当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修四


平面向量数量积的 坐标表示

复习:

⑴a与b的数量积的定义 ?
已知两个非零向量a和b,它们的夹角 为?,我们把数量|a|· |b|· cosθ叫做a与b 的数量积(或内积),记作a· b ,即 a· b=|a||b|cos?
(

2)向量的运算有几种?应怎样计算?

索1: 已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2) ,平 面向量的 数量积怎样用a 与 b的坐标表示呢?
设x轴上单位向量为i 请计算下列式子:

,Y轴上单位向量为j

? ? ① i ?i = ? ? ③ i?j =

1 0

? ? ② j? j = ? ? ④ j ?i =

1 0

已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2) ,则平 面向量的 数量积怎样用a 与 b的坐标表示呢?

? ? ? ? ? ? x1i ? y1 j , b ? x2i ? y2 j 解: a ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2i ? x1 y2i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j

? x1 x2 ? y1 y2
即:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。 例1:设a=(5,-7), b=(-6,-4),求 a
· b

探索2:
1)、若两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x 2, y2) 则a与b的 模应 如何计算?
? a ? ? x1 ? y1 , b ?
2 2

x2 ? y2 .

2

2

如何计算?

2)、若设A(x1,y1),B(x2,y2),则向量AB的 模
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ,

这就是A、B两点间的距离公式.

探索3: 你能写出向量夹角公式的坐标表示式
已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2)

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2

2

2

例2:设a=(2,1),b=(1,3),求a· b及a 与b的夹角
解: a· b =2×1+1×3=5

2 ∵ cos? ? ? 2 ab
又∵00<θ<1800∴θ=450

a ?b

探索4:你能写出向量垂直的坐标表示式 已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2)

a // b ? x1y2 ? x2 y1 ? 0

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

例3求以点C(a , b)为圆心,r为半径的圆的方程。
解:设M( x, y )是圆C上的一点,则| CM |? r ,即CM ? CM |? r
y
2

因为CM ? (x ? a, y ? b)
所以( x ? a ) ? ( y ? b) ? r ,即圆的方程
2 2 2

M C

O

x

如果圆心在坐标原点, 这时a ? 0, b ? 0, 那么圆的标准方程 就是x ? y ? r
2 2 2

例4已知圆C: ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r , 求与圆C相切P与点
2 2 2

P ( x , y )的切线方程。
0 0 0

y

解 : 设P ( x , y )为所求直线上一点 .
根据圆的切线方程,有 CP ? l ,即CP ? P P ? 0
0 0 0

l P C P0 O x

因为CP ? ( x ? a , y ? b), P P ? ( x ? x , y ? y ),
0 0 0 0 0 0

所以( x ? a )( x ? x ) ? ( y ? b)( y ? y ) ? 0.
0 0 0 0

特别地,当圆心在坐标 原点时,圆的方程为 x ? y ?r ,
2 2 2

与它相切于 P (x , y )的切线方程为
0 0 0

x ( x ? x ) ? y ( y ? y ) ? 0,
0 0 0 0

由于x ? y ? r , 故此方程可化为 x x? y y?r
2 2 2 0 0 0 0

2

直线的方向向量:
给定斜率为 k的直线l , 则向量m ? (1, k )与直线l 共线,我们把与直线 l共线的非零向量 m称为 直线l的方向向量

例5已知直线l : 3 x ? 4 y ? 12 ? 0和l : 7 x ? y ? 28 ? 0,
1 2

求 直线l 和l 的夹角.
1 2

解 : 任取直线l 和l 的方向向量
1 2

设向量m与n夹角为?,因为m ? n ?| m || n | cos? , 从而 3 1 ? 1 ? ( ? ) ? ( ?7 ) 2 4 cos? ? ? 2 3 1 ? ( ? ) ? 1 ? ( ?7 ) 4
2 2 2 2

3 m ? (1,? )和n ? (1,?7) 4

所以? ? 45 ,即直线l 和l 的夹角为45 .
0 0 1 2

例6:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的 夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解:由题意可知: -1< cos? ?

a ?b ab

<0

∴λ∈(—

1 ,2)∪(2,+∞) 2

例7:已知A(1, 2),B(2,3),C(-2,5)试判 定△ABC的形状,并给出证明。

证明:

AB ? (2 ? 1,3 ? 2) ? (1,1)

BC ? (?2 ? 2,5 ? 3) ? (?4,2)
AC ? (?2 ? 1,5 ? 2) ? (?3,3)
? AB ? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0
∴ AB⊥AC 又∵ ︱AB︱ ≠ ︱AC︱

∴△ABC是直角三角形

练习: 书P107,1,2, 书P108习题2.4A第5题(1)
作业:书P108习题2.4A第6----10 题

小结: 已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2) ? ? ? ? ? ? 1、 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j ) ? x1 x2 ? y1 y2 2、
? ? 2 2 2 2 a ? x1 ? y1 , b ? x2 ? y2 .

3、 cos? ?

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2

2

2

4、 a // b ? x1y2 ? x2 y1 ? 0 5、 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

6、已知:A(x1,x2),B(x1,x2)则
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ,

学习目标:
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、 向量的 夹角、模的 公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示 解决处理有关长度、垂直及夹角 的几 个问题.

基础训练题
1.有四个式子: ?1?0 ? a ? 0, ?2?0 ? a ? 0, ?3?a ? b ? a ? c ? b ? c,

?4? a ? b ? a ? b , 其中正确的个数为:
A. 4个 B.3个 C. 2个

D
D.1个

2. 已知a, b均为单位向量 , 下列结论正确的是 :

B
D.a ? b ? 0

A.a ? b ? 1

B.a ? b

2

2

C.a平行b ? a ? b

3.设向量a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 有下列命题: ?1? a ? x12 ? y12 ,

?2?b

2

2 2 ? x2 ? y2 , ?3?a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , ?4?a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

其中假命题序号是:
(2)

4.若a ? ?0,1?, b ? ?1,1?且 a ? ?b ? a, 则实数?的值是
A.-1 B.0 C.1 D.2

?

?

A

能力训练
1.已知 a ? 1, b ? 4, a ? b ? a ? 0, 则a与b的夹角是 :
2 2

A.90

?

B.60? C.120?

? ?

D.150?

2.已知 a ? 3, b ? 5, 且a ? b ? 12, 则b在a的方向上投影为___

3. 已知向量x与a ? ?2,?1?共线, 且a ? x ? ?18, 则x的坐标为_________


相关文章:
(北师大版)高中数学必修四:2.4《平面向量数量积的坐标表示》教案设计
搜 试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...(北师大版)高中数学必修四:2.4《平面向量数量积的坐标表示》教案设计_数学_高中...
高中数学 第二章 平面向量数量积的坐标表示教案 北师大版必修4
高中数学 第二章 平面向量数量积的坐标表示教案 北师大版必修4_数学_高中教育_教育专区。平面向量数量积的坐标表示教学目标 1.正确理解掌握两个向量数量积的坐标...
北师大版数学必修四:《平面向量数量积的坐标表示》导学案(含解析)
北师大版数学必修四:《平面向量数量积的坐标表示》导学案(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第 7 课时 平面向量数量积的坐标表示 1.掌握数量积的坐标表达式,会进...
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角4
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...平面向量数量积的坐标表示、模、夹角4_数学_高中教育...夹角 强化作业 新人教版必修 4 1.已知 a=(0,1...
人教A版高中数学必修四2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案
人教A版高中数学必修四2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案_数学_高中教育_教育专区。第 9 课时 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的...
北师大版必修四2.6《平面向量数量积的坐标表示》word教案
北师大版必修四2.6《平面向量数量积的坐标表示》word教案_数学_高中教育_教育专区。2.6 平面向量数量积的坐标表示 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握数量积...
北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐
北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐_专业资料。北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》 姓名 课型 是否采用 多...
高中数学 第二章 平面向量数量积的坐标表示说课教案 北师大版必修4
高中数学 第二章 平面向量数量积的坐标表示说课教案 北师大版必修4_数学_高中教育_教育专区。平面向量数量积的坐标表示一、教材分析 1.本课的 地位及作用:平面...
(同步辅导)2015高中数学《平面向量数量积的坐标表示》导学案 北师大版必修4
(同步辅导)2015高中数学平面向量数量积的坐标表示》导学案 北师大版必修4_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 7 课时 平面向量数量积的坐标表示 1.掌握数量...
更多相关标签:
向量数量积的坐标表示 | 向量的数量积坐标公式 | 向量数量积的坐标运算 | 向量数量积坐标表示 | 向量坐标数量积 | 向量的数量积 | 平面向量的数量积 | 空间向量的数量积运算 |