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甘肃省天水市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


天水一中 2014 级 2015-2016 学年度第二学期第一次月考 数学(理科)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.在复平面内,复数 z ?
3 A. i 5
3 B. ? i 5

3i 的共轭复数的虚部为( ?1 ? 2i
C.
3 5

) .

D. ?

3 5

2.已知复数 z ? A. ?2
5

2i , z 为 z 的共轭复数,则 z ? z 的值为( 1? i
C. 2 D. 2



B. 0

3.若 ? ax ? 1? 的展开式中 x3 的系数是 80,则实数 a 的值是( A.1 B.2 C.3
2

)

D.4

4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ) ,P(0<X<4)=0. 8,则 P(X>4)的值是() A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6

5.用 1、2、3、4、5、6 组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数 1、3、5 有且只有两个相邻, 则不同的排法种数为( A.18 B.108 ) C.216 D.432 )

6.已知函数 f(x)=x﹣4lnx,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为( A. 2x-y﹣3=0 B.2x+y﹣3=0 C. 3x+y﹣4=0 D. 3x-y﹣4=0

7.将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至 少保送一人的不同保送的方法数为( A.240 B.180 )种. C.150 D.540

8.同时抛掷三颗骰子一次,设 A ? “三个点数都不相同” , B ? “至少有一个 6 点” ,则 P( B | A) 为 ( A. )

5 91 D. 18 216 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? 9.用数学归纳法证明“ 1 ? ? ? ? ??? ? ”时,由 n ? k 的 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 假设证明 n ? k ? 1 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ) 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? A. B. k ?1 2k 2k ? 1 k ?1 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? ? ? C. D. k ?2 2k 2k ? 1 k ?2 2k ? 1 2k ? 2
B. C. 10.下面由火柴棒拼出的一列图形中, 第 n 个图形由 n 个正方形组成. 通过观察可以发现第 10 个图

1 2

60 91

1

形中火柴棒的根数是 (



A.30 B.31 C.32 D.34 11.如图, 用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用), 区域涂 1 种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数 A.72 种 B.96 种 C.108 种 D.120 种 12.已知圆 C1 : x2 ? 2cx ? y2 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? 2cx ? y 2 ? 0 ,椭圆

要求每个 有( )

C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ,焦距为 2c ) ,若圆 C1 , C2 都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是( a 2 b2
?1 ? ?2 ?
B. ? 0, ?



A. ? ,1?

? ?

1? 2?

C. ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

D. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?


二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.二项式 14.由曲线 y ? 展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,则其常数项为

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为



15.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 则 S4 ? S8 ? S4 ? S12 ? S8 ? S16 ? S12 成等差数列.类比以上结论有: 设等比数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Tn ? 则 T4 ? , , T12 成等比数列.
T16

16.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) , f (0) ? 6 , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数,则不等 式 e f ( x) ? e ? 5 (其 中 e 为自然对数的底数)的解集为
x x



三、解答题(共 70 分) 17. (本题 满分 10 分)数列 ?an ? 满足 a1= 1 , nan+1=(n+ 1)an+n(n+ 1) , n ? N .
*

(1)证明:数列 ?

? an ? ? 是等差数列; ?n?

(2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? an ?1
7 . 9

18. (本题满分 12 分)一个袋中有 10 个大小相同的黑球和白球,已知从袋中任意摸出 2 个球,至 少得到 1 个白球的概率为

(1)求白球的个数; (2)从袋中任意取出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列。 19. (本题满分 12 分)某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载 有 4 位乘客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的.

2

(Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望及方差. P 20. (本题满分 12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2, BC=3,∠ABC=90°,平面 PAB⊥平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求二面角 A-PB-E 的大小. A D B
2 2

E C

21. (本题满分 12 分) 已知椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1 , F2 距离之和为 4 2 , 2 a b

离心率为

3 . 2
1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点.点 P(2,1) 为椭圆上一点, 2 a 2 x ? (a ? 1) x . 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 的斜率为

求△PAB 的面积的最大值. 22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 x ? 0 时,

f ( x) f ?( x) ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. x 2

3

天水市一中 2015-2016 学年度第二学期数学(理科)答案 一、 选择题 CDBA DCCA 二、 填空题 13. 70 DBBB

14.

16 3

15.

T8 T , 12 T8 T4

16. (0,+∞) 三、解答题 17.(1)略 ?.(5 分) 18. (1)5 ?.(4 分) (2) ?.(8 分) X P 0 1 2 3 (2) S n ?

n n ?1

?.(5 分)

1 12

5 12

5 12

1 12

19. 解: (Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A , 1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 , 3

? 2 ? 65 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? ? ? . ? 3 ? 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为

4

?.(4 分)

1 ,且每个人下电梯互不影响, 3

所以, X ? B (4, )

1 3

X P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

1 4 1 2 8 E ( X ) ? 4 ? ? . D( X ) ? 4 ? ? ? 3 3 3 3 9

?.(8 分) P

z

20.(1) D、E 分别为 AB、AC 中点,?DE∥BC . DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC ???5 分 A D B x
4

(2)平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,

E y C

? PD ? 平面 ABC

. 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ? B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 . ? PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, , ? 3 ) 2

设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x,y,z ) ,

? ?3

? x ? 3 z ? 0, ? 令z? 3 ? y ? 3 z ? 0, ?2

得 n1 ? (3 , 2,3) .

1 , 0) . DE⊥平面 PAB,? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,
设二面角的 A-PB-E 大小为 ? , 由图知, cos? = cos n1,n2 = 所以 ? = 60? ,即二面角的 A-PB-E 的大小为 60 ? .
n1 ? n2 n1 ? n2 = 1 , 2

??????7 分

? 2a ? 4 2 ? c 3 ? 21. 解: (1)由条件得: ? e ? ? ,解得 a ? 2 2 , c ? 6 , b ? 2 , a 2 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c
所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ?.(4 分) 8 2
1 x ? m ,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 2

(2)设 l 的方程为 y ?

1 ? y? x?m ? ? 2 2 2 由? 2 消去 y 得 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0 . 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
2 2 2 令 ? ? 4m ? 8m ? 16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m ? 4 .

则由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 5(4 ? m2 ) . 4
m 1 1? 4 ? 2m 5


又点 P 到直线 l 的距离 d ?

∴ S?PAB ?

1 1 2m m2 ? 4 ? m2 AB d ? ? ? 5(4 ? m2 ) ? m2 (4 ? m2 ) ? ?2, 2 2 2 5

2 当且仅当 m ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2. ?.(8 分)

5

22. 解: (1) 由已知得 f ?( x) ? 而 f (1) ? ln1 ?

1 ? ax ? (a ? 1) ,则 f ?(1) ? 0 , x

a a a ? (a ? 1) ? ? ? 1 , 所 以 函 数 f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程 为 y ? ? ? 1 . 则 2 2 2 a 1 ? ? 1 ? ?2 ,解得 a ? 2 ,那么 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3x, f ?( x) ? ? 2 x ? 3 , 2 x

由 f ?( x) ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 1 ? 2x ? 3 ? ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? 1 , 2 x x
1 2 1 1 ?2 x ?3 ? 0 ,得 ? x ? 1 ,因而 f ( x) x 2

因则 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) 与 (1, ??) ;由 f ?(x) ? 的单调递减区间为 ( ,1) .

1 ?.(4 分) 2 f ( x) f ?( x) ln x a 1 ax a ? 1 ? ? x ? (a ? 1) ? ? ? (2)若 ,得 , x 2 x 2 2x 2 2 ln x 1 a ? 1 ln x 1 ? ? ? 即 在 区 间 (0, ??) 上 恒 成 立 . 设 h( x ) ? , 则 x 2x 2 x 2x 1 ? lx n 1? x 3 2 l n h?( x) ? ? ? , 2 2 2 x 2x 2x
由 h?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e 2 ,因而 h( x) 在 (0, e 2 ) 上单调递增, 由 h?( x) ? 0 ,得 x ? e 2 ,因而 h( x) 在 (e 2 , ??) 上单调递减 .
1 ? ? ? a ?1 ?1 2 ?e , 所以 h( x) 的最大值为 h(e ) ? e , 因而 从而实数 a 的取值范围为 ?a | a ? 2e 2 ? 1?(8 2 ? ?
1 2 ? 1 2
1
1

1

1

分)

6


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