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人教A版高中数学必修一1.1.3第2课时 补集及综合应用(探究式) (共22张PPT)


第一章 集合与函数概念

§1.1.3 集合的基本运算
第二课时 补集及综合应用

高中数学必修1· 精品课件

学习目标
1. 理解全集和补集的概念.(重点)
2. 能使用Venn图表示集合的关系和运算.

3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关系的研究.(难点)

预习清单 知识点一

全集的概念

1.全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 所有 元素, 那么就称这个集合为 全集 (universe set),通常记作 . U

说明:全集是相对于所研究问题而言的一个 相对概念 ,它含有与所 研究问题有关的各个集合的 全部元素 .因此全集因问题而异.

预习清单 知识点二

补集的概念

不属于 集合A的 所有元素 组成 2.补集:对于一个集合A,由全集U中_______ 的集合称为 集合A相对于全集U的补集 (complementaryset),简称

为 集合A的补集,记作
符号语言: Venn图表示: U

.
.

A

合作探究

补集的运算性质

补集的运算性质:若全集为U,A?U,则:

U A

U

典例精讲:题型一:补集的简单运算
[例1](1)设U={x∈N*|x<9},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求?UA, ?UB ; (2)设U={x|-5≤x<-2或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},

B={-3,3,4},则?UA=________,?UB=________; (3) 全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},则?UA=________.
[思路探索] 有限集可借助 Venn 图或者直接写出补集,对于不等式

表示的集合可借助数轴求补集.

典例精讲:题型一:补集的简单运算
[解析] (1)根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 ?UA ={4,5,6,7,8}, ?UB ={1,2,7,8} . (2)方法一: 在集合U中,∵x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
∴U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},

∴?UA={-5,-4,3,4}, ?UB={-5,-4,5}. 方法二:可用Venn图表示 则?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.
U -5 B -4 A -3 3 4 5

典例精讲:题型一:补集的简单运算
(3) 数轴法,如图: 答案: {x|0<x≤2或5≤x<10}

0

2

5

10

x

提示:注意端点的取舍.

题后反思
规律总结:在进行补集的简单运算时,应首先明确全集,对于有限集

合的补集往往可以直接写出,也可以借助Venn图求解,而不等式表示
的集合通常可借助数轴求解,解题时要特别注意端点的取舍.

变式训练:
[变式1]已知全集U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},求
集合B. [思路探索] [解析] 方法一:A={1,3,5,7},UA={2,4,6}, 又 UB={1,4,6}, ∴B={2,3,5,7}.
4 B

方法二:借助Venn图,如图所示,
由图可知B={2,3,5,7}.

U

A 5 1 3 72

6

典例精讲:题型二:集合交、并、补的综合运算
[例2]已知全集U={1,2,3,4,5,6,7} ,集合A={2,4,5}, B={1, 3,5,7}, 求A∪B,A∩B, UA, UB, U(A∪B), U(A∩B).

[解析] A∪B={1,2,3,4,5,7} ,A∩B={5}.
UA ={1,3,6,7},
U(A∪B)

UB={2 , 4 , 6} ,

U A 2 4 5 1 7 6

B 3

={6},

U(A∩B)={1,2,3,4,6,7}.

[性质]

题后反思
规律总结:在补集的交并运算中,下述性质常常用到:

变式训练:
[ 变式 2] 已知全集 U = {x|x≤4} ,集合 A= {x|- 2 < x < 3} , B= {x|-
3≤x≤2},求A∩B,(?UA)∪B,A∩(?UB).

∵A={x|-2<x<3}, [解析] 如图,
B={x|-3≤x≤2}, ∴?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ?UB={x|x<-3,或2<x≤4}.
B -3 -2

U A

2 3 4

x

∴A∩B={x|-2<x≤2}, (?UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};

A∩(?UB)={x|2<x<3}.

题后反思
规律总结:求集合交、并、补运算的方法
有限集 有关集 先确定全集,并将其余集合中的元素一一列举出来,然后

结合交、并、补集的定义来求解.也可借助Venn图来求解,
相对来说直观、形象,不易出错.

合交、
并、补 的运算

常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后
无限集 再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观, 需注意的是端点的取舍问题.

典例精讲:题型三:运用补集思想解题
[例 3]若集合 A= {x|ax2+ 3x+ 2= 0}中至多有 1 个元素,求实数 a 的取 值范围. [ 分析 ] 集合 A中的元素可能有 0 个、 1 个或 2 个三种情况,题目要

求“至多有1个元素”,即集合A中包含0个或1个元素.若采取分
类讨论的策略,所分情况较多,求解比较麻烦,可考虑构造“补

集”:求集合 A中含有 2个元素的情况,然后再求其补集 (不论a取
什么值,集合A都有意义,所以全集U=R).

典例精讲:题型三:运用补集思想解题
[解析] 假设集合A中含有2个元素, 即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根,

题后反思
规律总结:补集思想实质上利用了性质“?U(?UA)=A”解题,也可

称之为“正难则反”的一种解题策略,当某一问题从正面解决比较
困难时,此时如果从反面入手,可能“柳暗花明”,为解题带来突

破.

课堂练习
1.(2013·重庆)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3}, 则 U(A∪B)=( A.{1,3,4} ) B.{3,4} C.{3} D.{4}

[解析] A∪B={1,2,3}, U(A∪B)={4},故选D. [答案] D

课堂练习
2.设全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},则

( UA)∩B=________.
[解析] 由已知, UA={c,d},故( UA)∩B={c,d}. [答案] {c,d}

课堂练习
3.设全集U={2,4a,-(a-3)2},集合A={2,a2-a+2},若 UA={-1},

求实数a的值.
[解析] 解得a=4或a=2. 当a=4时,A={2,14},不满足A?U,故舍去.

当a=2时,A={2,4},满足A?U,符合题意.
综上可知,a的值为2.

归纳小结
1. 补集的概念及其运算性质; 2. 在解决集合的交、并、补运算问题时要注意正确利用数形结合思想; 3. 当问题直接求解较为困难时,可采用“正难则反”的解题策略,利用

补集思想化难为易.


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