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北师大数学选修2-2第5.1.2节复数的有关概念


1.2 复数的有关概念
【课标要求】

1.理解复数相等的充要条件.
2.理解复数的模等有关概念. 3.了解复数的几何意义. 【核心扫描】 1.对复数相等的充要条件的应用.(重点)

2.用复平面内的点表示复数和复数模的定义.(重点、难点)
3.数形结合思想的应用.

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自学导引
1.复数相等的充要条件

两个复数a+bi与c+di相等.当且仅当它们的 实部
且仅当 a=c ,且 b=d 2.复平面的定义



虚部 分别相等时,记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di当
.

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫

做 实轴 ,y轴叫做 虚轴
除了 原点

,实轴上的点都表示实数;

外,虚轴上的点都表示纯虚数.
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3.复数的几何意义
在复平面内, 复数 z=a+bi(a, b∈R)与点 Z(a,b) 量OZ一一对应. 和向



4.复数的模
设复数 z=a+bi 在复平面内对应的点是 Z(a,b),点 Z 到 原点的距离|OZ |叫做 复数的模 显然|z|= a2+b2. 或 绝对值 ,记作|z|,

:复数与向量一一对应的前提条件是什么?

提示 向量的起点为坐标原点.
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名师点睛
1.复数为零、复数是实数、复数是纯虚数的充要条件 (1)复数为零的充要条件

复数a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.
(2)复数是实数的充要条件 对于复数a+bi,则a+bi为实数的充要条件是b=0. (3)复数是纯虚数的充要条件 对于复数a+bi,当且仅当a=0且b≠0时,复数a+bi为纯虚

数.

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2.复数集与复平面中的向量的对应关系 如图中任意的两个一一对应.

作用为:这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的 桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也

可以用复数方法解决 ( 即数形结合法 ),增加了解决复数问
题的途径.
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3.对复数模的理解 从数的角度理解,可类比绝对值是表示这个数的点到原点

的距离.
从形的角度理解,是该复数对应向量的模,也是向量起点 与终点间的距离.

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题型一 复数相等的充要条件
【例1】 求使等式(2x-1)+i=y-(3-y)i成立的实数x,y的值.
[思路探索] 题干中所给的条件是关于复数的等式,考虑利 用复数相等来解决.
解 由复数相等的充要条件得
? ?2x-1=y, ? ? ?1=-?3-y?,

? 5 ?x= , 解得? 2 ? ?y=4.

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一般根据复数相等的充要条件,可由一个复数等式得

到两个实数等式组成的方程组,从而可确定两个独立参数,本
题就是利用这一重要思想化复数问题为实数问题来解决的.

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【训练 1】 (1)已知 x2-y2+2xyi=2i,求实数 x、y 的值; a (2)关于 x 的方程 3x -2x-1=10i-ix-2ix2 有实数根,求实 数 a 的值.
2

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解 (1)由复数相等的条件,得
2 2 ? x - y =0, ? ? ? ?2xy=2,

? ?x=1, 解得? ? ?y=1,

? ?x=-1, 或? ? ?y=-1.

(2)设方程的实根为 x=m,则原方程可变为:
? ? a 2 ?3m - m-1?+(2m2+m-10)i=0, 2 ? ?

由复数相等的定义得: ? 2 a ?3m - m-1=0, 1 2 ? 解得 a=11 或-14 . 5 2 ? ?2m +m-10=0,

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题型二 复数的几何意义
【例2】 在复平面上,复数i,1,4+2i的对应的点分别是A, B,C.求平行四边形ABCD的D 点所对应的复数. [思路探索 ] 法一 复数 → 点的坐标 → 中点坐标公式 →D点

坐标→D对应复数.

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解 法一 由已知 A(0,1),B(1,0),C(4,2),则 AC 的中点
? 3? E?2,2?, ? ?

由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点, 设 D(x,y) ? ?x+1=2, ? 2 则? ?y+0 3 =2, ? ? 2 即 D(3,3), ∴D 点对应复数为 3+3i.
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?x=3, ? ∴? ? ?y=3.

法二 由已知:OA=(0,1),OB=(1,0), OC=(4,2). ∴BA=(-1,1),BC=(3,2), ∴BD=B A +BC=(2,3), ∴OD=OB+BD=(3,3), 即点 D 对应复数为 3+3i.























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复数的几何意义包含两种情况: (1) 复数与复平面内点的对应:复数的实、虚部是该点的 横、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点 的坐标问题.

(2) 复数与复平面内向量的对应:复数的实、虚部是对应向
量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.

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【训练2】 已知a∈R,z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i, 所对应的点在第几象限?复数z对应的点的轨迹是什么?



本题主要考查判断复数所对应的点所在的象限,解题的

关键是判断(a2-2a+4)与-(a2-2a+2)的符号,设出z=x+y i(x,y,∈R),利用复数相等的充要条件转化为动点 (x,y)关 于a的参数方程. 由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,

-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
∴复数z的实部为正数,虚部为负数, ∴复数z的对应点在第四象限.
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设 z=x+yi(x,y∈R),
?x=a2-2a+4, ? 则? 2 ? y =- ? a -2a+2?, ?

消去 a2-2a,得 y=-x+2(x≥3). ∴复数 z 的对应点的轨迹是一条射线,方程为 y=-x+ 2(x≥3).

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题型三 复数的模、复数对应的图形问题
π π 【例 3】 (12 分)(1)复数 z1=sin3-icos6,z2=2+3i,试比 较|z1 |与|z2|的大小;
(2)求满足条件2≤|z|<3的复数z在复平面上表示的图形.

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审题指导 |z|=|a+bi|有以下几种情况: (1)实数 a(z=a+bi,b=0)的绝对值
?a ? |a |= ? ? ?-a

?a≥0?, ?a<0?.

几何意义:在数轴上 a 的对应点到原点的距离. (2)复数的模|z|= a2+b2. 几何意义:向量 O Z 的长度,也就是复平面上的点到原点 的距离.



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【解题流程】 (1)求出|z1 |,|z2 |→ 比较|z1 |与|z2|的大小 → 结论 (2) 确定|z|的几何意义 → 画出|z|≥2及|z|<3的草图

→ 确定图形

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[规范解答] = = sin
? ? ? ?


? π ? (1)∵|z1|= sin3-i ?

π? cos6? ? (2 分) (4 分) (6 分)

? π?2 +?-cos ? 3 ? 6?

? ? 6 3? ?2 ? 3 ?2 +? ? = , ? 2 2? ?2?

|z2 |= |2+3i|= 22+32= 13, 6 且|z1 |= = 2 ∴|z1 |< |z2|. 3 < 13=|z2|, 2

(8 分)

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(2) 如右图,图形是以原点 O 为圆心,半径分

别为 2 个单位长和 3 个单位长的两个圆所夹的
圆环,但不包括大圆圆周. (12分)

【题后反思】 1. 复数 z = x + yi(x , y∈R) 对应 的图形问题,可以依据复数的几何意义来确 定,也可以进一步转化为 f(x, y) =0,依据解 析几何的有关知识来确定. 2 . 若 复 数 z1 , z2 为 虚 数 , 则 不 能 比 较 大

小.但|z1| ,|z2| 均为非负实数,故可比较复数
模的大小.
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【训练 3】 已知 z1=x2+ x2+1i,z2=(x2+a)i,对任意的 x∈R 均有|z1 |>|z2 |成立,试求实数 a 的取值范围.
解 ∵|z1 |= x4+x2+1,|z2|=|x2+a |, 且|z1 |>|z2|, ∴ x4+x2+1>|x2+a|? (1-2a)x2+(1-a2)>0 恒成立. 1 不等式等价于①:1-2a=0?a=2,
? 1 1? 2 即 a=2时,0· x +?1-4?>0 恒成立. ? ?

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?1-2a>0, ? 或②:? 2 ? Δ =- 4 ? 1 - 2 a ?? 1 - a ?<0. ?

1 ?-1<a<2.
? 1? ∴a∈?-1, ?. 2? ?

综上可得,a

? ? ? 1 ? ? 的取值范围是 a -1<a≤2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

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误区警示 套用了实系数方程的求根公式而致错
【示例】 已知关于x的方程x2+kx+(k+1)i=0(k∈R)有实根, 求这个实根.
[错解] 由 x2+kx+(k+1)i=0,得 -k± k2-4?k+1?i x= 2

实系数二次方程中的求根公式对复系数的二次 方程不再适用,利用求根公式求方程的根会致错.

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[正解] 设 x=m 是方程的实根,代入方程,得 m2+km+(k +1)i=0,由复数相等的充要条件,得
?m2+km=0, ? ? ? ?k+1=0, ?m=0, ? 解得? ? ?k=-1 ?m=1, ? 或? ? ?k=-1.

故方程的实根为 0 或 1,对应的实数 k 为-1.
解决复系数方程根的问题,可设出方程的根,将 此根代入方程,再利用复数相等的充要条件求解.

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