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1.1.1命题及其关系


第一章

常用逻辑用语

思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点?你能判 断他们的真假吗?
(1)若直线 a∥b,则直线 a 与直线 b 没有公 共点 . (2)2+4=7.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. 2 (4)若 x =1,则 x=1.

(5)两个全等三角形的面积相

等. (6)3能被2整除. 并且可以判断真假。 语句都是陈述句,

定义: 一般地, 我们把用语言、 符号或式子表达 的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 命题的定义的要点: 能判断真假的陈述句.

判断为真的语句叫做真命题 ? 判断为假的语句叫做假命题 理解: 1)命题定义的核心是判断,切记:判断的标准必须确 定,判断的结果可真可假,但真假必居其一。
?

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题。如何判断一个语句是不是命题?
7是23的约数吗? 2) X>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
1)

疑问句 开语句 祈使句

有些语句中含有变量,在不给定变量的值之前,我们无法 确定这语句的真假,这样的语句叫开语句,以后会专门研 究。

判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否符 合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。
理解:

(2)含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。

看看下列语句是不是命题?
1) 今天天气如何? 不是(疑问句)

2) 你是不是作业没交? 不是(疑问句) 3) 这里景色多美啊! 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。 不是(感叹句) 是(否定陈述句) 是(肯定陈述句) 不是(开语句)

例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. (是,真) (2)若整数a是素数,则a是奇数(是,假) . (3)指数函数是增函数吗?(不是命题)
(4)若平面上两条直线不相交,
则这两条直线平行. (是,真)
2 ( ? 2) ? ?2 (5)

(是,假)

(6)x>15. (不是命题)

练习
(2) x
2

判断下列语句是否是命题 .
? 2 x ? 1 ? 0.

(1)求证 3 是无理数。

(3)你是高二学生吗?

(4)并非所有的人都喜欢苹果。
(5)一个正整数不是质数就是合数。 (6)若

x ? R ,则 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0.

(7)x+3>0. (1)(3)(7)不是命题,(2)(4)(5)(6)是命题。

思考:以前,同学们学习了很多定理、推论, 这些定理、推论是否是命题?

一个定理或推论都是由条件和结论两部分 构成,命题是否也是由条件和结论两部分构成 呢?

“若p则q”形式的命题
从构成来看,所有的命题都具由条件和结 论两部分构成

命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。

p

q

?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命

题的结论。 ?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式, 也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。 ?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点 是太格式化且不灵活.

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:
1) 2)

若整数a能被2整除,则a是偶数; 若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。

解:1) 条件p:整数a能被2整除, 结论q:整数a 是偶数。 2) 条件p:四边形是菱形, 结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。

“若p则q”形式的命题的书写
?

对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先 添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 写成“若p则q”的形式为: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平 面平行。

命题的分类――真命题、假命题的定义.

真命题: 如果由命题的条件 P 通过推理一定可 以得出命题的结论 q,那么这样的命题叫做真 命题. 假命题: 如果由命题的条件 P 通过推理不一定 可以得出命题的结论 q,那么这样的命题叫做 假命题.

怎样判断一个数学命题的真假?

(1)数学中判定一个命题是真命题,要经过 证明. (2)要判断一个命题是假命题,只需举一个 反例即可.

例3 把下列命题改写成“若p则q”的 形式,并判定真假。
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行. (2)负数的立方是负数. (3) 对顶角相等.

练习
1、将命题“a>0时,函数y=ax+b的值随x值的增 加而增加”改写成“p则q”的形式,并判断命题 的真假。 解答:a>0时,若x增加,则函数y=ax+b的值也随之 增加,它是真命题.

在本题中,a>0是大前提,应单独给出, 不能把大前提也放在命题的条件部分内.

教材:P4-练习2

3、把下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断它们的真假.
(1)等腰三角形两腰的中线相等;

(2)偶函数的图象关于y轴对称;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行。

(1)若三角形是等腰三角形,则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。
(2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称,这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。 这是假命题。


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