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上海徐汇新王牌-小班-秋季周末提高补习-孙D老师-高一数学:命题与条件


高一数学 第二讲

命题与条件

一、命题相关概念: 1.可以判断真假的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题 2. (1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫互逆命题. (2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么这两个命题叫互否命题. (

3) 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 那么这两个命题叫互为逆否命题. 3.一般地,把条件 ? 的否定和结论 ? 的否定,分别记为“ ? ”和“ ? ” ,则命题的四种形式可写为: 原命题:如果 ? ,那么 ? 否命题:如果 ? ,那么 ? 4. 用反证法证明的一般步骤是: (1) 反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2) 归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3) 结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 二、充要条件相关概念 逆命题:如果 ? ,那么 ? 逆否命题:如果 ? ,那么 ?

? q. 1.如果“若 p 则 q ”为真, 记为 p ? q , , 如果“若 p 则 q ”为假, 记为 p ?
2.若 p ? q , 则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件。 3.判断方法: (1)定义法:① p 是 q 的充分不必要条件 ? ?

?p ? q ? q ?p ?

② p 是 q 的必要不充分条件 ? ?

?p ? ? q ?p ? q

③ p 是 q 的充要条件 ? ?

?p ? q ?q ? p

④ p 是 q 的既不充分也不必要条件 ? ?

?p ? ? q ? q ?p ?

(2)集合法: 设 P={p}, Q={q}, ① ② 若 P Q, 则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件. 若 P=Q,则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件).

三、典型例题: 题型一:命题真假的判定

例 1、有下列四个命题:
①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; 2 ③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 例 2、下列命题中真命题的序号是________
2 ①若 k ? 0 ,则方程 x ? 2 x ? k ? 0 有实数根

②“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的否命题
1

③“矩形的对角线相等”的逆命题

④“若 xy ? 0 ,则 x, y 中至少有一个为 0”的否命题

题型二:命题的四种形式 例 3:已知 a、b、c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是________________________, 其命题的否定为________________________ . 例 4、写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假. (1) 平行四边形的对边相等; (2) 菱形的对角线互相垂直平分; (3) 设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d .

例 5、 (1)命题“若 x = y 则 x2 = y2”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它的真假。

(2)写出命题: “若 x + y = 5 则 x = 3 且 y = 2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假。

例 6、已知 a、b 是实数,命题:“若 a>0 且 b>0,则 a+b>0 且 ab>0”. (1) 写出否命题,并判定真假;(2)写出逆否命题,并判定真假.

例7、 下列命题中正确的是( ) ①“x、y 是实数,若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命题; ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题; A.①②③④ B.①③④ C.②③④

②“正多边形都相似”的逆命题;

④“若 x- 3 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题. D.①④

题型三:充要条件的概念及其判定 例 8、设集合 U 是全集,A?U,B?U,则“A∪B=U”是“B=?UA”的________条件. 例 9、 (1)集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a >5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

(2)设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)若 ? 是 ? 的充分不必要条件,则 ? 是 ? 的( ) D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 1 (4)“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的( ) 4 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 题型四:利用充要条件确定参数取值范围
2

D.非充分非必要条件

例 10、已知 p:x<﹣2 或 x>10;q:1﹣m≤x≤1+m ; p 是 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围.

3 3 例 11、已知集合 A={y|y=x2- x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m ≥1}.p:x∈A,q:x∈B,并且 p 是 q 的充分条件, 2 4 求实数 m 的取值范围.

题型五:充要条件相关的证明问题 例 15、证明:方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负实数根的充要条件是 a≤0 或 a=1.

3 3 2 2 例 16、已知 ab ? 0 ,求证: a ? b ? 1 的充要条件是 a ? b ? ab ? a ? b ? 0 .

3

例 17、已知 a、b 是实数,求证:a -b -2b =1 成立的充分条件是 a -b =1.该条件是否为必要条件?试证明 你的结论.

4

4

2

2

2

题型六:反证法的应用 例 18、 用反证法证明:设三个正实数 a、b、c 满足条件

1 1 1 ? ? =2 求证:a、b、c 中至少有两个不小于 1. a b c

例 19、已知:a、b、c 是互不相等的非零实数.求证:三个方程 ax +2bx+c=0,bx +2cx+a=0,cx +2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.

2

2

2

4

实战演练 1.下列命题:① 5>4 或 4>5;② 命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题;③ 命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其 中假命题的个数为( ) 0 A. B.1 C.2 D.3 2 2.命题:“若 a>0,则 a >0”的否命题是( ) 2 2 A.若 a >0,则 a>0 B.若 a<0,则 a <0 C.若 a≤0,则 a2≤0 D.若 a≤0,则 a2≤0 3.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.有下列四个命题: (1)“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; (2)“面积相等的三角形全等”的否命题; (3)“若 m≤1,则方程 x2﹣2x+m=0 有实数解”的逆否命题; (4)“若 A∩ B=A,则 A?B”的逆否命题. 其中真命题个数为( ) 1 A. B.2 C.3 D.4 5.“|x|=|y|”是“x=y”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在下列 3 个结论中,正确的有( ) 2 3 ① x >4 是 x <﹣8 的必要不充分条件; ② 在△ ABC 中,AB2+AC2=BC2 是△ ABC 为直角三角形的充要条件; 2 2 ③ 若 a,b∈R,则“a +b ≠0”是“a,b 不全为 0”的充要条件. ② ③ ③ ② ③ A.① B.② C.① D.① 7.若集合 P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R},则( ) A.“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件 B. “x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件 C. “x∈P”是“x∈Q”的充要条件 D.“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件 8.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B. 命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C. 命题“若 x=1,则 x2+x﹣2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 9.下列命题中: (1)命题“在△ ABC 中,若 AB>AC,则∠ C>∠ B”的逆命题; (2)命题“若 ab=0,则 a≠0 且 b=0”的否命题; (3)若题“若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0”的逆否命题; (4)命题“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题; 其中是真命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 A 中的元素 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (3)当 x∈R 时,若 A∩ B=?,求实数 m 的取值范围.

5

例题及习题解析: 例 1、答案 ①③ ;例 2、 【答案】①②④
例 3:解:由否命题的定义,其否命题是“若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3”;其命题的否定只否定结论,故否 定为“若 a+b+c=3,则 a +b +c <3”. 例 4、解: (1)原命题:若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题; 逆命题:若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题; 否命题:若一个四边形不是平行四边形,则其两组对边至少一组不相等;真命题; 逆否命题:若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四边形;真命题. (2)原命题:若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题; 逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题; 否命题:若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题; 逆否命题:若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真命题. (3)原命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;真命题; 逆命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b, c ? d ;假命题; 否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b 或 c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;假命题; 逆否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b 或 c ? d ;真命题. 例 5、 (1)解:逆命题:若 x2 = y2 则 x = y 否命题:若 x ? y 则 x2 ? y2 逆否命题:若 x2 ? y2 则 x ? y (2)解:逆命题:若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 否命题:若 x + y ? 5 则 x ? 3 或 y?2 逆否命题:若 x ? 3 或 y?2 则 x + y ?5 (假,如 x = 1, y = ?1) (假,如 x = 1, y = ?1) (真) (真) (真) (假)
2 2 2 2 2 2

例 6、解:(1)否命题:已知 a、b 是实数,若 a≤0 或 b≤0,则 a+b≤0 或 ab≤0.否命题为真命题。 逆命题为:“若 a+b>0 且 ab>0,则 a>0 且 b>0”,明显为真,故否命题为真. (2)逆否命题:“若 a+b≤0 或 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0”;该逆否命题为真命题,因为原命题为真. 例 7、解:对于①,其否命题是“x、y 是实数,若 x +y =0,则 x、y 全为零” .这显然是正确的,故①为真命题; 对于②,其逆命题是“若两多边形相似,它们一定是正多边形” ,这显然是错误的,故②为假命题; 对于③,由于Δ =1+4m,当 m>0 时,Δ >0,所以原命题正确,其逆否命题也正确,即③为真命题; 对于④,原命题为真,故逆否命题也为真.因此正确的是①③④,选 B. 例 8、解:当 A∩B≠?时,B≠?UA. 答案:必要不充分条件 例 9、答案 B 解:若 A?B,则 a>4,而 a>4 (2) a>5,但 a>5?a>4.故选 B.
6
2 2

(2)解:a∈M 时,推不出 a∈N,例如 a=3.但是当 a∈N 时,a∈M 成立.故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件. 答案:B (3)解: ? ? ? ? ? ? ? ,故选 A。 答案:A 1 (4)解: 若一元二次方程 x 2 +x+m=0 有实数解,则 Δ=1-4m≥0,因此 m≤ . 4 1 故 m< 是方程 x 2 +x+m=0 有实数解的充分非必要条件.答案: A 4 例 10、 解:∵ p:x<﹣2,或 x>10;q:1﹣m≤x≤1+m ∴
2

∴p :﹣2≤x≤10 ,∴m≠3

∵p ?q ∴m 的取值范围为(3,+∞)

又∵q 推不出 p

3?2 7 3 7 ?3 ? 例 11、解:化简集合 A,由 y=x2- x+1.配方,得 y=? ?x-4? +16.∵x∈?4,2?,∴ymin=16,ymax=2. 2
? 7 ? 7 ,2?.∴A=?y? ≤y≤2 ?. 化简集合 B,由 x+m ≥1,得 x≥1-m,B={x|x≥1-m}. ∴y∈? ?16 ? ?16 ? ?

∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A?B. 例 15、证明: (充分性)

9 9 7 ∴1-m ≤ ,解得 m≥ , ∴实数 m 的取值范围是 m≥ 16 16 16

1 当 a=0 时,原方程为 2x+1=0,其根为 x=- ;当 a=1 时,原方程为(x+1)2=0,其根为 x=-1; 2 1 当 a<0 时,Δ=4(1-a)>0,原方程有两不等实根,其两根积等于 <0,因此方程的根一正一负. a 综上可知,a≤0 或 a=1 时,方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负实数根. (必要性) 若方程 ax2+2x+1 有且只有一个负实数根, a≠0 ? ?Δ=4-4a=0 则 a=0 或? 2 ? ?-a<0
2

a≠0 ? ?Δ=4-4a>0 或? 1 ? ?a<0

,因此 a=0 或 a=1 或 a<0,即 a≤0 或 a=1.

故方程 ax +2x+1=0 有且仅有一个负实数根的充要条件是 a≤0 或 a=1. 例 16、证明: 必要性:∵a+b=1,∴a+b-1=0. ∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 充分性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又 ab≠0,∴a≠0 且 b≠0, b 3 ∴a2-ab+b2=(a- )2+ b2>0,∴a+b-1=0,即 a+b=1. 2 4 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0. 例 17、证明:∵a -b =1,∴a -b -2b =(a -b )(a +b )-2b =(a +b )-2b =a -b =1. 即 a -b -2b =1 成立的充分条件是 a -b =1. 另一方面又 a -b -2b =1,即为 a -(b +2b +1)=0.a -(b +1)
4 4 2 4 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=0,(a -b -1)(a +b +1)=0,
7

2

2

2

2

又 a +b +1≠0,∴a -b -1=0,即 a -b =1. 因此 a -b =1 既是 a -b -2b =1 的充分条件,也是 a -b -2b =1 的必要条件. 例 18、证明:假设 a, b, c 中至多有一个数不小于 1,这包含下面两种情况: (1)a、b、c 三数均小于 1,即 0<a<1 , 0<b<1, 0<c<1,则 ∴
2 2 4 4 2 4 4 2

2

2

2

2

2

2

1 1 1 ? 1, ? 1, ? 1, a b c

1 1 1 ? ? >3 与已知条件矛盾; a b c 1 1 ? 1, ? 1, a b

(2)a、b、c 中有两数小于 1,设 0<a<1, 0<b<1,而 c≥1,则 ∴

1 1 1 1 ? ? >2+ >2,也与已知条件矛盾; c a b c

∴假设不成立,∴a、b、c 中至少有两个不小于 1. 例 19、证明(反证法) :假设三个方程中都没有两个相异实根, 2 2 2 则Δ 1=4b -4ac≤0,Δ 2=4c -4ab≤0,Δ 3=4a -4bc≤0. 2 2 2 2 2 2 相加有 a -2ab+b +b -2bc+c +c -2ac+a ≤0, 2 2 2 (a-b) +(b-c) +(c-a) ≤0. ① 由题意 a、b、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 实战演练 1. 解:① 是 p 或 q 形式的复合命题,p 真 q 假,根据真值表,故 p 或 q 为真,① 为真命题; ② 是真命题;否命题是“若 a≤b,则 a+c≤b+c”,根据不等式的性质,是真命题; ③ 逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”,是假命题,例如等腰梯形的对角线也相等,但不是矩形. 故选 B 2. 解:否命题是将条件,结论同时否定,∴ 若 a>0,则 a2>0”的否命题是 若 a≤0,则 a2≤0,故答案为:C 3. 解:设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},M?N,所以若“a∈M”推不出“a∈N”; 若“a∈N”,则“a∈M”,所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件,故 B. 4. 解: (1)“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题是:“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”根据倒数的定义,是真命 题; (2)的否命题是:面积不相等的三角形不全等,是真命题; (3)的逆否命题是:方程 x2﹣2x+m=0 没有实数解,则 m>1,∵ △ =4﹣4m<0?m>1,∴ ③ 是真命题; ∵ A∩ B=A,则 A?B 是真命题,∴ 它的逆否命题是真命题,故④ 是真命题.故选 D 5. 解:由“|x|=|y|”可得“x=y”或“x=﹣y”,所以 x=y?|x|=|y|,反之不成立.故选 B 6. 解:对于结论① ,由 x3<﹣8?x<﹣2?x2>4,但是 x2>4?x>2 或 x<﹣2?x3>8 或 x3<﹣8,不一定有 x3<﹣8,故① 正确;对于结论② ,当 B=90°或 C=90°时不能推出 AB2+AC2=BC2,故② 错; 2 2 2 2 对于结论③ ,由 a +b ≠0?a,b 不全为 0,反之,由 a,b 不全为 0?a +b ≠0,故③ 正确.故选 C. 7. 解:P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R}.x∈P?x∈Q.但 x∈Q 推不出 x∈P, ∴ x∈P 是 x∈Q 的充分不必要条件.故选 A 8. 解:A 中命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题是“若 x>|y|,则 x>y”,无论 y 是正数、负数、0 都成立; B 中命题的否命题是“x≤1,则 x2≤1”,当 x=﹣1 时不成立; C 中命题的否命题是“若 x≠1,则 x2+x﹣2≠0”,当 x=﹣2 时,x2+x﹣2=0,故错误; D 中逆否命题与原命题同真假,原命题假,故错误.故选 A 9. 解:对于(1)逆命题为:在△ ABC 中,若∠ C>∠ B,AB>AC”是真命题
8

对于(2)否命题为“若 ab≠0,则 a=0 或 b≠0”是真命题 对于(3)因为“若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0”是真命题,所以其逆否命题是真命题 对于(4)逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题 ,故选 D 10. 解: (1) )① 当 B 为空集时,得 m+1>2m﹣1,则 m<2 ② 当 B 不为空集时,m+1≤2m﹣1,得 m≥2 由 B?A 可得 m+1≥﹣2 且 2m﹣1≤5 得 2≤m≤3 故实数 m 的取值范围为 m≤3 (2)当 x∈Z 时,A={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5} 求 A 的非空真子集的个数,即不包括空集和集合本身,所以 A 的非空真子集个数为 28﹣2=254 (3)因为 x∈R,且 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立, 则① 若 B=?,即 m+1>2m﹣1,得 m<2 时满足条件; ② 若 B≠?,则要满足的条件是 m+1≤2m﹣1 且 m+1>5 或 m+1≤2m﹣1 且 2m﹣1<﹣2, 解得 m>4.综上,有 m<2 或 m>4.

9


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