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3.1.1回归分析的基本思想及其初步应用(学、教案)


3. 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 【教学目标】1.了解回归分析的基本思想方法及其简单应用. 2.会解释解释变量和预报变量的关系. 【教学重难点】 教学重点:回归分析的应用. 教学难点: a 、 b 公式的推到. 【教学过程】 一、设置情境,引入课题 引入:对于一组具有线性相关关系的数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ), 方程的截

距和斜率的最小二乘法估计公式分别为:

,( xn , yn ). 其回归直线

a ? y ? bx

b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

x?

1 n ? xi n i ?1

y?

1 n ? yi n i ?1

( x ,y 称为样本点的中心。 )

如何推到着两个计算公式? 二、引导探究,推出公式 从已经学过的知识,截距 a 和斜率 b 分别是使 Q(? , ? ) ?

?( y ? ? x ?? )
i ?1 i i

n

2

取最小值时

? , ? 的值,由于
Q(? , ? ) ? ? [ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)+( y ? ? x) ? ? ]2
i ?1 n

? ?{[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ? 2[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)] [( y ? ? x) ? ? ] ? [( y ? ? x) ? ? ]2 }
i ?1 n 2 ? ? [ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ? 2? [ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)] [( y ? ? x) ? ? ] ? n( y ? ? x ? ?) i ?1 i ?1 n

n

因为

? ( y ? ? x ? ?) ?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]( y ? ? x ? ?) ?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]
i ?1 i ?1

n

n

? ( y ? ? x ? ?) [? yi ? ? ? xi ? n( y ? ? x) ] ? ( y ? ? x ? ?) [n y ? n? x ? n( y ? ? x) ] ? 0,
i ?1 i ?1

n

n

所以

1

Q (?,?) ? ? [ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ? n[( y ? ? x) ? ? ]2
i ?1 2 ? ? 2 ? ( xi ? x)2 ? 2? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ? ( yi ? y ) 2 ?n( y ? ? x ? ?) i ?1 i ?1 i ?1 n n n

n

? n( y ? ? x ? ?) ? ? ( xi ? x) [ ? ?
2 2 i ?1

n

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

] ?
2

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

n

2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

? ? ( yi ? y ) 2
i ?1

n

在上式中,后两项和 ? , ? 无关,而前两项为非负数,因此要使 Q 取得最小值,当且仅当前 两项的值均为 0.,既有

??

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ? y??x

2

通过上式推导,可以训练学生的计算能力,观察分析能力,能够很好训练学生数学能力,必 须在老师引导下让学生自己推出。

所以: a ? y ? bx

b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

三、例题应用,剖析回归基本思想与方法 例1、 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重的数据如图所示: 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59

(1) 画出以身高为自变量 x,体重为因变量 y 的散点图 (2) 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程 (3) 求预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重 解: (1)由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量 x,体重为因变量 y 作散 点图 (2)

b ? 0.849, a ? ?85.712

?回归方程: y ? 0.849 x ? 85.712.

(3)对于身高 172cm 的女大学生,由回归方程可以预报体重为:

y ? 0.849 ?172 ? 85.712 ? 60.316(kg)
四、当堂练习 观察两相关变量得如下数据
2

x y

—1 —9

—2 —7

—3 —5

—4 —3

—5 —1

5 1

3 5

4 3

2 7

1 9

求两个变量的回归方程. 答:

x ? 0, y ? 0, ? xi 2 ? 110, ? xi yi ? 110,
i ?1 i ?1

10

10

?b ?

? x y ? 10 x y
i ?1 10 i i

10

?x
i ?1

2

i

? 10 x

2

?

110 ? 10 ? 0 ? 1, a ? y ? bx ? 0 ? 0 b ? 0. 110 ? 10 ? 0

所以所求回归直线方程为 y ? x 五、课堂小结 1. a 、 b 公式的推到过程。 2. y ? bx ? a通过(x, y) 六、布置作业 课本 90 页习题 1

3

3.1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 课前预习学案 一、预习目标 通过截距 a 与斜率 b 分别是使 Q(? , ? ) ? 二、预习内容: 1. 对于一组具有线性相关关系的数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ), 程的截距和斜率的最小二乘法估计公式:
n

?( y ? ? x ?? )
i ?1 i i

2

取最小值时,求 ? , ? 的值。

,( xn , yn ). 其回归直线方

a=
2. x = 3.样本点的中心 三、提出问题 ,

,b =

y=

如何使 Q(? , ? ) 值最小,通过观察分析式子进行试探推到 课内探究学案 一、学习目标 1. 了解回归分析的基本思想和方法 2. 培养学生观察分析计算的能力 二、学习重难点 学习重点:回归方程 y ? bx ? a , 学习难点: a 、 b 公式的推到 三、学习过程 1.使 Q(? , ? ) 值最小时, ? , ? 值的推到

2.结论

??

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ? y??x

2

3. y ? bx ? a 中 a 和 b 的含义是什么 4. ( x, y ) 一定通过回归方程吗? 四、典型例题 例 1.研究某灌溉倒水的流速 y 与水深 x 之间的关系,测得一组数据如下: 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 水深 x(m)

4

流速 y(m/s)

1.70

1.79

1.88

1.95

2.03

2.10

2.16

2.21

(1) 求 y 与 x 的回归直线方程; (2) 预测水深为 1.95m 时水的流速是 多少? 分析: (1)y 与 x 的回归直线方程为 y ? 0.733x ? 0.6948 (2)当水深为 1.95m 时,可以预测水的流速约为 2.12m/s 五、当堂练习 1.对两个变量 y 和 x 进行回归分析, 得到一组样本数据: ( x1, y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ), 则下列说法不正确的是( )

,( xn , yn ).

A.由样本数据得到的回归方程 y ? bx ? a 必过样本中心 ( x, y ) B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.用相关指数 R 来刻画回归效果, R 越小,说明模型的拟合效果越好 D.若变量 y 与 x 之间的相关系数 r ? ?0.9362 ,则变量 y 与 x 之间具有线性相关关系 2.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量 xkg 与每单位面积蔬菜年平均产量 yt 之间的关 系有如下数据: 年份 x(kg) y(t) 年份 x(kg) y(t) 1985 70 5.1 1993 92 11.5 1986 74 6.0 1994 108 11.0 1987 80 6.8 1995 115 11.8 1988 78 7.8 1996 123 12.2 1989 85 9.0 1997 130 12.5 1990 92 10.2 1998 138 12.8 1991 90 10.0 1999 145 13.0 1992 95 12.0
2 2

若 x 与 y 之间线性相关,求蔬菜年平均产量 y 与使用氮肥量 x 之间的回归直线方程,并估计 每单位面积蔬菜的年平均产量.(已知 x ? 101, y ? 10.11, 解:设所求的回归直线方程为 y ? bx ? a ,则

? xi 2 ? 161, ? xi yi ? 16076.8 )
i ?1 i ?1

15

15

?b ?

? x y ? 15x y
i ?1 15 i i

15

?x
i ?1

2

i

? 15 x

2

?

16076.8 ? 15 ?101?10.11 ? 0.0937, a ? y ? bx ? 10.11 ? 0.0937 ? 101 ? 0.6463. 161125 ? 15 ?1012

所以,回归直线方程为: y ? 0.0937 x ? 0.6463

5

当 x=150kg 时,每单位面积蔬菜的年平均产量 y ? 0.0937 ?150 ? 0.6463 ? 14.701(kg) 课后练习与提高 1、 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5

(1) 请画出上表数据的散点图; (2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (3) 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 解: (1)由题设所给数据,可得散点图如下图 (2)由对照数据,计算得:

? xi 2 ? 86, x ?
i ?1
4

4

4 3? 4 ?5? 6 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 ? 4.5, y ? ? 3.5, 已知 ? xi yi ? 66.5 4 4 i ?1

所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

b?

? x y ? 4x y
i ?1 4 i i

?x
i ?1

2

i

? 4x

2

?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 0.7, a ? y ? bx ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35. 86 ? 4 ? 4.52

因此,所求的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 (4) 由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为

90 ? (0.7 ?100 ? 0.35) ? 19.65 (吨标准煤) 。

6

3.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用 【教学目标】1.了解相关系数 r;2 了解随机误差;3 会简单应用残差分析 【教学重难点】 教学重点:相关系数和随机误差 教学难点:残差分析应用。 【教学过程】 一、设置情境,引入课题 上节例题中,身高 172cm 女大学生,体重一定是 60kg 吗?如果不是,其原因是什么? 二、引导探究,发现问题,解决问题 1 y ? 0.849x ? 85.712 对于 b ? 0.849 是斜率的估计值, 说明身高 x 每增加 1 个单位,体 重就 ,表明体重与身高具有 2 如何描述线性相关关系的强弱? 的线性相关关系。

r?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( xi ? x)2 ? ( yi ? y)2
i ?1 i ?1

n

n

(1)r>0 表明两个变量正相关; (2)r<0 表明两个变量负相关; (3)r 的绝对值越接近 1,表明相关性越强,r 的绝对值越接近 0,表明相关性越弱。 (4)当 r 的绝对值大于 0.75 认为两个变量具有很强的相关性关系。 3 身高 172cm 的女大学生显然不一定体重是 60.316kg, 但一般可以认为她的体 重接近于 60.316kg. ①样本点与回归直线的 ②所有的样本点不共线, 而是散布在某一条直线的附近, 该直线表示身高与体重的关系的线 性回归模型表示 y ? bx ? a ? ? e 是 y 与 y ? bx ? a 的误差,e 为随机变量,e 称为随机误差。 ③E(e)=0,D(e)= ? >0.④D(e)越小,预报真实值 y 的精度越高。
2

⑤随机误差是引起预报值 y 与真实值 y 之间的误差之一。 ⑥ a, b 为截距和斜率的估计值,与 a,b 的真实值之间存在误差,这种误差也引起 y 与真实值 y 之间的误差之一。 4 思考 产生随机误差项 e 的原因是什么? 5 探究在线性回归模型中,e 是用 y 预报真实值 y 的误差,它是一个不可观测的量,那么应 该怎样研究随机误差?如何衡量预报的精度? ① D(e) ? ? 来衡量随机误差的大小。② ei ? yi ? yi
2

③ ei ? yi ? yi ? yi ? bxi ? a

7

④? ?

2

1 n 2 1 e ? Q(a, b)(n ? 2) ? n ? 2 i ?1 n?2
2

⑤ Q(a, b) 称为残差平方和, ? 越小,预报精度越高。 6 思考 当样本容量为 1 或 2 时, 残差平方和是多少?用这样的样本建立的线性回归方程的预报误差 为 0 吗? 7 残差分析

①判断原始数据中是否存在可疑数据;②残差图 ③相关指数 R ? 1 ?
2

?(y ? y ) ? ( y ? y)
i ?1 i i ?1 n i i

n

2

2

④R 越大,残差平方和越小,拟合效果越好;R 越接近 1,表明回归的效果越好。 8 建立回归模型的基本步骤: ①确定研究对象,明确哪个变量时解释变量,哪个变量时预报变量。 ②画出确定好的解释变量和预报变量得散点图,观察它们之间的关系; ③由经验确定回归方程的类型; ④按一定规则估计回归方程中的参数; ⑤得出结果后分析残差图是否异常。 三、典型例题 例 1 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料,今以 x 表示轿车的使用年数,y 表示响应的年 均价格,求 y 关于 x 的回归方程 使 用 1 年数 x 年 均 2651 价格 y ( 美 元) 2 194 3 3 1494 4 1087 5 765 6 538 7 484 8 290 9 226 10 204

2

2

分析:由已知表格先画出散点图,可以看出随着使用年数的增加,轿车的平均价格在递减, 但不在一条直线附近,但据此认为 y 与 x 之间具有线性回归关系是不科学的,要根据图的形 状进行合理转化,转化成线性关系的变量间的关系。 解:作出散点图如下图 可以发现,各点并不是基本处于一条直线附近,因此,y 与 x 之间应是非线性相关关系. 与已学函数图像比较,用 y ? ebx?a 来刻画题中模型更为合理,令 z ? ln y ,则 z ? bx ? a , 题中数据变成如下表所示: x y 1 7.883 2 7.572 3 7.309 4 6.991 5 6.640 6 6.288 7 6.182 8 5.670 9 5.421 10 5.318

在散点图中可以看出变换的样本点分布在一条直线附近,因此可以用线性回归模型方程拟 合,由表中数据可得 r ? ?0.996, r ? 0.75 ,认为 x 与 z 之间具有线性相关关系,由表中数

8

据的 b ? ?0.298, a ? 8.165, 所以 z ? ?0.298x ? 8.165 ,最后回代 z ? ln y , 即 y ? e?0.298 x?8.165 四、当堂练习: 1 两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R2 如下,其 中拟合效果最好的模型是( ) A C 模型 1 的 R ? 0.98
2

B 模型 2 的 R ? 0.80
2

模型 3 的 R ? 0.50
2

D 模型 4 的 R ? 0.25
2

答案 A 五、课堂小结 1 相关系数 r 和相关指数 R2 2 残差分析 六、作业布置 课本 90 页习题 3

9

3.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用 课前预习学案 一、预习目标 1 了解相关系数 r 和相关指数 R2 2 了解残差分析 3 了解随机误差产生的原因 二、预习内容 1 相关系数 r

①r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

2

②r>0 表明两个变量 ;r<0 表明两个变量 ;r 的绝对值越接近 1,表明 两个变量相关性 , r 的绝对值越接近 0,表示两个变量之间 当 r 的绝对值大 于 认为两个变量具有很强的相关性关系。 2 随机误差 ①在线性回归模型: y ? bx ? a ? e 中,a 和 b 为模型的 之间的 差 D(e)= ?
2

,e 是 y 与 y ? bx ? a ,方

,通常 e 为随机变量,称为随机误差,它的均值 E(e)= 0

②线性回归模型的完整表达式为 ?

? y ? bx ? a ? e
2 ? E (e) ? 0, D (e) ? ?

随机误差 e 的方差 ? 越小,通过回
2

归直线 y ? bx ? a 预报真实值 y 的精确度 3 残差分析 ①残差对于样本点 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ),

,( xn , yn ). 而言,相应于它们的随机误差为

ei =
其估算值为 ei = 的残差。

= =

(i=1,2,3,…,n) (i=1,2,3,…,n). 称为相应于点 ( xi , yi )

②残差平方和:类比样本方差估计总体方差的思想,可以用 ? =

2

=

(n>2)作为 ? 的估计量,其中 a ? y ? bx , b ?
2

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( xi ? x)2
i ?1

n

, Q(a, b) 称为残差

平方和,可以用 ? 衡量回归方程的预报精度, ? 越小,预报精度 ③用图形来分析残差特性:用

2

2

R2 ? 1 ?

来刻画回归的效果。

10

三、提出问题 1 随机误差产生的原因是什么? 2 如何建立模型拟合效果最好? 课内探究学习 一、学习目标 1 了解相关系数和相关指数的关系. 2 理解随机误差产生的原因.3 3 会进行简单的残差分析 二、学习重难点 学习重点 1 相关系数 r 2 相关指数 R2 3 随机误差 学习难点 残差分析的应用 三、学习过程 1 相关系数 r= 2 r 的性质: 3 随机误差的定义: 4 相关指数 R2= 5 R2 的性质: 6 残差分析的步骤: 四、典型例题 例 随着我国经济的快速发展,城乡居民的审核水平不断提高,为研究某市家庭平均收入与 月平均生活支出的关系,该市统计部门随机调查 10 个家庭,得数据如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 家庭编号 x 收入(千元) y 支出千元 0.8 0.7 1.1 1.0 1.3 1.2 1.5 1.0 1.5 1.3 1.8 1.5 2.0 1.3 2.2 1.7 2.4 2.0 2.8 2.5

(1) 判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关? (2) 若二者线性相关,求回归直线方程。 思路点拨:利用散点图观察收入 x 和支出 y 是否线性相关,若呈现线性相关关系,可利用公 式来求出回归系数,然后获得回归直线方程。 解:作散点图 观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近,所以二者呈现线性相关关系。 (2) x ?

1 (0.8 ? 1.1 ? 1.3 ? 1.5 ? 1.5 ? 1.8 ? 2.0 ? 2.2 ? 2.4 ? 2.8) ? 1.74, 10

y?

1 (0.7 ? 1.0 ? 1.2 ? 1.0 ? 1.3 ? 1.5 ? 1.3 ? 1.7 ? 2.0 ? 2.5) ? 1.42, 10

?b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? 0.8136, a ? 1.42 ? 1.74 ? 0.0043.

所以回归方程 y ? 0.8136x ? 0.0043 五、当堂练习

11

1 山东鲁洁棉业公式的可按人员在 7 块并排形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行 施化肥量 x 对产量 y 影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg) 施化肥量 x 产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1) 画出散点图; (2) 判断是否具有相关关系 思路点拨 (1)散点图如图所示 (2)由散点图可知,各组数据对应点大致都在一条直线附近,所以施化肥量 x 与产量 y 具 有线性相关关系. 六、课后练习与提高 1 在对两个变量 x、y 进行线性回归分析时有下列步骤: ①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据 ( xi , yi ), i ? 1, 2,

, n ;③求线性回归方程;④

求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图。如果根据可靠性要求能够作出变量 x、y 具 有线性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是( ) A ①②⑤③④ B ③②④⑤① C ②④③①⑤ D ②⑤④③① 2 三点(3,10) , (7,20),(11,24)的线性回归方程为( ) A y ? 1.75x ? 5.75 B y ? 1.75x ? 5.75 C y ? ?1.75x ? 5.75 D y ? ?1.75x ? 5.75 )

3 对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 y ? a ? bx 中,回归系数 b ( A.可以大于 0 B 大于 0 C 能等于 0 D 只能小于 0

4 废品率 x 0 0 和每吨生铁成本 y(元)之间的回归直线方程为 y ? 256 ? 2x ,表明(



A 废品率每增加 1 0 0 ,生铁成本增加 258 元; B 废品率每增加 1 0 0 ,生铁成本增加 2 元; C 废品率每增加 1 0 0 ,生铁成本每吨增加 2 元;D 废品率不变,生铁成本增加 256 元; 答案 1 D 2 B 3 A 4 C

12


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