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07离散型随机变量的方差(教案)


2. 3.2 离散型随机变量的方差
教学目标: 知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列 求出方差或标准差。 2 过程与方法: 了解方差公式 “D(aξ+b)=a Dξ” , 以及 “若 ξ~Β(n, p),则 Dξ=np(1—p)” , 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和

谐之美 ,体现数学的文化功能与人文 价值。 教学重点:离散型随机变量的方差、标准差 教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 2 教学设想:了解方差公式“D(aξ+b)=a Dξ” ,以及“若 ξ~Β(n,p),则 Dξ=np(1—p)” , 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 授课类型:新授课 课时安排 3 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平, 表示了随机变量在随机实验中取值的平均值, 所以又常称为随机变量的平均数、 均值. 今天, 我们将对随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度进行研究. 其实在初中我们也对一 组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差.
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回顾一组数据的方差的概念:设在一组数据 x1 , x2 ,?, xn 中,各数据与它们的平 均值 x 得差的平方分别是 ( x1 ? x ) 2 ,( x2 ? x ) 2 ,?,( xn ? x ) 2 ,那么 S ?
2

1 [ ( x1 ? x ) 2 n

+ ( x2 ? x ) 2 +?+ ( xn ? x ) 2 ] 叫做这组数据的方差 教学过程: 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变 量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变 量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都是用变量表 示随机试 验的结果;但 是离散型 随机变量的结 果可以按 一定次序 一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 分布列:
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x2 ? xi ? P2 ? Pi ? 6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1.
1

ξ P

x1 P1

k k n?k 7.二项分布: ξ ~ B ( n , p ) ,并记 Cn p q =b(k;n,p).

ξ P

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

8.几何分布: g ( k , p )= q k ?1 p ,其中 k=0,1,2,?, q ? 1 ? p .

ξ P

1

2

3

? ?

k

? ?

p

pq

q2 p

q k ?1 p

9.数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ? 平

为 ξ 的数学期望,简称期望.

10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水
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11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? ? ? pn , 则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ? 均数、均值
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1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期望又称为平 n n

12. 期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 13.若ξ B(n,p) ,则 Eξ=np 二、讲解新课:
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1. 方差: 对于离散型随机变量 ξ,如果它所有可能取的值是 x1 , x2 ,?, xn ,?, 且取这些值的概率分别是 p1 , p 2 ,?, p n ,?,那么 ,

D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +?
称为随机变量 ξ 的均方差,简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ξ 的期望. 2. 标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ξ 的标准差,记作 ?? . 3.方差的性质: (1) D(a? ? b) ? a D? ; (2) D? ? E? ? ( E? ) ;
2 2 2

(3)若 ξ~B(n,p),则 D? ? np(1-p)

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4.其它: ⑴随机变量 ξ 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量 ξ 的方差、 标准差也是随机变量 ξ 的特征数, 它们都反映了随机变量取值
2

的稳定与波动、集中与离散的程度; ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例:

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例 1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解:抛掷散子所得点数 X 的分布列为 ξ P 从而 1 2 3 4 5 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 1 1 1 1 1 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 ; 6 6 6 6 6 6

1 1 1 1 DX ? (1 ? 3.5) 2 ? ? (2 ? 3.5) 2 ? ? (3 ? 3.5) 2 ? ? (4 ? 3.5) 2 ? 6 6 6 6 1 1 ? (5 ? 3.5) 2 ? ? (6 ? 3.5) 2 ? ? 2.92 6 6

? X ? DX ? 1.71 .
例 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1

乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得 EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ; EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 . 因为 EX1 =EX2, DX1<DX2, 所以两家单位的工资均值相等, 但甲单位不同职位的工资相 对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些, 就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 例 3.设随机变量ξ的分布列为

3

ξ P 求 Dξ
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1

2

? ?

n

1 n

1 n

1 n

解: (略) E? ?

n ?1 n 2 -1 , D? ? 2 12

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例 4.已知离散型随机变量 ? 1 的概率分布为

?1
P

1

2

3

4

5

6

7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

离散型随机变量 ? 2 的概率分布为

?2
P

3.7

3.8

3. 9

4

4.1

4.2

4.3

1 7

1 7

1 7
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1 7

1 7

1 7

1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解: E?1 ? 1 ?

1 1 1 ? 2? ? ??? ? 7? ? 4 ; 7 7 7 1 1 1 D?1 ? (1 ? 4) 2 ? ? (2 ? 4) 2 ? ? ? ? ? ? (7 ? 4) 2 ? ? 4 ; ??1 ? D?1 ? 2 7 7 7 1 1 1 E? 2 ? 3.7 ? ? 3.8 ? ? ? ? ? ? 4.3 ? ? 4 ; 7 7 7

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D? 2 =0.04, ?? 2 ? D? 2 ? 0.2 .
点评:本题中的 ? 1 和 ? 2 都以相等的概率取各个不同的值,但 ? 1 的取值较为分散, ? 2 的 取值较为集中. E?1 ? E? 2 ? 4 , D?1 ? 4 , D? 2 ? 0.04 ,方差比较清楚地指出了 ? 2 比 ? 1 取值更集中.

?? 1 =2, ?? 2 =0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

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例 5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中 环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
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解: E?1 ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9

D?1 ? (8 ? 9)2 ? 0.2 ? (9 ? 9)2 ? 0.6 +(10-9) 2 ?0.2 ? 0.4 ;

4

同理有 E? 2 ? 9, D? 2 ? 0.8

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由上可知, E?1 ? E? 2 , D?1 ? D?2 所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所
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得的平均环数很接近,均在 9 环左右,但甲所得环数较集中,以 9 环居多,而乙得环数较分 散,得 8、10 环地次数多些. 点 评 : 本 题 中 , ?1 和 ?2 所 有 可 能 取 的 值 是 一 致 的 , 只 是 概 率 的 分 布 情 况 不 同. E?1 ? E? 2 =9,这时就通过 D?1 =0.4 和 D? 2 =0.8 来比较 ? 1 和 ? 2 的离散程度,即两名 射手成绩的稳定情况
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例 6.A、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下 表所示: A 机床 次品数ξ1 概率 P 0 0.7 1 0.2 2 0.06
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B 机床 3 0.04 次品数ξ1 概率 P 0 0.8 1 0.06 2 0.04 3 0.10

问哪一台机床加工质量较好

解: Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差
2
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Dξ1=(0-0.44) ×0.7+(1-0.44) ×0.2+(2-0.44) ×0.06+(3-0.44) ×0.04=0.6064,
2

2

2

Dξ2=(0-0.44) ×0.8+(1-0.44) ×0.06+(2-0.44) ×0.04+(3-0.44) ×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 四、课堂练习: 故 A 机床加工较稳定、质量较好.
2

2

2

2

1 .已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是(


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A. 100和0.08 ; B. 20和0.4 ; C. 10和0.2 ; D. 10和0.8 答案:1.D 2. 一盒中装有零件 12 个,其中有 9 个正品,3 个次品,从中任取一个,如果每次取出 次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的 期望. 分析:涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样后次品率将 会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,则各次抽样的次品率不变, 各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件. 解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ,显然ξ所有可能取的值为 0,1,2,3
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5

当ξ=0 时,即第一次取得正品,试验停止,则 P(ξ=0)=

9 3 ? 12 4 3 9 9 ? ? 12 11 44 3 2 9 9 ? ? ? 12 11 10 220

当ξ=1 时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,则 P(ξ=1)=

当ξ=2 时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,则 P(ξ=2)=

当ξ=3 时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则 P(ξ=3)

3 2 1 9 1 ? ? ? ? 12 11 10 9 220 3 9 9 1 3 ? 2? ? 3? ? 所以,Eξ= 0 ? ? 1 ? 4 44 220 220 10
=
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3. 有一批数量很大的商品的次品率为 1%,从中任意地连续取出 200 件商品,设其中次 品数为ξ,求 Eξ,Dξ 分析:涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很 大, 因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小, 所以可以认为各次抽查的结 果是彼此独立的. 解答本题, 关键是理解清楚: 抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验, 即ξ B(200,1%) ,从而可用公式:Eξ=np,Dξ=npq(这里 q=1-p)直接进行计算 解: 因为商品数量相当大, 抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验, 所以ξ B (200, 1% ) 因为 E ξ =np , D ξ =npq ,这里 n=200 , p=1% , q=99% ,所以, E ξ =200×1%=2,D ξ =200×1%×99%=1.98 4. 设事件 A 发生的概率为 p,证明事件 A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4 分析:这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法,关键还 是掌握随机变量的分布列.求出方差 Dξ=P(1-P)后,我们知道 Dξ是关于 P(P≥0)的二次函 数,这里可用配方法,也可用重要不等式证明结论 证明:因为ξ所有可能取的值为 0,1 且 P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p, 所以,Eξ=0×(1-p)+1×p=p
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? p ? (1 ? p) ? 1 则 Dξ=(0-p) ×(1-p)+(1-p) ×p=p(1-p) ? ? ? ? 2 ? ? 4
2 2

2

5. 有 A、B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下: ξA P 110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0.2 ξB P 100 0.1 115 0.2 125 0.4 130 0.1 145 0.2

其中ξA、ξB 分别表示 A、B 两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低 于 120,试比较 A、B 两种钢筋哪一种质量较好 分析: 两个随机变量ξA 和ξB&都以相同的概率 0.1,0.2,0.4,0.1,0.2 取 5 个 不同的数值.ξA 取较为集中的数值 110,120,125,130,135;ξB 取较为分散的数值 100, 115,125,130,145.直观上看,猜想 A 种钢筋质量较好.但猜想不一定正确,需要通过计 算来证明我们猜想的正确性 解:先比较ξA 与ξB 的期望值,因为 EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4 十 130×0.1+145×0.2=125.
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所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为 2 2 2 2 D ξ A=(110-125) × 0.1+(120-125) × 0.2+(130-125) × 0.1+(135-125) × 0.2=50, 2 2 2 2 D ξ B=(100-125) × 0.1+(110-125) × 0.2+(130-125) × 0.1+(145-125) × 0.2=165. 所以,DξA < DξB.因此,A 种钢筋质量较好 6. 在有奖摸彩中,一期(发行 10000 张彩票为一期)有 200 个奖品是 5 元的,20 个奖品 是 25 元的, 5 个奖品是 100 元的. 在不考虑获利的前提下, 一张彩票的合理价格是多少元? 分析: 这是同学们身边常遇到的现实问题, 比如福利彩票、 足球彩票、 奥运彩票等等. 一 般来说,出台各种彩票,政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业,同时也要考虑工作 人员的工资等问题.本题的“不考虑获利”的意思是指:所收资金全部用于奖品方面的费用
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解:设一张彩票中奖额为随机变量ξ,显然ξ所有可能取的值为 0,5,25,100 依题 意,可得ξ的分布列为
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ξ P

0

5

25

100

391 1 1 500 400 50 391 1 1 1 E? ? 0 ? ? 5 ? ? 25 ? ? 100 ? ? 0.2 400 50 500 2000

1 2000

答:一张彩票的合理价格是 0.2 元. 五、小结 :⑴求离散型随机变量 ξ 的方差、标准差的步骤:①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值;②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定 义求出 Eξ ;④根据方差、标准差的定义求出 D? 、?? .若 ξ~B(n,p),则不必写出分 布列,直接用公式计算即可. ⑵对于两个随机变量 ? 1 和 ? 2 ,在 E?1 和 E? 2 相等或很接近时,比较 D?1 和

D? 2 ,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要
六、课后作业: P69 练习 1,2,3 P69 A 组 4 B 组 1,2 1.设 ? ~B(n、p)且 E ? =12 D ? =4,求 n、p D ? = np(1-p)

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解:由二次分布的期望与方差性质可知 E ? =np

?np ? 12 ∴? ?np(1 ? p) ? 4

?n ? 18 ? ∴? 2 p? ? 3 ?
1 1 )求 b (2;6, ) 3 3

2.已知随机变量 ? 服从二项分布即 ? ~B(6、 解:p( ? =2)=c6 (
2

1 2 2 4 )( ) 3 3

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ? 和 ? ,已知 ? 和

7

? 的分布列如下: (注得分越大,水平越高)

?
p

1 a

2 0.1

3 0.6

?
p

1 0.3

2 b

3 0.3

试分析甲、乙技术状况 解:由 0.1+0.6+a+1 ? a=0.3 0.3+0.3+b=1 ? a=0.4 ∴E ? =2.3 , E ? =2.0

D ? =0.81 , D ? =0.6 七、板书设计(略) 八、教学反思:
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⑴求离散型随机变量 ξ 的方差、标准差的步骤: ①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值; ②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列 ; ③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ ; ④根据方差、标准差的定义求出 D? 、 ?? .若 ξ~B(n,p),则不必写出分布列, 直接用公式计算即可. ⑵对于两个随机变量 ? 1 和 ? 2 ,在 E?1 和 E? 2 相等或很接近时,比较 D?1 和 D? 2 ,可 以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要
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