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等比数列性质学习教材PPT课件


复习旧知 等差数列 一般地,如果一个数列 从第二项起,每一项减 定义 去它的前一项所得的差 都等于同一个常数,那 么这个数列叫做等差数 列 等比数列 一般地,如果一个数列 从第二项起,每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列 符号 an?1 ? an ? d ?n ? N? ? 语言 通项 公式 an?1 ? q?n ? N ? , q ? 0? an an ? a1 ? ?n ?1?d an ? a1q n ?1 例 1.在等比数列?an ?中已知 , a3 ? 20, a6 ? 160, 求an . 解:设等比数列的公比为q,那么 ? a1q 2 ? 20 ① ? 5 ?a1q ? 160 ② ? q =2 解得 ? ? a1 ? 5 所以an ? a1q n?1 ? 5? 2 . n?1 思考:能否不求出首项a1 , 而将an求出? 证明: 设等比数列?an ? 的首项为a1 , 公比为q, 则有an ? a1q n ?1 , am ? a1q m ?1 an n?m n?m 从而 ? q , 即a n ? a m q . am n?m 性质1:设an , am为等比数列?an ? 中任意两项, 且公比为q,则an ? am q . 注:在已知等比数列中任意两项的 前提下,可以使用此性质求出等比 数列中的任意一项 设数列?an ?为等差数列,且 m, n, p, q ? N ?, 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq . 若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p . 思考:等比数列有没有同样的性质? 例2.在等比数列?an ?中,a2 a8 ? a3a7是否成立? a5 ? a1a9是否成立? 2 思考:你能得到更一般的结论吗? 证明: ?an ?首项为a1 ,公比为q 设等比数列 则an ? a1q , am ? a1q , n ?1 m?1 从而an am ? a1 q 2 m? n ?2 2 s ?t ?2 同理可得 as at ? a1 q 又因为m ? n ? s ? t 所以am an ? as at . 性质2:设数列?an ?为等比数列,且m, n, s, t ? N ?, 若m ? n ? s ? t , 则am an ? as at . 若m ? n ? 2s, 则am an ? as . 2 例3.已知等比数列?an ?的首项为a1 , 公比为q,依次取出数列?an ? 中所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗? 变式1:如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 , 该数列是否还是等比数列? 构成一个新数列, 思考:你能得到更一般的结论吗? 性质3:在等比数列中,序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。 练习:已知等比数列?an ? ?1? 若an>0,a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25, 求a3 ? a5的值。 ? 2? a6 ? 6, a9 ? 9, 求a3的值. ?3? an>0, a1a100 ? 100, 求lg a1 ? lg a2 ? ? lg a100的值。 活用性质,数列性质与其项数(下标)密切相关 课堂小结: 性质1:设an , am为等比数列?an ? 中任意两项, 性质2:设数列?an ?为等比数列,且m, n, s, t ? N ?, 且公比为q,则an ? am q

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