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【高考精品复习】第九篇 解析几何 方法技巧1 直线与圆的位置关系


方法技巧 1 置关系是一个主要命题方向. 方法 1:代数法 直线与圆的位置关系 【考情快递】 直线与圆的问题以直线与圆的交汇问题为主,其中直线与圆的位 ①通过消元得到关于 x 的一元二次方程;②根据方程的个数对 解题步骤 各个选项进行讨论. 能转化为直线与圆的方程组的问题. 适用情况 【例 1】?(2012· 北京四中月考)已知圆 M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线 l:y =kx,下面四个命题中的真命题为( ). A.对任意实数 k 与 θ,直线 l 和圆 M 相切 B.对任意实数 k 与 θ,直线 l 和圆 M 都没有公共点 C.对任意实数 θ,必存在实数 k,使得直线 l 和圆 M 相切 D.对任意实数 k,必存在实数 θ,使得直线 l 和圆 M 相切 解析 圆的方程是 x2+y2+2xcos θ-2ysin θ=0, 将 y=kx 代入,得(1+k2)x2+2(cos θ-ksin θ)x=0, 2?ksin θ-cos θ? 解得 x1=0,x2= ,因此对任意实数 k,θ, 1+k2 直线与圆至少有一个公共点(0,0),选项 B 不正确; 只要 x2≠0,直线与圆就存在两个公共点, 即只要 ksin θ-cos θ≠0 即可, 根据 k,θ 的任意性,知选项 A 不正确; 又当 x2=0,即 ksin θ=cos θ 时,若 θ=k1π(k1∈Z), 此时 sin θ=0,cos θ=± 1,就不存在实数 k 使得等式 cos θ=ksin θ 成立,故选项 C 不正确, π 反之,对任意实数 k,当 k=0 时,只要 θ=kπ+2, 1 当 k≠0 时,只要 θ 满足 tan θ=k即可, 根据正切函数性质 这是容易办到的,故选项 D 正确.故选 D. 答案 D 方法 2:几何法 ① 求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小; 解题步骤 ②判断二者的大小,大于半径相离;等于半径相切;小于半径相 交. 适用情况 通过圆的几何性质能求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小. 【例 2】 ?已知直线 l: mx-(m2+1)y=4m(m∈R)和圆 C: 2+y2-8x+4y+16=0, x 1 是否存在实数 m,使得直线 l 将圆 C 分割成弧长的比值为2的两段圆弧,若存在, 求出 m 的值;若不存在,说明理由. 解 直线 l 的方程可化为 y= 此时 l 的斜率 k= 所以|k|= m 4m x- , m2+1 m2+1 m 1 ,因为|m|≤2(m2+1), m +1 2 |m| 1 ≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立, |m2+1| 2 ? 1 1? 所以斜率 k 的取值范围是?-2,2?. ? ? m 又 y= 2 (x-4),即 l 的方程为 y=k(x-4), m +1 1 其中|k|≤2,圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2; 圆心 C 到直线 l 的距离 d= 2 , 1+k2 1 4 r 由|k|≤2,得 d≥ >1,即 d>2, 5 从而 l 与圆 C 相交, 2π 且直线 l 截圆 C 所得的弦所对的圆心角小于 3 , 1 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为2的两段弧. 方法运用训练 1 1.(江苏启东中学最新月考)将直线 2x-y+λ=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得 直线与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数 λ 的值为( A.-3 或 7 C.0 或 10 解析 设切点为 C(x,y), 则切点满足 2(x+1)-y+λ=0,即 y

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