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吉林省东北师范大学附中中学净月校区2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


2015---2016 学年(高二)年级上学期期末考试(理科)数学试卷

一、 选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题“ 若x ? 2, 则x ? 1 ”的逆否命题是 (A) 若x ? 1, 则x ? 2 (B) 若x ? 2, 则x ? 1 (C) 若x ? 2, 则x ? 1 (D) 若x ? 1, 则x ? 2 抽样

2.一批产品中,一级品 24 个,二级品 36 个,三级品 60 个,现采用分层 的方法从中抽取一个容量为 20 的样本,则应抽取一级品的个数为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)10

3.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 (A)8 (B)24 (C)48 (D)120

4.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7,则输出 s 的值是 (A)3 (B)15 (C)75 (D)105

? ? bx ? a ,则 y 5.已知数组 ( x1 , y1 ), ( x 2 ,y 2 ), … ,x( ,n 的线性回归方程是 ) n y
“ x0 ?

x1 ? x2 ? ? ? xn y ? y2 ? ? ? yn ? ? bx ? a ”的 ,且 y0 ? 1 ”是 “ ( x0 , y0 ) 满足方程 y n n

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 ,则它的焦点到渐近线的距离为 6.已知双曲线方程 4 5 (A) 5 (B) 1 (C) 2

(D) 3

7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), D(1,1, 2) ,则直线 AD 与平面 ABC 所成的角为 (A) 90 ? (B) 60 ? (C) 45 ? (D) 30 ?

8.五名学生站成一排,则甲乙相邻的概率为 (A)

1 10

(B)

3 5

(C)

2 5

(D)

9 10

9.某公司招聘进 5 名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中两名翻译人员不能同时分给一个部门,另 外三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门,则不同的分配方案的种数为 (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24

10.已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | 3 x ? 4 y ?12, x ? 0, y ? 0} ,若向 区域 ? 内随机投一点 P ,则点 P 落在区域 A 内的概率为

1 1 5 (C) (D) 3 6 6 E 11.如图,正方体 ABCD ? A 中, 为 中点,则下列结论中 B C D CC 1 1 1 1 1
(A) (B) 不正确的是 A1

2 3

D1 B1 D A

C1

E C B

1

(A) BD ? AC 1 1 (C)平面 BDE //平面 AB1D1

(B) AC1 ∥平面 BDE

BDE (D)平面 A 1BD ⊥平面

12.设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c , A(?2c,0) , B(2c, 0) ,如果椭圆上存在一点 P , a 2 b2

使得 AP ? BP ,则离心率的取值范围为 (A) [

5 1 , ) 5 2

( B) [

2 4 , ) 2 5

(C) [

2 ,1) 2

(D) (0,

5 ] 5

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 (2 x ?1) 2015 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ... ? a2015 x 2015 (x ? R) ,则 a1 ? a2 ? a3 ??? a2015 ? 14.若椭圆 .

y2 x2 y2 2 x ? ? 1的离心率互为倒数,则椭圆方程为 ? ? 1 与双曲线 24 25 25 ? m2



15.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 2 ,若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60 ? ,则棱 CC1 的长 为 . .

16.下列说法正确的是 ①概率为 1 的事件是必然事件;

②二项式 ( ? 2 x) 展开式中二项式系数最大的项是第 7 项;
12

1 2

③将 5 个完全相同的小球放入三个不同的盒中,且每个盒子不空,共有 6 种不同的放法;
2 ④设 P, Q 分别为圆 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大距离是 6 2 . 10

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
2 已知命题 p : ?x ? R, 都有x2 ? 2x ? 3 ? m成立 ;命题 q :方程 4x +4(m-2) x+ 1=0 无实根,若命题

“ p ? q ”与命题“ ? q ”均为假命题,求实数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为 100 分),所得数据整理后,列出了如下频率分布表. (Ⅰ)在给出的样本频率分布表中,求 A,B,C 的值;
2

(Ⅱ)补全频率分布直方图,并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数; 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 A 4 20 15 7 2 C 频率 0.04 0.08 0.40 0.30 B 0.04 1
0.008 0.004 成绩(分数) 0.040

频率 组距

0.030

40

50

60

70

80

90

100

(Ⅲ)现从分数在[80,90),[90,100] 的 9 名同学中随机抽取两名同学,求被抽取的两名学生分数均不 低于 90 分的概率.

19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (3, m) 到焦点的距离等于 5. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程和 m 的值; (Ⅱ) 直线 y ? x ? b 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 4 2 ,求直线的方程. 20. (本小题满分 12 分) 如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E, F , O 分别为

PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(Ⅰ)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (Ⅱ)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE .

21. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥底面 ABCD , PD ? DC ,

E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F .
(Ⅰ)求证: DE ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 F ? DE ? B 的正弦值.

P

F

E

D A B

C
3

22. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C :

x2 2 ? y 2 ? 1 经过点 P(1, ) . 2 a 2

y
P B

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及其离心率; (Ⅱ)过椭圆右焦点 F 的直线(不经过点 P )与椭圆交于 A 、B 两点, 若 PF 为 ?APB 的平分线,求直线 AB 的斜率 k .
O
A F

x

4

2015---2016 学年(高二)年级上学期 期末考试(理科)数学答题纸 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 A 7 C 8 C 9 B 10 B 11 C 12 A

13. 学号:

2

; 14.

y 2 x2 ? ?1 25 24

17 . ( ; 15. 3 ; 16. ②③④ . 本 小 题 满

分 10 分) 解:因为“ p ? q ”与“ ? q ”均为假命题,所以 p 假,q 真.

p : ?x ? R, 使得x2 ? 2x ? 3 ? m成立 ,所以 m ? 2 ;

q :方程 4x2+4(m-2) x+ 1? m ? 3 1=0 无实根,所以 ? ? 0, 所以
综上 2 ? m ? 3

18. (本小题满分 12 分) 姓名: 解:(Ⅰ) C=

4 7 =50,A=50 ? 0.04=2,B= =0.14 0.08 50 0.4-0.02 ? 10=69.5 ;; 0.4
频率 组距
0.040

(Ⅱ) 众数为最高的小矩形区间中点 65, 中位数为 60+ (Ⅲ)设
0.030

?={从分数在[80, 100]的10名同学中 随机抽取两名同学},
2 n(?)=C9 ? 36.
0.014

0.008 0.004

A ? {两名学生分数均不低于90分},
班级:

40

50

60

70

80

90

100

成绩(分数)

n( A) ? 1, 根据古典概型计算公式 n( A) 1 P(A)= = n(?) 36

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)根据抛物线定义,M 到准线距离为 5,因为 M (3, m) ,所以

p ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8x , 2

m ? ?2 6 .
5

(Ⅱ) 因为直线 y ? x ? b 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y2 ? 8x ? y1 ? y2 ? 8 ,所以 y 2 ? 8 y ? 8b ? 0 , ? , ? ? y1 y2 ? 8b ?y ? x ?b

|AB|= 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? 2(64 ? 32b) ? 4 2
所以 b ?

3 3 ,直线为 y ? x ? 2 2

20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)连接 PO ∵ PA ? PC ,O 为 AC 中点, ∵平面 PAC ? 平面 ABC 交线为 AC, ∵ ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, ∵ AC ? 16 ∵ PA ? PC ? 10 ∴ VP ? ABC ? ∴ AB ? AC ? 8 2 ∴ PO ? 6 ∴ PO ? AC ∴ PO ? 平面ABC ∴ BO ? AC

z

1 1 1 S ABC ? PO ? ( ? 8 2 ? 8 2) ? 6 ? 128 3 3 2
BO ? AC
y

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 PO ? 平面ABC ,

以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴, y 轴,

z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,.
??? ? ??? ?

x

则 O ? 0,0,0? , A(0, ?8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E (0, ?4,3), F ? 4,0,3? , 由题意得, G ? 0, 4,0? , 因 OB ? (8,0,0), OE ? (0, ?4,3) , 因此平面 BOE 的法向量为 n ? (0,3, 4) , FG ? (?4, 4, ?3 ) 得 n ? FG ? 0 ,又直线 FG 不在平面 BOE 内,因此有 FG / / 平面 BOE

?

??? ?

? ??? ?

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) ∵侧棱 PD ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是正方形, ∴如图建立空间直角坐标系,点 D 为坐标原点,设 DC ? 1 . 依题意得 A(1,0,0), P (0,0,1), E (0,

1 1 , ) . B(1, 1, 0), C (0, 1, 0) 2 2 ? ??? ? 1 1 ??? DE ? (0, , ) , BC ? (?1, 0, 0) PC ? (0, 1, ?1) 2 2
6

故 BC ? DE ? 0 , PC ? DE ? 0 所以 BC ? DE . PC ? DE ∵ PC ? BC ? C ∴ DE ? 平面 PBC (Ⅱ) B(1,1,0), PB ? (1,1,?1) ,又 DE ? (0,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 1 , ) ,故 PB ? DE ? 0 ,所以 PB ? DE . 2 2

由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E ,所以 PB ? 平面 EFD . 所 以 平 面 EFD 的 一 个 法 向 量 为 z P

1 1 PB ? (1,1,?1) . DE ? (0, , ), DB ? (1,1,0) , 2 2
不妨设平面 DEB 的法向量为 a ? ( x, y, z)

F

E

1 ? ?a ? DE ? ( y ? z ) ? 0 2 则? ?a ? DB ? x ? y ? 0 ?
不妨取 x ? 1 则 y ? ?1, z ? 1 , 即 a ? (1,?1,1) ????10 分 x A

D G B

C

y

设求二面角 F ? DE ? B 的平面角为 ?

cos ? ?

a ? PB | a || PB |

??

1 3

????11 分

因为 ? ? [0, ? ] ,所以 sin ? ?

2 2 . 3 2 2 . 3

二面角 F ? DE ? B 的正弦值大小为

22. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)把点 P(1, ) 代入

2 2

x2 ? y 2 ? 1 ,可得 a 2 ? 2 . a2

x2 ? y 2 ? 1. 故椭圆的方程为 2
? c ? 1 ,椭圆的离心率为 e ?

1 . 2
7

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: F ?1, 0? . 当 ?APB 的平分线为 PF 时,由 P(1, ) 和 F ?1, 0? 知: PF ? x 轴.

2 2

PB 的斜率分别为 k1 、k2 . 记 PA 、 PB 的斜率满足 k1 ? k2 ? 0 . 所以, PA 、

x2 ? y 2 ? 1并整理可得, 设直线 AB 方程为 y ? k ? x ?1? ,代入椭圆方程 2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 .

2 ? k 2 ? 1? 4k 2 设 A? x1 ,y1 ? ,B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? . ,x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 2 ? y1 ? k ( x1 ? 1) 2 ? 2 = 2 ?k, 又 P(1, ) ,则 k1 ? 2 1 ? x1 1 ? x1 1 ? x1 2

2 2 2 ? y2 ? k ( x2 ? 1) k2 ? 2 ? 2 = 2 ?k . 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2
2 2 ? y1 ? y2 y y2 x1 ? x2 ? 2 2 ? 2 所以 k1 ? k2 ? 2 = 1 ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1

4k 2 ?2 2 2 1 ? 2 k ? 2k ? ? ? 2k ? 2 2 2 ? k 2 ? 1? 4k 2 ? ?1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
即 2k ? 2 ? 0 .

?k?

2 . 2

8


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