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江西省赣州三中、于都中学2012届高三联合考试 数学理


让学习变得简单

2012 江西省

赣州三中 于都中学

高三联合考试

数学试卷(理科)
主命题:赣州三中 卷面满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i

是虚数单位,使 (1 ? i)n 为实数的最小正整数 n 为( A. 2 B. 4 C. 6 ) D. 8 ) D. 13

? ? ? ? 2. 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 a ? 3b ? (
A.

13

B.

10

C. 4

3.某校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩 ? ~ N (90, a2 ) , a ? 0 ,试 ( 卷满分 150 分) 统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分这间的人数约为总人数的 ,

3 ,则此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( 5
A.200 B.300 C.400 4.已知集合A ? ?x x ? a ? 0?, 若1 ? A ,则实数 a 取值范围为( ? ? ? x?a ? A (

) D.600 )

(??,?1) ? [1,??)


B

[-1,1]

C

(??,?1] ? [1,??)

D (-1,1]

5.已知点 M,N 是曲线 y ? sin ?x 与曲线 y ? cos ?x 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为

A.1

B. 2

C. 3

D.2

6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

①正方形 A.①② D.②④

②圆锥 B.①③

③三棱台

④正四棱锥 C.①④

7. 已知函数 f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中 a>0,且 a≠1),在同一坐标系中画出其 中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是( )

8.某人进行驾驶理论测试,每做完一道题,计算机会自动显示已做题的正确率 f ( n) ,则下列

1

让学习变得简单 关系中不可能成立的是( ) A. f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (8) C. f (4) ? 2 f (8)
2 2

B. f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) D. f (6) ? f (7) ? f (8) )

9.若直线 l 被圆 x ? y ? 4 所截得的弦长为 2 3 ,则直线 l 与下列曲线一定有公共点的是( A. y 2 ? x B. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 C.

x ? y2 ? 1 3

2

D.

x ? y2 ? 1 2

2

10.已知定义域为区间 ? a,b? 的函数 f ( x ) ,其图像是一条连续不断地曲线,且满足下列条 件:① f ( x ) 的值域为 G ,且 G ? ? a b? ;②对任意不同的 x 、 y ?? a,b? ,都有 ,

f ( x) ? f ( y) ? x? y,那么函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在区间[ a , b ]上
A.没有零点 C.恰有两个不同的零点 B. 有且只有一个零点 D.有无数个不同的零点

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.

?

2 0

(2 ? 1 ? x )dx ?

. ;

12.由下面的流程图输出的 s 为

13.公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51,则 n ? d 的最小值等 于 . C P B A

14、如右图,放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点

P ? x, y? 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的 图像与 x 轴所围区域的面积为 。

三、选做题:考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的 得分 15. (1)不等式 2 x ? x ? 1 ? 2 的解集是______________

π? ? ? (2)在极坐标系中,过点 ?2 2 , ? 作圆 ? ? 4 sin 的切线,则切线的极坐标方程 4? ?
为 .

四、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x cos x, g ( x) ? cos ( x ?

?
12

).

2

让学习变得简单 (1)设 x ? x0 是函数 y ? f (x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (2)求使函数 h( x ) ? f ( 值.

?x
2

) ? g(

?x
2

) (? ? 0) 在区间 [?

2? ? , ] 上是增函数的 ? 的最大 3 3

17. (本小题满分 12 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 即 在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量 为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数 据中随机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位 为茎,个位为叶) (I)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求 恰有一天空气质量达到一级的概率; (II)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列; (III) 以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况, 则一年 (按 360 天计算) 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

18. (本小题满分 12 分)

数列 ?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 .数列 ?bn ?满足 bn ? an?1 ? (?1)n an , n ? N ? . (1)若数列 ?an ?是等差数列,求数列 ?bn ?的前 6 项和 S6 ;
3

让学习变得简单 (2)若数列 ?bn ?是公差为 2 的等差数列,求数列 ?an ?的通项公式;

19. (本小题满分 12 分) 如图,一棱长为 2 的正四面体 O—ABC 的顶点 O 在平面α 内,底面 ABC 平行于平面α , 平面 OBC 与平面α 的交线为 l . (1)当平面 OBC 绕 l 顺时针旋转与平面α 第一次重合时,求平面 OBC 转过角的正弦值。 (2)在上述旋转过程中, ?OBC 在平面α 上的投影为等腰 ?OB1C1 (如图) 1C1 的中点 ,B 为 O1。当 AO ? 平面α 时,问在线段 AO 上是否存在一点 P,使 O1P ? 平面 OBC?请 说明理由。

20. (本小题满分 13 分) 已知 F1、F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,其左准线与 x 轴相交于 a2 b2

点 N,并且满足 F1 F2 ? 2NF1 , | F1 F2 |? 2 .设 A、B 是上半椭圆上满足 NA ? ? NB 的 两点,其中 ? ? [ ? ] . (I)求此椭圆的方程及直线 AB 的斜率的取值范围; (II)过 A、B 两点分别作此椭圆的切线,两切线相交于一点 P, 求证:点 P 在一条定直线上,并求点 P 的纵坐标的取值范围.

1 1 5 3

y

O

x

4

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21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ln(1 ? e x ) ? mx( x ? R ) . (Ⅰ)已知对于给定区间 (a, b) ,存在 x0 ? (a, b) 使得

f (b) ? f (a ) ? f ?( x0 ) 成立,求证: b?a

x0 唯一;
(Ⅱ)若 x1 , x2 ? R,x1 ? x2 ,当 m ? 1 时,比较 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 大小,并说明 )和 2 2

理由; x (Ⅲ)设 A、B、C 是函数 f ( x) ? ln(1 ? e ) ? mx( x ? R, m ? 1) 图象上三个不同的点, 求证:△ABC 是钝角三角形.

2012 江西省

赣州三中 于都中学 高三联合考试数学

参考答案(理科)
一.选择题

BBABC
二.填空题 11. 3 12. 256 15.(1) ? ? 1 ,1? ? ? ? 3 ?

DBDCB
13. 16 (2) 14.

? ?1

? cos? ? 2

5

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三.解答题 16. 解: (1)由题设知 f ( x) ? 1 ? 轴 ,

1 sin 2 x,因为 x ? x0 是函数 y ? f (x) 图象的一条对称 2
所 以

2 x0 ? k? ?

?
2

, (k ? Z ) ---------------------------------------------2 分

1 ? 1 2 g ( x0 ) ? [1 ? cos( 2 x0 ? )] ? [1 ? cos( k? ? ? )] 2 6 2 3 1 2 1 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? (1 ? cos ? ) ? ; 2 3 4 1 ? 3 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? (1 ? cos ) ? ------------------------------6 分 2 3 4 1 1 ? (2)因为 h( x) ? (1 ? sin ?x) ? [1 ? cos( ?x ? )] 2 2 6

?

1 3 1 3 1 ? 3 (sin ?x ? cos?x ? sin ?x) ? ? sin(?x ? ) ? -------------8 分 2 2 2 2 2 3 2

2? ? ? 2?? ? ?? ? , ] 时, ?x ? ? [? ? , ? ], 3 3 3 3 3 3 3 2? ? , ] 上是增函数,且 ? ? 0, 因为 h( x)在[? 3 3 2?? ? ?? ? ? ? ? , ? ] ? [? , ], 所以 [? 3 3 3 3 2 2
当 x ? [?

? ? 2?? ? ?? 3 ? 3 ? ? 2 1 ? ,解得? ? 即? 2 ??? ? ? ? ? ? 3 3 2 ?

所以 ? 的最大值为

1 -------------12 分 2

17. 解: (Ⅰ)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达 到一级”为事件 A ,…………1 分
1 2 C5 ? C10 45 ? . 3 C15 91

P( A) ?

……………………………………4 分

(Ⅱ)依据条件,? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 ,? 的可能值为 0,1, 2,3 , 其分布列为: P ?? ? k ? ?
k 3 C5 C10?k ? k ? 0,1,2,3? .…………6 分 3 C15

?

0

1

2

3

6

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P

24 91

45 91

20 91

2 91

……………………8 分

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ?

10 2 ? , 15 3

一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (360, ) .…………10 分

2 3

? E? ? 360 ?
18.

2 ? 240 ,?一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级.…… 12 分 3

19.

7

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20. 解: (I)由于 F1 F2 ? 2NF1 , F1 F2 ? 2,

?2c ?| F1 F2 |? 2 ? 2 ?a ? ? ? 1 ?| NF1 |? 1, ?c 2 2 2 ?a ? b ? c ?
从而所求椭圆的方程是

?a 2 ? 2 解得? 2 ?b ? 1

x2 ? y 2 ? 1 …………………………………………3 分 2

? NA ? ? NB,?A, B, N三点共线, 而点N的坐标为(?2,0)
设直线 AB 的方程 y ? k ( x ? 2) ,其中 k 为直线 AB 的斜率,依条件知 k>0. 由 ? x2 ?
? y ? k ( x ? 2) 1 2k 2 ? 1 2 4 消去x得, ( y ? 2) 2 ? 2 y 2 ? 2, 即 y ? y?2?0 2 k k k2 ? 2 ? y ?1 ?

8

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4 2k 2 ? 1 2 根据条件可知 ? ? ( ) 2 ? 8 ? …………………5 分 ? 0, 解得0 ? k ? 2 k 2 k
设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则根据韦达定理, 得y1 ? y 2 ?
4k 2k ? 1
2

;

y1 y 2 ?

2k 2 2k 2 ? 1

又由 NA ? ? NB, 得( x1 ? 2, y1 ) ? ? ( x2 ? 2, y2 )
4k ? ?(1 ? ? ) y 2 ? 2k 2 ? 1 ? 从而? 2 2 ??y 2 ? 2k ? 2k 2 ? 1 ?
(1 ? ? ) 2

?x ? 2 ? ? ( x2 ? 2) ?? 1 , ? y1 ? ?y 2

消去 y 2 得

?

?

8 2k ? 1
2

2 2 令 ? (? ) ? (1 ? ? ) , ? ? [ 1 , 1 ],则? ?(? ) ? (? ? 1 ? 2)? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 2 ? 5 3 ? ? ?2

由于 1 ? ? ? 1 , 所以? ?(? ) ? 0 . ? ? (? )在区间[
5 3

1 1 , ] 上是减函数. 5 3

从而

? ( ) ? ? (? ) ? ? ( ), 即
而0 ? k ?

1 3

1 5

16 36 16 8 36 2 1 ? ? (? ) ? ,? ? ? , 解得 ?| k |? , 3 5 3 6 2 2k 2 ? 1 5

2 2 1 2 1 因此直线 AB 的斜率的取值范围是 [ ,? ?k? , , ] ………7 分 2 6 2 6 2

(II)上半椭圆的方程为 y ? 1 ? 求导可得 y ? ?

1 2 1 1 2 x , 且 y1 ? 1 ? x12 , y 2 ? 1 ? x2 , 2 2 2
. 所以两条切线的斜率分别为

?x 1 2 1? x2 2
1 2 x1 2 ??

k pA ? ?

x1 2 1?

x1 , k PB ? ? 2 y1

x2 2 1? 1 2 x2 2

??

x 2 ………………9 分 2 y2

切线 PA 的方程是 y ? y1 ? ? 从而切线 PA 的方程为 y ? ?

x1 x x x 2 ? 2 y12 ( x ? x1 ), 即y ? ? 1 ? 1 , 又x12 ? 2 y12 ? 2 2 y1 2 y1 2 y1
x1 x 1 ? , 2 y1 y1
2 y2 y2

同理可得切线 PB 的方程为 y ? ? x2 x ? 1 …11 分
x1 x 1 2( y 2 ? y1 ) ? ? ?y ? ? 2y ? y ? x0 ? ? x y ? x y ? 1 1 2 1 1 2 由? 可解得点P的坐标( x0 , y0 )满足? ? x2 x x2 ? x1 1 ?y ? ? ? y0 ? ? ? ? ? 2 y2 y2 x2 y1 ? x1 y 2 ? ?

x ? 2 x2 ? 2 ? x ? 2 ? ? ( x2 ? 2) 再由 ? 1 ,得 1 ? ? x2 y1 ? x1 y 2 ? 2( y 2 ? y1 ) y1 ? ?y 2 y1 y2 ?

9

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2( y 2 ? y1 ) ? ? x0 ? ? 2( y ? y ) ? ?1 ? 2 1 ……………………………………………………12 分 ?? x 2 ? x1 1 ?y ? ? ? 0 2( y 2 ? y1 ) 2k AB ?
又由(I)知
2 1 1 3 2 ? k AB ? ? 2 ? ? 3 2 ,?1 ? y0 ? 6 2 k AB 2
2

因此点 P 在定直线 x ? ?1 上, 并且点 P 的纵坐标的取值范围是 [1, 3 2 ] …………13 分

? ? 21.解: (Ⅰ)证明:假设存在 x 0 , x 0 ? (a, b),且x 0 ? x 0,使得
f (b) ? f (a ) f (b) ? f (a ) ? ? f ?( x0 ) , ? f ?( x' 0 ) ,即 f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) . b?a b?a
∵ f ?( x) ? 1分

ex ex ? 0, f ?( x)是[a, b] 上的 ? m,记g ( x) ? f ?( x) ,∴ g ?( x) ? (1 ? e x ) 2 1? ex

单调增函数(或者通过复合函数单调性说明 f ' ( x) 的单调性). ······ 3 分

? ? ∴ x 0 ? x 0,这与x 0 ? x 0 矛盾,即 x 0 是唯一的. ············· 4 分
(Ⅱ) f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? , 原因如下: 2 2

(法一)设 x1 , x 2 ? R,且x1 ? x 2 , 则
x1 ? x2 x1 ? x2 x ?x x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( ) ? ln(1 ? e ) ? ln(1 ? e ) ? x1 ? x2 ? 2[ln(1 ? e 2 ) ? 1 2 ] 2 2

? ln(1 ? e x1 )(1 ? e x2 ) ? ln(1 ? e

x1 ? x2 2

)2 ? e x1 ? x2 ) . ············ 6 分
x1 ? x2 2

? ln(1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e
∵e
x1

x1 ? x2 2

? 0, e x2 ? 0,且x1 ? x 2 ,? e x1 ? e x2 ? 2 e x1 e x2 ? 2e
x1

. ····· 7 分

∴1+ e

? e x1 ? e x1 ? x2 ? 1 ? 2e

x1 ? x2 2

? e x1 ? x2 ,

10

让学习变得简单
x1 ? x2 2

? ln(1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e ? ln(1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (
(法二)设 F ( x) ? f (

? e x1 ? x2 ), ? e x1 ? x2 ) ? 0.
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ····· 9 分 )? 2 2

x1 ? x2 2

x1 ? x2 ), 2

?f(

x ? x2 f ( x) ? f ( x 2 ) x ? x2 1 f ' ( x) )? )? ,则 F ' ( x) ? f ' ( . 2 2 2 2 2

由(Ⅰ)知 f ' ( x) 单调增. 所以当 x ? x 2 即

x ? x2 x ? x2 1 f ' ( x) ? x 时,有 F ' ( x) ? f ' ( )? ?0 2 2 2 2

所以 x ? x 2 时, F (x) 单调减. ··················· 6 分 当 x ? x2 即

x ? x2 x ? x2 1 f ' ( x) ? x 时,有 F ' ( x) ? f ' ( )? ?0 2 2 2 2

所以 x ? x 2 时, F (x) 单调增. ··················· 7 分 所以 F ( x) ? F ( x 2 ) ? 0 ,所以 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ······ 9 分 )? 2 2

(Ⅲ)证明:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ),且x1 ? x 2 ? x3 ,因为 m ? 1 ∵ f ?( x) ?

ex 1 ? m ? 1? m ? x ? 0, f ( x)是x ? R 上的单调减函数. 10 分 ? x 1? e e ?1

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) . BA ? ( x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 )), BC ? ( x3 ? x 2 , f ( x3 ) ? f ( x 2 )), ∵ ∴ BA ? BC ? ( x1 ? x 2 )( x3 ? x 2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x 2 ))( f ( x3 ) ? f ( x 2 )) . ···· 12 分 ∵ x1 ? x 2 ? 0, x3 ? x 2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x 2 ) ? 0, ∴ BA ? BC ? 0,? cos B ? 0, ?B 为钝角. 故△ ABC 为钝角三角形. ···· 14 分

11


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