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生活中的优化问题(补例)


例 4.汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定 的关系,汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2) “汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析: 研究汽油的使用效率 (单位: L/m) 就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值. 如 果用 G 表示每千米平均的汽油消耗量,那么 G ?

w ,其中, w 表示汽油消耗量(单位:L) , s .这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少” ,就是求 G s 表示汽油行驶的路程(单位:km)

的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽 油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单位: km/h)之间有如图所示的函数关系 g ? f ? v ? . 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题. 因此, 我们首先需要将问题转化为汽油 平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量, 单位: L/h) 与汽车行驶的平均速度 v(单位: km/h) 之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.

w w t g 解:因为 G? ? ? s v s t g g 这样,问题就转化为求 的最小值.从图象上看, 表示经过原点与曲线上点的直线的斜 v v 率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为 90 km / h .
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,此 时的车速约为 90 km / h .从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即 f ? ? 90 ? , 约为 L. 例 5.在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起 (如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多 少?

x _
x x

60 _

x _

解法一:设箱底边 长 为 xcm , 则 箱 高

60 _

h?

60 ? x cm,得箱子 2

容积

V ( x) ? x 2 h ?

60x 2 ? x 3 2 3x 2 2

(0 ? x ? 60) .

V ?( x) ? 60 x ?

(0 ? x ? 60)

令 V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 =0,解得 x=0(舍去) ,x=40, 2

并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最大值
王新敞
奎屯 新疆

答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm 解法二: 设箱高为 xcm, 则箱底长为(60-2x)cm, 60-2x 则得箱子容积 ( V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x (0 ? x ? 30) . 后 面 同 解 法 一,略) 由题意可知, x 过小或过大时箱子容积很小, 当 所以最大值出现在极值点处. 事实上,可导函数 V ( x) ? x h ?
2
60 60 60-2x

3

x
60-2x 60-2x

x

60x 2 ? x 3 、 V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x 在各自的定义域中 2

都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值 点,不必考虑端点的函数值 例 6.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的 材料最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2π Rh+2π R
王新敞
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V ,则 ? R2 V 2 2V 2 S(R)= 2π R + 2π R = +2π R 2 ?R R 2V 令 s?( R) ? ? 2 +4π R=0 R
由 V=π R h,得 h ?
2

解得,R= 3

V V ,从而 h= = ? R2 2?

4V V V =3 =2 3 ? ? V 2 ? (3 ) 2?

即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
王新敞
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变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取, 才能 使所用材料最省? 提示:S=2 ?Rh + 2?R ? h=
2

S ? 2?R 2 2?R

?V(R)=

S ? 2?R 2 1 1 ? R 2 = ( S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2 2 2?R

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .
例 6.在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数同,记为 C(x),出售 x 单位产 品的收益称为收益函数,记为 R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为 P(x)。 (1) 、如果 C(x)= 10 x ? 0.003x ? 5x ? 1000,那么生产多少单位产品时,边际
3 2 ?6

C ?(x) 最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)
(2) 、如果 C(x)=50x+10000,产品的单价 P=100-0.01x,那么怎样定价,可使利润 最大? 变式:已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的 函数关系式为 p ? 25 ?

1 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与 产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q ,
2

? ?

1 ? 8 ? ? ?

1 8

2 2 利润 L ? R ? C ? ? 25q ? q ? ? (100 ? 4q) ? ? q 21q ? 100 (0 ? q ? 100)

? ?

1 8

1 8

1 L? ? ? q ? 21 4
令 L? ? 0 ,即 ?

1 q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84 4
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答:产量为 84 时,利润 L 最大 例 7.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时 的高 h 和下底边长 b. 解:由梯形面积公式,得 S=

1 3 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= h,BC=b 2 3


∴AD=

2 3 1 2 3 3 h ? 2b)h ? ( h ? b)h h+b, ∴S= ( 3 2 3 3

∵CD=

2 h 2 h ×2+b ? h ,AB=CD.∴l= cos30? 3 3



由①得 b=

S 3 4 3 S 3 S h,代入②,∴l= ? h? ? h ? 3h ? h 3 3 h 3 h
S S S S =0,∴h= , 当 h< 时,l′<0,h> 时,l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3

l′= 3 ?

∴h=

24 3 S 时,l 取最小值,此时 b= S 4 3 3

例 8.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方 的曲线上,求这种矩形中面积最大者的边长. 【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y) ,且 x >0,y >0, 则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y) , 在 x 轴上的两个顶点为(-x,0)(x,0) 、 ,其中 0< x <2. 2 设矩形的面积为 S,则 S =2 x(4-x ) ,0< x <2. 由 S′(x)=8-6 x2=0,得 x = x =

2 3 ,易知 3

4 是 S 在(0,2)上的极值点, 3 2 8 3和 . 3 3

即是最大值点, 所以这种矩形中面积最大者的边长为

【点评】 应用题求解, 要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件. 应用题的分析中如 确定有最小值,且极小值唯一,即可确定极小值就是最小值. 练习:1:一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次订货,如果每次订货要付 手续费 30 元,每千册书存放一年要耗库费 40 元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几 次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少? 【解】假设每次进书 x 千册,手续费与库存费之和为 y 元, 由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即

x ,故有 2

150 x 4500 ×30+ ×40,y′=- 2 +20, x 2 x 9000 令 y′=0,得 x =15,且 y″= 3 ,f″(15)>0, x
y = 所以当 x =15 时,y 取得极小值,且极小值唯一, 故 当 x =15 时,y 取得最小值,此时进货次数为

150 =10(次) . 15

即该书店分 10 次进货,每次进 15000 册书,所付手续费与库存费之和最少.

2:有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸 40 千米,乙城到岸的垂足与甲城 相距 50 千米,两城在此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千 米 500 元和 700 元,问水厂应设在河边的何处,才能使水管费用最省? 【解】设水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米,总费用为 y 元, 则 CD = x 2 ? 402 . y =500(50-x)+700 x2 ? 1600 =25000-500 x +700 x2 ? 1600 , y′=-500+700 ·
? 1 2 (x +1600) 2 · x 2 2 1

=-500+

700x x 2 ? 1600



令 y′=0,解得 x =

50 6 . 3 50 6 千米时,总费用最省. 3

答:水厂距甲距离为 50-

【点评】 当要求的最大(小)值的变量 y 与几个变量相关时,我们总是先设几个变量中的一个为 x,然后再根据条件 x 来表示其他变量,并写出 y 的函数表达式 f(x) .


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