标缩短(当? >1时)或伸长 ? <1时)到原来的 1 倍(纵坐 (当0< ? 标不变)而得到。

?作用

引起周期 2? T= 改变

左右伸缩

?

练习2:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图:
y ? sin 4 x ( 2) (3) y ? 1 sin 1 x 2 2 (1)
y

y ? sin 1 x 3

y=sinx
1 O -1 y=sin4x ?

1 y=sin 3 x

2?

3?

4?

5?

6? x

(3)

法一:
y ? sin x

y ? 1 sin 1 x 的图象与 y ? sin x的图象的关系: 2 2
图象上各点纵坐标

缩短为原来的一半

1 sin x 图象上各点横坐标 y ? 1 sin 1 x y? 2 2 2 伸长为原来的2倍

y=sinx 1
1 y= 2 sinx

1 y= 2

1 sin 2x

2?

O

?

3?

4? x

(3)

图象上各点横坐标 1 y ? 1 sin 1 x y ? sin x y ? sin x 2 2 伸长为原来的2倍 2 缩短为原来的一半
图象上各点纵坐标

法一: 法二:

y ? 1 sin 1 x 的图象与 y ? sin x的图象的关系: 2 2

y ? sin x
1

图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍

y ? sin 1 x 2
y=sin 2 x
1

图象上各点纵坐标

y ? 1 sin 1 x 2 2 缩短为原来的一半

y

y= sin x
2? O ? y=sinx ?1 3? 4? x

1 2

1 2

3、函数图象的左右平移变换
问题3

的简图,并指出它们与y=sinx图象之
间的关系。

? ? 作函数y=sin(x+ )和y=sin(x- ) 4 3

x
x+

_?

sin(x+ ? )

? 3

3
0
0
y
兀 1

? 6 ? 2
1

2? 3

?
0

7? 6 3?
2
-1

2?
0

5? 3

3

y=sin(x+ 3 ) ? 3

y=sinx
?
2?

o?
6

2? 3

7? 6

5? 3

x

-1

x

? x4 ?) sin(x4

? 4
0
0
y
兀 1

3? 4

? 2

5? 4

?
0

7? 4 3? 2
-1

9? 4
2?
0


1

y=sin(x+ 3 )

y=sinx y=sin(x? 4
3? 4

-

? 3

o

?

5? 3

2?
7? 4

9? 4

4

)
x

5? 4

-1

小结3 函数y=sin(x+? ),x?R(其中??0) 的图象,可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当? <0时)平行移动| ? |个
单位长度而得到。

?作用

y ? sin(x ? y ? sin(x -

?
3

左右平移
) "?" "-" 左移 右移

?

4

)

4 、函数y=Asin( ? x+ ?)的图象
问题4

? 作出y=3sin(2x+ )的图象。 3

x
2x+ ? 3sin(2x+ ? )
y
3 2
?

_? 6

3

0 0

? 12 ? 2

? 3

?
0

7? 12 3?
2

2? 0

5? 6

3

3


-3

y=3sin(2x+ 3 )
? 3
7? 12
5? 3

?
3

1

-

? 6

o
-1

? 12

5? 6

2?

x

-2
-3

变换1:
y
3 2
?

y=3sin(2x+ 3 ) y=sinx
5? 3



?
3

1

-

? 6

o
-1 -2 -3 兀

5? 6

2?

x

y=sin(x+ ) 3



y=sin(2x+ ) 3 先左右平移再左右伸缩(只变x的系数)

(1)函数y=Asin(? x+? )(其中A>0,? >0) 的图象,可看作由下面方法得到: 把y=sinx的图象上所有的点向左(当? >0时) 或向右(当? <0时)平行移动| ? |个单位长度, 得到y=sin(x+? );

小结4

再把所有点的横坐标缩短(当? >1时)或伸长 1 (当0<? <1时)到原来的 倍(纵坐标不变), ? 得到y=sin(? x+ ? );(注意变形) 再把所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变), 得到y=Asin( ? x+ ? )。

变换2:
y
3 2 1

y=3sin(2x+ 3 ) y=sinx
5? 6



-

? 6

o
-1 -2 -3 兀

?
2?

x

y=sin2x y =sin2(x+ ) =sin(2x+ ) 6 3


先左右伸缩再左右平移(注意变形)

(2)函数y=Asin(? x+ ? )(其中A>0, ? >0) 的图象,还可看作由下面方法得到:
把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当? 1 >1时)或伸长(当0< ? <1时)到原来的 倍 ? (纵坐标不变),得到y=sin? x; 再把所有的点向左(当 ? >0时)或向右 ? (当? <0时)平行移动| |个单位长度, ? ? 得到y=sin ? (x+ ) =sin( ? x+? ); (注意)
?

再把所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横 坐标不变), 得到y=Asin( ? x+? )。

练习3:
? 1、函数y=2sin(3x- )的图象是由y=sinx 4
的图象怎样变换得到的?

? 2、函数y=sin(2x- )的图象是由y=sin2x的 3
图象怎样平移得到的?

5、函数y=Asin( ?x+ ?)(其中A>0, ?>0) 的各个量名称: 函数y=Asin(? x+ ? ),x? [0,+ ? ),(其中 A>0,? >0)表示一个振动量的轨迹方程时, A(振幅):表示这个量振动时离开平衡位置 的最大距离; 2? T= ? (周期):往复振动一次所需的时间;

? x+? (相位); ? (初相): x=0时的相位

1 ? f= T = 2? (频率):单位时间内往复振动的 次数;

总结

1、函数y=Asin(? x+ ? )中的A, ,? 这 ?
三个量对函数图象的影响是:

A(振幅): 引起图象纵向伸缩

? (T=

2?

?

): 引起图象横向伸缩(注意变形)

? (初相):引起图象左右平移(注意变形)

2、注意前面所研究的前提条件是 y=Asin(? x+? )中的A>0, ? >0; 若A<0, ? <0呢? ? 例如:y=-2sin(-2x+ ) 4

3、函数 y=Acos(? x+ ? )(A>0, ? >0)

的图象可用类似方法作出。 思考题:用两种方法作函数

? y=2cos(2x- )的图象。 4

作业:
P73练习----1,2,3,4,5写在书上; 习题4.9----2,3 写在作业本上。


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