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排列组合与概率统计试题研究


(04)高考辅导材料

排列组合与概率统计试题研究
江门市新会华侨中学 蔡立新

排列组合综合应用题目要从“分析”“分辨”“分类”与“分步”角度入手。 、 、 “分析”就是要找出题目的条件与结论,哪些是元素,哪些是位置; “分辨”就是要 辨别到底是排列(与顺序有关)还是组合(与顺序无关),对某些元素的位置有无限制 等; “分类”就是要把复杂问题分成互相排斥的几类,然后逐类解决(分类计数原理), “分步” 就是要把问题化成几个互相联系的步骤, 而每一步都是简单的排列组合问题, 然后逐步解决。 (分步计数原理) 二项定理是一个恒等式,要能够利用这个恒等式解决与其相关的数列和不等式问 题, 还要能够进行赋值, 解决系数问题和二项式系数问题, 还要能够将三项式(a+b+c)n n 2n 分成[(a+b)+c] 或者(A+B) 来解决。 求某些复杂事件的概率时通常有两种方法:一是将所求的事件化成一些彼此互斥 的事件的和,二是先求出些事件的对立事件(适合于“至少”和“至多”表达的事件) 的概率。要注意的是:两个互斥事件不一定就是对立事件,而两对立事件一定就是互 斥事件。独立重复实验是同一实验的 n 次重复,每次实验结果出现的概率不受其他各 次实验结果的影响,每次实验有两个结果,成功和失败,但是与实验次序无关,例如 射击问题,产品检验问题等。 求离散型随机变量的分布列,首先要确定ξ取哪些值,必须找全可能值及每个变 量对应的概率,二项分布 B(n,p)是重要的离散型随机变量的分布列,在二项式与独 立重复实验相结合的基础上对其进一步认识, 要熟悉并会利用其分布列求数学期望与 方差,并能对结果进行数据分析,解决实际问题。 对于抽样方法和总体分布估计中的基本概念要有所了解,能够利用标准正态分布 表求出正态分布总体 N ( ? , ? ) 在任意区间内取值的概率。以下给出一些比较新的高考 模拟题供同学们练习和备考。
1.有 10 个外壳完全相同的圆球,其中有 8 个各重 a 克,2 个各重 b 克,(a ? b),从中任取 3 个放在天平一 端的托盘中,再从剩余的 7 个球中任取 3 个放天平的另一端的盘子里面,求天平平衡的概率. 解:两端重量相等才平衡,有两类状况:两端均为 3 个重 a 克的球,或者两个重 a 克和一个 b 克的
3 2 C83C5 C82C62 A2 1 球,而这两类事件是互斥的,由加法公式可得:P= 3 3 + = 3 3 C10C7 C10C7 3

2.某厂进行乒乓球比赛,A 胜 B 的概率是 0.4,B 胜 C 的概率为 0.5,比赛按如下顺序进行,第一局,A 与 B,第二局,第一局的胜者与 C,第三局,第二局的胜者与第一局的败者,第四局,第三局的胜者与第二局 的败者,求 B 连胜四次的概率. 解: 第一局 B 胜 A 的概率是 P1=0.6,第二局 B 胜 C 的概率是 P2=0.5,第三局 B 胜 A 的概率是 P3=0.6, 第四局 B 胜 C 的概率是 P4=0.5,为四步是相互独立的事件,但是同时发生,由乘法公式可得 P=0.09.

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(04)高考辅导材料 3.某射手射击一次击中目标的概率是 0.9,他连续射击四次,问(1)偶次击中,奇次不击中的概率是 多少?(2)恰好有两次击中目标的概率是多少? 解:设 A={射击一次击中目标},则 A ={射击一次击不中目标},那么:P(A)=0.9,P( A )=0.1. (1)P( A A A A)= 0.1 ? 0.9 ? 0.1 ? 0.9=0.0081.
2 (2) P (2) ? C4 0.92 ? 0.12 ? 0.0486 . 4

4.在有 1,2,3,4,5 五条线路的车停靠的车站上,张老师等候 1,3,4 路车的到来,按汽车经过该站的次数来 说,2,3,4,5 路车的次数是相同的,而 1 路车的次数是其他各路车的次数的总和,求首先到站的恰好是 张老师所等候的汽车的概率. 解:设首先到站是张老师要等候汽车的这一事件叫 H,这是一个复合事件,设事件 Ai={第 i 路车到 站},i=1,2,3,4,5,则 H=A1+A3+A4,而 Ai 是互斥的. P(A1)=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5), P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A5), P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=1.

1 1 ,P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A5)= . 2 8 3 P(H)=P(A1+A3+A4)=P(A1)+P(A3)+P(A4)= 4
解得: P(A1)= 5.有一批食品出厂前,要进行五项指标抽检,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出厂.已知每项 指标抽检是相互独立的,且每项指标抽检不合格的概率是 0.2.(1)求这批食品不能出厂的概率 (2)求 直至五项指标全部检查完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率. (本题要求保留三位有效数字) 解:(1)这批食品能出厂这一事件相当于全部指标都合格或者只有一项不合格.故这批食品不能出
1 厂的概率为:P= 1 ? 0.85 ? C5 0.2 ? 0.84 ? 0.263. 1 (2)5 项指标检查完毕,判断其可以出厂的概率为 P1= C4 0.2 ? 0.83 ? 0.8 ; 1 5 项指标检查完毕,判断其不可以出厂的概率为 P2= C4 0.2 ? 0.83 ? 0.2 ;

根据互斥事件有一个发生的概率加法公式可得,5 项指标全部检查完毕才能确定这批食品是否出 厂的概率为 P1+P2 ? 0.410. 6.某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%,现从一批产品中任意地连续抽出 2 件,则次品数 ξ 的概 率分布列为 ξ 0 1 2 P 解:由于每次抽取的产品成本是否为次品相互之间是独立的,连续抽取两次的次品数 ξ ~B(2,5%) ξ 0 1 2

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(04)高考辅导材料 7.一个袋子里面有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时 取出 2 个,其中含有红球个数的数学期望是 1.2 . P
2 C30C2 C52 1 1 C3C2 C52 0 C32C2 C52

8 .在(x+y+

1 1 8 ? ) 的展开式中,含 xy 的项的系数是多少? x y

9.在一个箱内装有分别标号为 1~50 的均匀小球,从中任意取出两个小球,号码相加,计算: (1)其和能被 3 整除的概率. (2)其不能被 3 整除的概率.

10.某射手进行射击练习,每射击 5 发子弹算一组,一旦命中就停止,并进入下一组练习,否则一直打完 5 发子弹才能进入下一组练习.若该射手在某组射击练习中命中一次,并且已知他射击一次的命中 率为 0.8,求在这一组练习中耗用子弹数 ? 的分布列,并求出 ? 的期望 E ? 与方差 D ? (保留两位小数)

11.某学校有老教师 28 人,中年教师 54 人,青年教师 81 人,为了调查他们的身体头状况,学校决定从他 们中抽取容量为 36 的样本进行健康调查,最合适抽取样本的方法是: A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老教师中剔除一人,然后进行分层抽样 12.已知随机变量 ? 只能取 3 个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则这个数列的公差的取值范围是 A.[-

1 1 , ] 4 4

B.[-

1 1 , ] 5 5

C.[-

1 1 , ] 3 3

D.[-

1 1 , ] 2 2

13.已知两组数据 x1,x2, ? xn 与 y1,y2, ? yn,它们的平均数分别是 x 和 y ,则新的一组数据 2x1-3y1+1,2x2-3y2+1, ? 2xn-3yn+1 的平均数是: ( A.2 x -3 y B. 2 x -3 y +1 C. 4 x -9 y )

D. 4 x -9 y +1

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(04)高考辅导材料 14.设随机变量 ? ~B(5,0.5),又? ? 5? ,则 E? 和 D? 的值分别是( ) A.

25 25 和 2 4

B.

5 5 和 2 4

C.

25 125 和 4 2

D.

25 125 和 4 4

15.已知随机变量 ? 所有可能的值是 1,2,3, ? n,且取这些值的概率依次是:k,22k,32k, ? n2k,则常数的 值是 .

16.从 2,4,6,7,8,11,12,13 中任取两个数,此两数恰无公约数的概率为: A.

5 14

B.

7 14

C.

9 14

D.

11 14

17.设 ? 是一个离散型随机变量其分布列如下: 求 Eξ 和 Dξ 的值. ξ P 几个特殊的排列组合数问题? 18.945 有多少个正约数? N 19.如图,沿向东或者向北方向由 M ?N 有多少条路径? M -1 0.5 0 1-2q 1 q2

20.如 19 题图,共有多少个矩形?

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