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2013高考考点集中营训练之数列


考点集中营之数列 1.数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 )

4、若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 和 x ? x ? b ? 0(a ? b) 的四个根可组成首项为
2

a ? b 的值为

1 的等差数列,则 4

>


5、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若

6、已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项 和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 项的和等于________。 。 7、设等差数列 ?an ? 共有 3n 项,它的前 2n 项之和为 100,后 2n 项之和为 200,则该等差数列的中间 n 8、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2) ,则它的前 n 项和

S S6 =3 ,则 9 = S6 S3



2.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( (A)58 (B)88 (C)143 (D)176

3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24

4. 设 函 数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是 公 差 为

?
8

S n =______。
9、公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等 于 10、已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 。 。 。

的 等 差 数 列 , f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? , 则

[ f (a3 )]2 ? a1a3 ? (
A、 0



1 B、 ? 2 16
3

1 C、 ? 2 8

13 D、 ? 2 16

11、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? 12、已知 ?a n ? 是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?

5.设函数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 , {an } 是公差不为 0 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a7 ) ? 14 ,则

a1 ? a 2 ? ? a 7 ? (
A、0

1 ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 = 。 4 lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn 14、设数列 ?a n ? ,?bn ? (bn ? 0), n ? N ? 满足 an ? n ? N ? ,则 ?a n ? 为等差数列 n
是 ?bn ? 为等比数列的________条件。

) B、7 C、14 D、21

6.设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 7.在等差数列 {an } 中, a2 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S 5 = A.7 ●选择题 1. B 2. B 3. B B.15 C.20 D.25

15.已知 ?an ? 为等差数列, 为其前 n 项和.若 a1 ?

1 , S 2 ? a3 ,则 a2 ? 2

, Sn =

16.已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则

an ?
17.设数列 {an },{bn } 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? ______ _____。 18.已知等差数列 {an } 的首项及公差均为正数,令 bn ? 列 {bn } 的最大项时, k ? ___。

an ? a2012? n ( n ? N * , n ? 2012). 当 bk 是数

4. D 5.D 6. C 7. B
2

1、已知 a, b, c 成等差数列,则二次函数 y ? ax ? 2bx ? c 的图象与 x 轴交点个数是 3、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2 n ?5 ? 2 (n ? 3) ,则当 n ? 1 时
2n



【答案】填空题: 1、0 个或 1 个 2、8204 3、 n 2
3n 2 ? 9n 2

2、设 m ? N ? , log 2 m 的整数部分用 F (m) 表示,则 F (1) ? F (2) ? ? ? F (1024) 的值是 。

4、

31 72

5、

7 3

log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? ? log 2 a2 n ?1 ?


1

6、20

7、75

8、

9、 60

10、 ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

11、13

12、

32 ?n (1 ? 4 ) 3

13、

n2 ? n ? 6 2

请说明理由. 14、充分且必要

15. 1

n 2

16. an ? 5 ? 4n

17.35

18. 1006

7、 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N ? 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

, (n, S n ) , 点 均在函数 y ? b ? r (b ? 0
x

1.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)对任意 m∈N﹡,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数列{bm}的前 m 项和 Sm。 2.已知等差数列 { a n } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 { a n } 中不大于 7
2m

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

的项的个数记为 b m .求数列 { b m } 的前 m 项和 S

m

.

8、已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m, n ? N ,有 am ? am ?1 ? ak ?请说明理由;
*

3、设 ?a n ? 是等差数列, bn ? ( ) n ,已知 b1 ? b2 ? b3 ?

1 2

a

21 1 , b1b2b3 ? , 8 8

(2)若 bn ? aq n (a、q 为常数,且 aq ? 0)对任意 m 存在 k,有 bm ? bm ?1 ? bk ,试求 a、q 满足的充要 条件; (3)若 an ? 2n ? 1, bn ? 3n 试确定所有的 p,使数列 ?bn ? 中存在某个连续 p 项的和是数列中 ?an ? 的一

求等差数列 ?a n ? 的通项公式。

4、设数列 ?a n ? 为等差数列, S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知 S7 ? 7, S15 ? 75 , Tn 为数列{ 项和,求 Tn 。

Sn }的前 n n

项,请证明.

参考答案
1. (Ⅰ)因为 ?an ? 是等差数列,由 a3+a4+a5= 3a4 ? 84, 得 a4 ? 28, 设数列的公差为 d,由 a9=73,得

5、设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, S n ? kn 2 ? n , n ? N * ,其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N * , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.

5d ? a9 ? a 4 ? 45, d ? 9 , a1 ? a 4 ? 3d ? 28 ? 27 ? 1 , 于 是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? 9 ? 9n ? 8 , 即 a n ? 9n ? 8 .
(Ⅱ)对任意 m∈N﹡, 9 m ? 9n ? 8 ? 9 2 m ,则 9 m ? 8 ? 9n ? 9 2 m ? 8 , 即 9 m ?1 ?

6、设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q (n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m, bm 是 使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

8 8 ? n ? 9 2 m ?1 ? ,而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 9 2 m ?1 ? 9 m ?1 , 9 9

于是 S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 9 3 ? ? ? 9 2 m ?1 ? (9 0 ? 91 ? ? ? 9 m ?1 )

1 1 (Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

?

(Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存在,
2

9 ? 9 2 m ?1 1 ? 9 m 9 2 m ?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m ?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m ?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? , 1? 9 80 8 80 80 8 1 ? 92

9 2 m ?1 ? 1 9 m 即 Sm ? . ? 80 8
, ?5a ?10d ?105 2. 解:(I)设数列的公差为 d,前 n 项和为 Tn ,则由 T5 ? 105, a20 ? 2a5 得:? 1 ?a ?9d ? 2(a ?4d), 1 1

?S 7 ? A ? 7 2 ? 7B ? 7 ? ∴ ? ?S15 ? A ? 15 2 ? 15B ? 75 ?
解 ∴ Sn ?
1 2 5 n ? n ,下略 2 2

1 ? ?A ? 2 ? 解之得: ? ?B ? ? 5 ? 2 ?

得 a ?7 d ?7, , 1 所以通项公式为 a 7( ?? ? . ?? 1 7 n )7 n n (II) 任意 m ? N ,若 a ?7 ?7 ,则 n ? 7 n n
*

5、解: (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,
2m?1

2 m

,即 bm ? 7

2m?1

.

n ? 2, a n ? S n ? S n ?1 ? kn 2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1 ( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,



bk ?1 72m?1 ? 2m?1 ? 49 ,∴ { b m } 是首项为 7,公比为 49 的等比数列, bk 7

? a n ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,? a 2 m ? a m .a 4 m , 即 (4km ? k ? 1) ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: mk (k ? 1) ? 0 ,
2

7 ? 9) 7 m ( 4m 1 ∴S? ? ( 9 ?) 4 1. m 14 ?9 4 8

对任意的 m ? N ? 成立, ∵ b1b3=b2
2

? k ? 0或k ? 1
1 1 1 1 20 . n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? 2 3 2 3 3
w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

3、解:∵ {an}为等差数列 ∴ {bn}为等比数列 ∴ b2 =
3

6、解: (Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

1 8

∴ b2=

1 2

17 ? ?b 1 ? b 3 ? 8 ? ∴ ? ?b b ? 1 ? 1 2 4 ?

?b 1 ? 2 ? ∴ ? 1 ?b 3 ? 8 ?

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3
m ?1 . 2

1 ? ?b 1 ? 或 ? 8 ?b 2 ? 2 ?

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1 ,对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知

1 1 ∴ b n ? 2( ) n ?1 ? 2 3? 2 n 或 b n ? ? 4 n ?1 ? 2 2 n ?5 4 8

当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N * ;当 m ? 2k 时, bm ? k ? 1 k ? N * . ∴ b1 ? b2 ? ? ? b2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b2 m ?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? b2 m ?

?

?

?

?

1 ∵ b n ? ( )an 2

∴ a n ? log 1 b n
2

∴ an=2n-3 或 an=-2n+5 4、解:法一:利用基本元素分析法
7?6 ? ?S 7 ? 7a 1 ? 2 d ? 7 ? 设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ?S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 1 ? 15 2 ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?
?a ? ?2 ∴ ? 1 ?d ? 1

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2 m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

∴ S n ? ?2 ?

n (n ? 1) 2



Sn n ?1 n 5 ? ?2 ? ? ? n 2 2 2
1 2 a n ? n 4 4

此式为 n 的一次函数

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

S ∴ { n }为等差数列 n
2

3m ? 1 ?

∴ Tn ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ? 3 p ? 1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

法二:{an}为等差数列,设 Sn=An +Bn
3

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ?

这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

? 不存在 n 、 k ? N ? ,使等式成立。

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

(2)当 m ? 1 时,则 b1 ? b2 ? bk ,? a 2 ? q 3 ? aq k

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ;

? a ? q k ?3 , 即 a ? q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
反之当 a ? q 时,其中 c 是大于等于 ?2 的整数,则 bn ? q n ? c ,
c

1 2 1 p 和 q 的取值范围分别是 p ? , ? ? q ? ? . 3 3 3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

显然 bm ? bm ?1 ? q m ? c ? q m ?1? c ? q 2 m ?1? 2 c ? bk ,其中 k ? 2m ? 1 ? c

7、解:因为对任意的 n ? N ? ,点 (n, S n ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. 所以得 S n ? b n ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? b n ? r ? (b n ?1 ? r ) ? b n ? b n ?1 ? (b ? 1)b n ?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b n ?1 ? 2n ?1 , 所以 an ? (b ? 1)b n ?1

? a 、 q 满足的充要条件是 a ? q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
(3)设 bm ?1 ? bm ? 2 ? ? ? bm ? p ? ak 当 p 为偶数时, (*) 式左边为偶数,右边为奇数, 当 p 为偶数时, (*) 式不成立。 由 (*) 式得

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

3m ?1 (1 ? 3 p ) ? 2k ? 1 ,整理得 3m ?1 (3 p ? 1) ? 4k ? 2 1? 3

当 p ? 1 时,符合题意。 当 p ? 3 , p 为奇数时,

2 3 4 n ?1 则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2
1 Tn ? 2 1 2 2 3 4 n n ?1 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2

3 p ? 1 ? (1 ? 2) p ? 1
0 2 p ? C p ? C1 ? 21 ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p ? 1 p 2 p ? C1 ? 21 ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p p 2 p ? 2 ? C1 ? C p ? 2 ? ? ? C p ? 2 p ?1 ? p 2 2 p ? 2 ? 2 ? C p ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p ? 2 ? ? p ? ? ?

相减,得 Tn ?

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 2 2 4 2 2 1? 2
所以 Tn ?

?

由3

m ?1

(3 p ? 1) ? 4k ? 2 ,得

3 1 n ?1 3 n ? 3 ? ? ? ? 2 2n 2n ?1 2 2n ?1

2 2 p 3m ?1 ? 2 ? C p ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p ? 2 ? ? p ? ? 2k ? 1 ? ?

? 当 p 为奇数时,此时,一定有 m 和 k 使上式一定成立。
? 当 p 为奇数时,命题都成立。

因此 S n ? ?8n ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 9 ?,或S n ? 8n ? n ? n ? 1? ? ? n ? n ? 9 ?

8、解: (1)由 am ? am ?1 ? ak , 得 6m ? 6 ? 3k ? 1 , 整理后,可得 k ? 2m ?

4 , 3
4

? m 、 k ? N ,? k ? 2m 为整数


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