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2.4.2直线与抛物线


2.4.2

【课前例题】斜率为1的直线经过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的 焦点, 与抛物线交于A、B两点.

?1? 若 AB ? 16 , 求抛物线的方程; 12 ? , ? 2 ? 若点P为 ?1?中抛物线上一动点,点C的坐标为? 7 ,
求点P到C的距离与y轴的距离之和的最小值.

@1)准确求出方程。---常法;弦长公 式或焦点弦性质4.
?

@2)判断点c与抛位置关系---无论内外, 定义转化!(找准线,焦点,当C、P、F共 线时最小。)
2

答: ?1? y

? 8 x;

? 2? 原式 ? 11.

分析: ? 2 ? 如示...
定义

? 准线L:x=-2,易P ? 7,12 ? 在抛C外, 设p到y轴距离为d, ? d+2= PF ,原式 = PC +d= PC + ? PF -2 ? = ? PC + PF ? -2
转化

? 原式 ? CF -2 ?当C、P、F共线时 ? =

13-2=11 , ? 原式 ? 11.

一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离;2、相切;3、相交(一个交点, 两个交点)

y

O

x

二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离,无交点。

例:判断直线 y = x +2与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系

O

x

计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相离。

二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切,交与一点。

例:判断直线 y = x +1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系

O

x

计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相切。

二、判断方法探讨 3、直线与抛物线的对称轴平行,相交于 一点。
例:判断直线 y = 6 y 与抛物线 y2 =4x 的 位置关系

O

计算结果:得到一 x 元一次方程,易解 出交点坐标。

二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行,相交 于两点。 例:判断直线 y = x -1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系

O

计算结果:得到 一元二次方程, x 需计算判别式。 相交。

三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序(一) 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行(重合)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交(一个交点)

相交

相切

相离

三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序(二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)

>0
相交

=0
相切

<0
相离

例 1:(课本第 76 页例 6) 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?

点评 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.

?

例2.在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L: y 4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离。
解:直线与抛物线无交点 设抛物线上一点P( x0 . y0 ) 则y0 2 ? 64x0 4 x0 ? 3 y0 ? 46 4 x0 ? 3 y0 ? 46 d ?| | ? 5 16 ? 9

O

.

F

x

2 y 0 ? 3 y0 ? 46 y0 2 将x0 ? 代入得: 16 d ? 64 5 2 y0 ? 48y0 ? 16? 46 ? , ( y0 ? R) ?当y0 ? ?24时, d min ? 2 80

此时P(9,?24)

设直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 与抛物线相切 另解:
? y 2 ? 64x y2 ? ? 3y ? m ? 0 ? 16 ?4 x ? 3 y ? m ? 0

由? ? 0得 : m ? 36...

例3 若直线y ? kx ? b与抛物线x 2 ? 4 y相交于A、B两点,且 | AB |? 4,

?1? 试用k来表示b; ? 2 ? 求弦AB中点M 离x轴的最短距离.
解:(1)已知直线AB : y ? kx ? b, 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),
A

y B

o

x

? y ? kx ? b 由? 2 消去y, 得x 2 ? 4kx ? 4b ? 0. ?x ? 4 y

? x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4b.?| AB |

= 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4,

1 2 化简得b ? ? k . 2 1? k

(2)显然点M 到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值, 由y ? 0, 故 | y |? y.
y1 ? y2 x12 ? x2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 1 2 2 ?y ? ? ? ? 2k ? b ? k ? 2 8 8 1? k 2 1 ? k ?1? ?1 ? 2 2 1? k
2

? 1 ? ? 1 ? 1. ? k ? 1? ? ? 2 ? ? 1? k ?
2

1 2 当且仅当 ? 1 ? k ,即k ? 0时“ ? ”号成立. 2 1? k

例 4 : 若 抛 物 线 y2 ? x 存 在 关 于 直 线 l : y ? 1 ? m( x ? 1) 对 称的两 点 , 求实 数 m 的取 值范 围. L
P中

设AB中点( P x 0,y0) ? y 0 =-

m , 2 L

1 1 代入L ? x 0 = , 2 m 又P (x 0,y0)在抛物线内部,
3 m ? 2m ? 4 2 故y0 ? x 0 ? ? ? , ? ? 0, m ? m. ? m ? 2 ? . ? m 2 ? 2m ? 2 ? ? 0,

P中

? ?2 ? m ? 0.

L
P中

【变式训练】过点Q ? 4 ,1? 做抛物线y ? 8 x的弦AB , 恰被Q所平分,
2

求AB所在的直线方程.
提示:图略 易判 Q在抛内,点参求AB斜率1, 点斜式即得。

?

如图,一隧道内设双行线公路,其截面由一个长 方形和抛物线构成,为保安全,要求行驶车辆顶 部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之 差至少要有0.5m.若行驶车道总宽度AB为6m, 计算车辆通过隧道的限制高度是多少米?(精确 到0.1m)
?考点:抛物线的应用.

分析:先求出抛物线的解析式,再根据题意判断 该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论.
解:取抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴, 建立直角坐标系,c(4, ? 4),设抛物线方程 x 2 ? ?2py(p>0),将点C代入抛物线方程 得p ? 2, ? 抛物线方程为x 2 ? ?4y,行车道总
O

宽度AB ? 6m, ? 将x ? 3代入抛物线方程, ? y ? ?2.25m, ?限度(界点值)为6 ? 2.25 ? 0.5 ? 3.25。 即h ? 3.2m.

变式:一隧道内设双行线公路,其截面由长方形

的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要 求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直 方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在直线为y轴 ,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程; (2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆 限制高度为多少米?(精确到0.1m) 分析:(1)依题意,选择合适的抛物线解析式x2=-2py( p>0)把有关数据转化为相应点的坐标,即可求得抛物线 的方程; (2)设车辆高h,则得出D(3.5,h-6.5)利用(1)的方 程,将点的坐标代入方程x2=-5y, 即可求出车辆通过隧道的限制高度.

解:如图所示
(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0)
因为点C(5,-5)在抛物线上,所以该抛物线的方程 为x2=-5y (2)设车辆高h,则|DB|=h+0.5,故 D(3.5,h-6.5)代入方程x2=-5y, 解得h=4.05 答:车辆通过隧道的限制高度为4.0米.

C

点评:本题主要考查了二次函数的应用, 在解题时要通过题意画出图形,再根据 所给的知识点求出答案是本题的关键.

【课前例题】 思考1 ? 过抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F,作直线 交抛物线于A,B两点,M 是线段AB的中点, 分别过A,B,M 作其准线l的垂线,垂足分别 为A1 , B1 , M 1 1 ()求证: 1 MM 1 ? AB 2 (2)求证:以AB为直径的圆必与准线相切 (3)证明:A1 F ? B1 F

注@3)平几应用

【提升例题】

思考2 ?@

已知抛物线的顶点在原点,焦点是 圆x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0的圆心F , 如图.

?1? 求抛物线的方程; ? 2 ? 是否存在过圆心F的直线l与抛物线
和圆顺次交于A、B、C、D且使得 AB , 2 BC , CD 成等差数列,若直线l 存在, 求出它的方程;若直线l不存在,说明理由.

1.进一步学习了直线与抛物线的位置关系. 2.学会用函数和方程的思想方法来解决直 线与抛物线相交的有关问题. 3.熟练掌握“设而不求”以及数形结合的 数学思想方法.

作业: 课下: (1)课本P73 A组6、8;B组3; (2)完成…相关题目。


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