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第一章统计案例复习


统计案例复习
一、要点精析 (一)回归分析 1、回归分析是处理变量之间______的一种统计方法,若两个变量之间具有线性 相关关系,则称相应的回归分析为线性回归分析。
^

2、 线性回归方程________, 其中 b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

2

?x
i ?1

,a ? y ? b x

^

^

2 i

称为回归系数,_____称为样本的中心点,回归直线经过样本点的中心。 (二)相关关系与相关检验 1、相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系,如人的身高与年龄,商品的 销售额与广告费等关系都是相关关系,它是一种_____,而不是函数关系。 2、 样本相关系数: 用来对变量 x 与 Y 作相关性检验的统计量, 用 r 来表示。 r=____. 3、r 的性质:具有相关关系的两个变量之间关系的强弱是通过相关系数来衡量 的,当 r>0 时,表明两个变量______;当 r<0 时,表明两个变量____。 | r | 越接 近于 1,表明两个变量的线性相关性越强;| r | 越接近于 0,表明两个变量之间几 乎不存在线性相关关系;通常当 | r | 大于_____时,我们认为两个变量之间存在着 很强的线性相关关系;当 | r | 小于 0.75 时寻求直线没有意义。 4.相关性检验:对变量 x 与 Y 是否线性相关进行的检验称为____。 其步骤如下:作统计假设:①假设 x 与 Y 不具有线性相关关系;②根据小概率 0.05 与 n-2 在附表中查出 r 的一个临界值 r0.05 ;③计算 r 的值;④作统计推断: 若 | r |? r0.05 ,则有_____的把握认为 x 与 Y 具有线性相关关系,即拒绝假设;若

| r |? r0.05 ,则接受假设。
(三)回归效果三个统计量 1、总偏差平方和______,它是所有单个样本值与样本均值的差的平方和,表示 的是总的效应。 2、 残差平方和: 数据点与它在回归直线上的相应位置的差异称为残差 ei ? yi ? yi , 将所得的残差值平方相加得___,称之为残差平方和,代表了随机误差的效应。 3、回归平方和:_____,它是解释变量的效应。 (四)残差分析的方法 1、相关指数法,可以用相关指数 R 2 来刻画回归效果,其计算公式:
^ ^

R 2 =______, R 2 的值越大 ,说明残差平方和越小,模型的拟合效果越好。
1

2、作残差图,如果残差点比较均匀地落在___中,说明选用的模型比较合适,这 样的带状区域越窄, 说明选用模型的拟合精确度越高。由于误差 e 受许多条件的 影响, 也受我们所选用的线性模型的影响,因此线性模型往往只是一种近似的模 型。 (五)2×2 列联表 1、 含义: 用于检验 2×2 列联表中的两个事件 A 与 B 是否独立的一种统计学中常 用的检验方法,称为____。 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为 {x1 , x2 } 和 { y1 , y2 } ,其样 本的频数列联表(2×2 列联表)为: y1

y2
b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

x1 x2 总计

a c a+c

若要推断的论述为 H1 : “X 与 Y 有关系” ,可以按如下步骤判断 H1 产量的可能性: (1)通过________可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这种判断无 法精确地给出所得结论的可靠程度。 ①在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高的乘积 ad 与副对角线上两个柱形高 的乘积 bc 相乘越大, H1 成立的可能性就越大。 ②在二维条形图中,可以估计图形满足 X= x1 的个体中具有 Y= y1 的个体所占的比 例_________,也可以估计满足条件 X= x2 的个体中具有 Y= y1 的个体所占的比例
c ,两个比例相差越大, H1 成立的可能性就越大。 c?d (2)用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种 判断的可靠程度,具体步骤为: ①假设两个分类变量 X 与 Y 无关;

②统计学中一个非常有用的统计量,读作:卡方,计算出随机变量 K 2 的观测值 K=______; ③把 k 的值与临界值比较确定 X 与 Y 有关系的程度。 (3)步骤:统计假设:假设事件 A 与 B 独立,即事件 A 与 B 无关;计算 K 2 的值; 统计决断:若 K 2 >3.841,则有___的把握说事件 A 与 B 有关;若 K 2 >6.635,则 有____的把握说事件 A 与 B 有关;若 K 2 ? 3.841,认为事件 A 与 B 无关。 三、题型解析 类型一 线性回归方程的实际应用 例 1 在某化学试验中,测得如下表所示的 6 组数据,其中 x(min)表示化 学反应进行的时间,y(mg)表示未转化的物质的量

2

x/min y/mg

1 39.8

2 32.2

3 25.4

4 20.3

5 16.2

6 13.3

(1)设 y 与 x 之间具有关系 y ? cd x ,试根据测量数据估计 c 和 d 的值; (2)估计化学反应进行到 10min 时未转化的物质的量。

类型二 独立性检验的应用 例 2 在国家实施西部开发战略前,一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取 1000 人作问卷调查,只有 80 人志愿加入西部建设,而国家公布实施西部开发战 略后,随机抽取 1200 名应届大学毕业生作问卷调查,有 400 人志愿加入国家西 部建设。问实施西部开发战略的公布是否对应届大学毕业生的选择产生影响?

例 3、某同学对一些人进行了喜爱运动与身体健康的关系的调查,在填写列联表 时,不慎写错了几个数据,他一气之下将写错的数全都涂掉了,残表如下: 喜爱运动 不喜爱运动 总计 身体健康 30 A 50 身体不健康 B 10 60 总计 C D E 请问借助这个残表能判断出运动与身体健康有关吗?

类型三 创新探索性问题 例 4、有两个分类变量 X 与 Y,其一组观测值如下面的 2×2 列联表所示: y1 y2

x1 x2

a 15-a

20-a 30+a

其中,a,15-a 均为大于 5 的整数,则 a 取何值时,有 90%的把握认为“X 与 Y 之间有关系”?

3

类型四 综合交汇以及图表信息题 例5.某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系, 随机抽取高 二年级20名学生某次考试成绩(满分100分)如下表所示:

若单科成绩85分以上(含85分),则该科成绩为优秀 (1)根据上表完成下面的2×2列联表(译位:人):

(2)根据题(1)中表格的数据计算,有多大的把握,认为学生的数学成绩与物理 成绩之间有关系?

例 6.某体育训练队共有队员 40 人,下表为跳高、跳远成绩的分布表,成绩 分为 1~5 个档次,例如表中所示跳高成绩为 4 分,跳远成绩为 2 分的队员有 5 人。将全部队员的姓名卡混合在一起,任取一张,该卡队员的跳高成绩为 x,跳 远成绩为 y,设 x,y 为随机变量(注:没有相同姓名的队员) y 跳 远 x 5 4 3 2 1 跳 5 1 3 1 0 1 4 1 0 2 5 1 高 3 2 1 0 4 3 2 1 1 6 0 3 1 0 0 1 1 3 (1)求 x=4 的概率及 x=4 且 y ? 3 的概率; (2)若跳远、跳高成绩相等时的人数分别为 c,d,试问:c,d 是否具有线 性相关关系?若有,求出回归直线方程;若没有,请说明理由。

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