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不等式的应用(学案)


高三数学第一轮复习讲义
不等式的应用

一.复习目标:
1.不等式的运用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中,体现了不 等式内容的重要性、思想方法的独特性,要熟悉这方面问题的类型和思考方法; 2.应用题中有一类是寻找最优化结果,通常是把问题转化为不等式模型,再求出极值.

二.知识要点:
1.利用均值不等式求最值: 常用公式: a ? b ? 2ab ,
2 2

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ,你知道这些公式的使用 ? 2 2

条件吗?等号成立的条件呢?使用

a?b ? ab 求最值时要满足“一正、二定、三相等” . 2

2.关于有关函数、不等式的实际应用问题: 这些问题大致分为两类:一是建立不等式解不等式;二是建立目标函数求最大、最小值.

三.课前预习:
1.数列 {an } 的通项公式是 an ?

( A) 第 9 项 ( A) 2

n ,数列 {an } 中最大的项是 ( ) n ? 90 ( B ) 第 10 项 (C ) 第 8 项和第 9 项 ( D) 第 9 项和第 10 项
2

2.已知 x, y, z ? R? ,且满足 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值为(

) )

(B) 3
2 2 2 2

(C ) 4

( D) 1

3.若实数 m, n, x, y 满足 m ? n ? a, x ? y ? b (a ? b) ,则 mx ? ny 的最大值是(

a?b ab a 2 ? b2 ( B ) ab (C ) ( D) 2 a?b 2 2 2 4.设 a, b, c ? R , ab ? 2 且 c ? a ? b 恒成立,则 c 的最大值为 . 1 1 5.若 lg x ? lg y ? 2 ,则 ? 的最小值是 . x y 6.若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 . 四.例题分析: 例 1. (1)若 a , b 是正实数,且 a ? b ? 3 ,求 1 ? a ? 1 ? b 的最大值;

( A)

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(2)若 a 是正实数,且 2a ? 3b ? 10 ,求 a 2 ? b2 的最大值及相应的实数 a , b 的值.
2 2

例 2.商店经销某商品,年销售量为 D 件,每件商品库存费用为 I 元,每批进货量为 Q 件, 每次进货所需的费用为 S 元,现假定商店在卖完该货物时立即进货,使库存存量平均为 0.5Q ,问每批进货量 Q 为多大时,整个费用最省?

小结: 例 3.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,数列 {an } 是首项为 a ,公比也为 a 的等比数列,令 bn ? an lg an 问是否存在实数 a , 对任意正整数 n , 数列 {bn } 中的每一项总小于它后面的项? (n ? N * ) , 证明你的结论.

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小结:

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五.课后作业: 班级 学号 姓名 2 2 1.设 x, y ? R , x ? y ? 1, m ? (1 ? xy)(1 ? xy) ,则 m 的取值范围是 ( 1 3 3 ( A) [ ,1] ( B ) (0,1] (C ) [ ,1] ( D) [ , 2] 4 2 4
2.设 a ? b ? c ? 0 , x ?



a 2 ? (b ? c ) 2 , y ? b 2 ? (a ? c)2 , z ? c 2 ? (a ? b) 2 , 则


xy, yz , zx , 2x, 2y, 2中 z 最小的是 ( A) xy ( B ) yz
( A) 有最大值 2,最小值 2(2 ? 2)
2 2

C

) )

(C ) x

2

( D) z

2

3.若设 x, y ? R ? ,且 x2 ? y 2 ? 4 , S ? x ? y ? 4( x ? y) ? 10 ,那么 S 的最值情况为( A

( B ) 有最大值 2,最小值 0

( D) 最值不存在 ( x ? a)( x ? b) ? 4. 已知 a , b 是大于 0 的常数, 则当 x ? R 时, 函数 f ( x) ? 的最小值为 x 5.周长为 2 ? 1 的直角三角形面积的最大值为 .
1 以下. (lg 3 ? 0.477) 3

(C ) 有最大值 10,最小值 2(2 ? 2)



6.光线每通过一块玻璃板,其强度要减少 10%,把几块这样的玻璃板重叠起来,能使通 过它们的光线强度在原强度的

7. k 为何实数时,方程 x ? kx ? k ? 2 ? 0 的两根都大于
2

1 . 2

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8.某种汽车,购买是费用为 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费 9 千元,汽车的 维修费第一年为 2 千元, 第二年为 4 前元, 第三年为 6 千元??, 依等差数列逐年递增. 问: 这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年时年平均费用最少)?

9. 设二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c ( b, c ? R ) , 已知不论 ? , ? 为何实数, 恒有 f (sin ? ) ? 0 , 且 f (2 ? cos ? ) ? 0 , (1)求证: b ? c ? ?1 ; (2)求证: c ? 3 ; (3)若函数 f (sin ? ) 的最 大值为 8,求 b, c 的值.

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