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高中数学(人教A版) 必修四 2.3.2等比数列性质及简单应用


复习:等比数列概念
一、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与

它的 前一项的比等于同一个常数(指与n无关的 数),这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比 数列的公比,公比通常用字母q表示.

an ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0) an ?1

二、等比数列

?an ?的通项公式为
n?1

an ? a1 ? q ,它的图象又是怎样?
b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.

三、如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,

G ? ? ab

{ n}是公差为d的等差数列

a

{bn}是公比为q的等比数 列 猜想1: 猜想2:

性质1: an=am+(n-m)d 性质2:若an-k,an,an+k是{an}中的三 项, 则2an=an-k+an+k 性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

猜想3:

性质4:从原数列中取出偶数项组成的 猜想4: 新数列公差为2d.(可推广) 性质5: 若{cn}是公差为d′的等差数列, 猜想5: 则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数 列。

由等差数列的性质,猜想等比数列的性质 {an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 性质1: an=am+(n-m)d 猜想1:b ? b q m?n m n 性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 则2an=an+k+ an-k(P39) 性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 猜想2: 若bn-k,bn,bn+k 是{bn}中的三项(P53) 则 b ? bn?k ? bn?k
2 n

猜想3:若n+m=p+q

则bn· bm=bp· bq

由等差数列的性质,猜想等比数列的性质

性质4:从原数列中取 猜想4:从原数列中 出偶数项组成的新数列 取出偶数项,组成的 2 公差为2d. 新数列公比为 q . (可推广) (可推广)

性质5: 若{cn}是公差为 d′的等差数列,则数 列{an+cn}是公差为 d+d′的等差数列.

猜想5:若{dn}是公比 为q′的等比数列,则数 列{bn?dn}是公比为 q· q′的等比数列.(例题4)

若数列{an}是公比为q的等比数列,则

(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列.
(2)an≠0,且anan+2>0. (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.

(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的 两项的积都相等,且等于首末两项的积.

(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比 为q的等比数列.
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列 {an? bn }是公比为qq′的等比数列.

1 1 (8)数列 { } 是公比为 an q

的等比数列.

(9)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列 时, am , an , a p 成等比数列.

例 2 在等比数列 ?an ?,已知 a1

a9 a10 ? 100 ? 5,

求 a18 .

解:∵ ∴

a1a18 ? a9 a10

a9 a10 a18 ? a1
100 ? 5 ? 20

3、在等比数列 ?bn ?中,b4 ? 3,求该数列前七项之积
解: ?b1b2b3b4b5b6b7 ? ?b1b7 ??b2b6 ??b3b5 ?b4

b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5
∴前七项之积

2

?3 ? ? 3 ? 3
2 3

7

? 2187

例4:

(1)在等比数列?a n ? 中,a n ? 0,若a5 a7 ? 2a6 a8 ? a7 a9 ? 49

则a6 ? a8 ?

7

(2)在正项等比数列中,a1, a99是方程x 2 ? 10x ? 16 ? 0

?的两个根,则a40 a50 a60 ?

64

解题技巧的类比应用: 三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积 等于64,求这三个数.
? 分析:若三个数成等差数列,则设这三个数 为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得, 若三个数成等比数列,则设这三个数 a 为:, a,aq. 再由方程组可得:q=2 q

1 或 即这三个数为2,4,8或8,4,2. 2

练习:

? ⒊在等比数列{an}中,
270 或-270 ? 则a60 =__________.

a15 =10, a45=90,

? ⒋在等比数列 {an} 中, a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .

补充:三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二 个数减去4,则又成等比数列,求原来三个数.

解:设原来的三个数是 :a, aq, aq 2 ① 2aq ? a ? (aq ? 32) 则必有 ② (aq ? 4) 2 ? a(aq2 ? 32)
由①得:

2

代入②得: a ? 2 , q ? 5 或
5 a? 9

4a ? 2 q? a

38 ,q ? 5

5 38 1444 , , 故原来的三个数是:2,10,50. 或 9 45 9

Sn 是它的前 n 项和,并且 练习:已知数列 ?an ?中,
a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2.

1 2

设 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列; 设 cn ?
an , n 2

求证数列 ?cn ? 是等差数列. ∴ a1 ? a 2 ? S 2 ? 4 a1 ? 1 ? a 2 ? 5 , ∵b
? an?1 ? 2an
b1 ? a2 ? 2a1 ? 3

证:1? ∵ ∵S 即: a

a1 ? 1

n ?1

? 4an ? 2 , Sn?2 ? 4an?1 ? 2

,两式相减得: an?2 ? 4an?1 ? an
n

n?2

? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an )

∴ bn?1 ? 2bn

即 ?bn ? 是公比为2的等比数列 2? ∵
an cn ? n 2

bn ? 3 ? 2n?1


n?1

c n ?1 ? cn ?

a n ?1 a n a n ?1 ? 2a n bn ? ? ? 2 n ?1 2 n 2 n ?1 2 n ?1

将bn ? 3 ? 2

代入得:cn?1 ? cn ?

3 4

∴ ?cn ? 成等差数列


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