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4.3.1空间直角坐标系


问题引入
1.数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢? 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示;
O M x

x

2.直角坐标平面上的点M,怎样表示呢? 直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y) 表示. y

y O

A(x,y)

x

x

问题引入

数轴上的点
B
A

-2

-1

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

问题引入
y

平面坐标系中的点

y

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

讲授新课
1、空间直角坐标系的建立
?在空间取定一点O

z

(原点)

1

?从O出发引三条两两垂直的直线

?
1

O

(坐标轴)
?选定某个长度作为单位长度 x

1

y

作图:一般的 使 ?xOy ? 135?,
?yOz ? 90?

二、讲授新课
O为坐标原点

z

D'

x轴,y轴,z轴叫 坐标轴

A' O A

B'

C'

y C B

通过每两个坐标轴的 平面叫 坐标平面, x

yOz 平面、 xOz 平面。 分别为 xOy平面、
Z

右手系
X

Y

2、空间直角坐标系的划分
3

z

yz 面
4

zx 面
2

xy 面
7 8

?

O

y
6 5

1

x

空间直角坐标系共有八个卦限

3、空间中点的坐标
对于空间任意一点M,要求它的坐标

方法一:过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴,平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R,在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z,那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z),三个数值

z 坐标、纵坐标、竖坐标。 叫做 P点的横
z

?
1

R

?M
1

x? x P

1

? o

?Q

y

y

3、空间中点的坐标

方法二:过P点作xOy面的垂线,垂足为 P 点。 0 点P 0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、

纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P1在z轴上的坐标z 就是P点的竖坐标。 z
z P1 p

1

?
1

P点坐标为 (x,y,z)
y Y

x

x X

1

? o

y

?P

0

4、空间中点的坐标 x称为点P的横坐标 y称为点P的纵坐标 z称为点P的竖坐标
反之:(x,y,z)对应唯一的点P

z
z

Pz
P

Py
O
x y y

?? 有序数组 空间的点P ??

1? ?1

x

Px

( x, y, z )

DP=2 CP=4
P(2,4,0)
O C x

z

D

y

P

DP′=2 CP′=4 P′P=5
P(2,4,5)
C
x O

z
P

D
P′

y

PD=2 ′ PC=4 P′P= - 5 P(2,4,-5)
x C



z

O P′
p

D

y

例2、如图,在长方体 OABC ? D?A? B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2,写出D?,C,A? ,B?四点的坐标。 z
2 D'

C'

A' B'

?

4

y

o
3

C

x A (3, 0, 0)
D ' (0, 0, 2)
C (0, 4, 0)

B A' (3, 0, 2) B ' (3, 4, 2)

三、空间中点的射影点与对称点坐标
z

1.点P(x , y , z) 在下列坐 标平面中的射影点为: (1)在xoy平面射影点为 (x,y,0) P1__________; (2)在xoz平面射影点为 (x,0,z) P2__________; (3)在yoz平面射影点为 (0,y,z) P3__________; ;

P3

P2

P(x,y,z)

O P1

y

x

关于坐标平面对称

2点P(x , y , z) 关于: (x,y,-z) (1)xoy平面对称的点P1为__________; (-x,y,z) (2)yoz平面对称的点P2为__________; (x, -y, z) (3)xoz平面对称的点P3为__________;
z
P(x,y,z)

关于谁对称谁不变

O x P1

y

3.点P(x , y , z) 关于: ( x, ? y, ? z ) (1)x轴对称的点P1为__________; (? x, y, ? z ) (2)y轴对称的点P2为__________; (? x, ? y, z ) (3)z轴对称的点P3为__________;
关于谁对称谁不变
z
P(x,y,z)

对称点

O
x y

在空间坐标系中画出空间中的点
z
B A
-1 2

A(0,-1,2) B(1,2,3)

2 1

O

y

x

z

一、坐标平面内的点

?
F

C

?
x

1
O

?
1

E

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0

?

?
D

B
y

xoz平面上的点纵坐标为0

? A1

?

二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

空间两点中点坐标公式

设点A(x1,y1,z1),点 B(x2, y2,z2),则线段AB的中点M的坐 标如何?

x 1 + x 2 y1 + y 2 z1 + z 2 M( , , ) 2 2 2

4.3.2 空间两点间的距离公式

两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

空间两点间的距离公式 (1) 在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)到原点的距离:
z

| OP |?

x ? y ?z
2 2

2

P(x,y,z)
O
y

P`(x,y,0)
x

(1) 在空间直角坐标系中,任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离:
| P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2 2

z

P1(x1,y1,z1)
O

P2(x2,y2,z2) H

M

y

N

x

练习

课本P138 练习1

1、在空间直角坐标系中标出求A、B两点,并 求出它们之间的距离: (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2) A(6,0,1) B(3,5,7)
解 : 由 两 点 间 距 离 公有 式: (1) | AB |? ( 2 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? (5 ? 4) ? 6
2 2 2

( 2) | AB |? (6 ? 3) ? (0 ? 5) ? (1 ? 7) ? 70
2 2 2

课本P138 练习2
2、在Z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.

解:设 M点 的 坐 标 为 (0,0, a ) 由 题 意 可 知 |: MA |?| MB | 即 :(0 ? 1) ? (0 ? 0) ? (a ? 2)
2 2 2

? (0 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (a ? 1) 2 解得: a ? ?3 ? M点 的 坐 标 为 (0,0,?3)

例3

设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为

到点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍,求点 P 的坐标 .

解 因为 P 在x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,
2 2 ? ? PP2 ? x ? ? 1 ? 1 ? 2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

练习

课本P138 练习4

3、如图,正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a, |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC`|,求MN的长.
z D` A` C` B` M

O
A x

C

N
B

y

例 2 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 .

解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,

2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ?
2

2

(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
原结论成立.

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,


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