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2015高考专题复习:函数零点复习


2015 高考复习 函数部分

函数的零点
【知识归纳】 1.函数零点的定义: 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x ) 图象与 x 轴有交点 ? 函数 2.函数变号零点与不变号零点(二重零点)性质: ( 1 )定理:如果函数

y ? f ( x) 有零点。

y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有

f (a) ? f (b) ? 0 那 么 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ( a ,b )内 有 零 点 , 即 存 在 c ? ( a, b), 使 得
f (c ) ? 0,这个

c 也就是方程 f ( x) ? 0 的实数根。

(2)变号了一定有零点(能证明 f(x)单调则有且只有一个零点) ;不变号不一定无零点(如二 重零点) :在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 3.怎样求零点:即为求解方程的根? 解一:二分法求零点 解二:试探着找到两个 x 对应值为一正一负(至少有一个) ;再证单调增函数即可得有且只有 一个。 解三:构造两个易画函数,画图,看图象交点个数,很实用。 【让函数零点的错误不再现】 因"望文生义"而致误 例1.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 的零点是
2



) D.1,2

A. ?1,0?

B. ?2,0?

C. ?1,0? , ?2,0?

1. 因函数的图象不连续而致误 例2.函数 f ? x ? ? x ? A.0 B.1 2. 因函数值同号而致误

1 的零点个数为 x
C.2 D.3





例3.判定函数 f ?x? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1?内是否有零点.

3. 因忽略区间端点而致误 例4. 已知二次函数 f ?x? ? x ? (m ? 1) x ? 2m 在 ?0,1? 上有且只有一个零点, 求实数
2

m的

取值范围.

-1-

2015 高考复习 函数部分

典型例题 题型一、方程的根与函数的零点 例 1.下列函数中,在区间[1,2]上有零点的是 ① f ( x) ? ? x ? 1 ② f ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 5 ③ y ? 2x 2 ? x ? 3 ④ f ( x ) ? ln x ? 3x ? 6 ⑤ f ( x) ? e x ? 3x ? 6 f ( x) ? x3 ? x ?1, 练习:1.函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有 一个实根 0,则 f(-1)·f(1)的值( A.大于 0 B.小于 0
? ?x ?x ?

) D.无法确定 则函数 f(x)的零点个数为( D.4 )

C.等于 0

2.已知函数 f(x)=? A.1

x+4 x-4

x<0, x≥0.
C.3

B.2

题型二、零点存在定理运用 例 2. 函数 f ( x) ? ln x ? A.(1,2)

2 的零点所在的大致区间是( ) x 1 B. (2,3) C. (1, ) 和(3,4) e

D. (e, ??)

1 练习.1.设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则 y=f(x)( ) 3 1 1 A.在区间( ,1),(1,e)内均有零点 B.在区间( ,1),(1,e)内均无零点 e e 1 C.在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 e 1 D.在区间( ,1)内无 零点,在区间(1,e)内有零点 e 3.设函数 f(x)=2 -x -2x,则在下列区间中不存在 零点的是( ... A.(-3,0) B.(0,3) C.(3,6)
x
2



D.(6,9)

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函数的零点自测题
一.技能演练
1.下列函数中在[1,2]上有零点的是( A. f ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 5 C. f ( x) ? ln x ? 3x ? 6
2



B. f ( x) ? x 3 ? 5x ? 5 D. f ( x) ? e x ? 3x ? 6 )

2.若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一个实根,则 a 的取值范围是( A. (??,?1) B. (1,??) C. (?1,1) D. ?0,1?

3.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,则 f ( x) 在 (1,2) 上零点的个数为 ( ) D.一个也没有

A.至多有一个
x

B.有一个或两个

C.有且只有一个 )

4.函数 f ( x) ? log3 ? x ? 3零点所在大致区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5.已知函数 y ? f ( x) 是R上的奇函数,其零点 x1 , x2 ?? x2007 ,则 x1 ? x2 ? ? ? x2007 = 。 6.一次函数 f ( x) ? mx ? 1 ? m 在[0,1]无零点,则 m 取值范围为 7.函数 f ( x) ? x ? (m ? 2) x ? 5 ? m 有两个零点,且都大于2,求 m 的取值范围。
2

8.判断 x3+3x-1=0 在(0,1)内是否有解。
9.函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 仅有一个零点,求实数 a 的取值范围。
2

10.关于 x 的二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 ,若方程式有两根,其中一根在区间 (?1,0) 内,
2

另一根在(1,2)内,求 m 的范围。

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二.能力提升
1.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的区间是( ) (C) (0,1) (D) (1,2)

(A)(-2,-1) (B) (-1,0)

2.函数 f(x)= 2 x ? 3 x 的零点所在的一个区间是 ( ) (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 3.若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是() A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 3*.已知函数 f (x)在区间 [a,b]上单调,且 f (a)?f (b)<0,则方程 f (x)=0 在区间[a,b] 内( ). A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一实根 4.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( A.无穷多 B. 3 C. 1 ) D. 0

5.如果二次函数 y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( ) A. ?? 2,6?
3

B. ?? 2,6?

C. ?? 2,6?

D. ? ??, ?2? )

?6, ???

6.函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2
x

C. 3

D. 4
x

7.设 f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( ) A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定 )

2 8.直线 y ? 3 与函数 y ? x ? 6 x 的图象的交点个数为(

A. 4 个
x

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个 )

9.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, 2) D. (0, ??)

x 提示:作出图象,发现当 a ? 1 时,函数 y ? a 与函数 y ? x ? a 有 2 个交点

10.已知 f ( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下 面命题错误的( ) A.函数 f ( x) 在 (1, 2) 或 ? 2,3? 内有零点 B.函数 f ( x) 在 (3,5) 内无零点
-4-

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C.函数 f ( x) 在 (2,5) 内有零点

D.函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 ( )

11.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1). (B) (1,1.25).

(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

12.已知 x0 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则 1? x
(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0
x

(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

13.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x2 是 10 ? x ? 3 的解,则 x1 ? x2 的值为( C ) A.

3 2

B.

2 3

C. 3

D.

1 3
)

14.函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2] C. [2,3] D. [3, 4]

15.在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, 使 f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( )? 2 2 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

B )

16.若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( ) B.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 D.函数 f ( x ) 在区间 (1,16) 内无零点

A.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点 C.函数 f ( x ) 在区间 ? 2,16? 内无零点 唯一的一个零点必然在区间 (0, 2) 17.求 f ( x) ? 2 x3 ? x ? 1 零点的个数为 ( A. 1
3



B. 2

C. 3
2

D. 4

令 2 x ? x ?1 ? ( x ?1)(2 x ? 2 x ? 1) ? 0 ,得 x ? 1 ,就一个实数根 18.若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为( )
3

A. ? 1

B. ?2

C. ?3

D. ?4

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2015 高考复习 函数部分

二、填空题
19.已知函数 f ( x) ? 3x ? x ? 5 的零点 x0 ??a, b? ,且 b ? a ? 1 , a , b ? N ,则 a ? b ?
?

20.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么下
3

一个有根的区间是



提示: 令 f ( x) ? x3 ? 2x ? 5, f (2) ? ?1 ? 0, f (2.5) ? 2.53 ?10 ? 0 21.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 分别作出 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? 2 的图象; 22.设函数 y ? f ( x) 的图象在 ? a, b? 上连续,若满足 在 ? a, b? 上有实根.
[来源:学#科#网]



,方程 f ( x) ? 0

23.已知函数 f ( x) ? x2 ?1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__ __. 24.函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则这 三个实根的和为 。

1 2

1 2

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