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第三节 三角函数的图象与性质


第三节

三角函数的图象与性质

基础盘查

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

(一)循纲忆知
1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象,了解三角函数 的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大

值和最小值,图象与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间
? π π? ?- , ?内的单调性. ? 2 2?

(二)小题查验
1.判断正误
(1)函数 y=sin x 的图象介于直线 y=1 与 y=-1 之间 ( √ )

π (2)将余弦曲线向右平移 个单位就得到正弦曲线 2
(3)函数
? 3π? y=sin?2x+ 2 ?是奇函数 ? ?

( √ )
( × ) ( × )

π (4)函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ+ (k∈Z) 2

(5)正切函数在整个定义域内是增函数

( × )

2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性是 ( A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数
? π π? ? ? π? ?π B.在?-2,2 ?上是增函数,在?-π,-2 ?和?2,π?上都是减函数 ? ? ? ? ? ?
? ?上是减函数 - π , 0 C.在[0,π]上是增函数,在 ? ? ? ?

)

?π ? ? ? π π? π? D.在?2,π?和?-π,-2?上是增函数,在?-2,2 ?上是减函数 ? ? ? ? ? ?

3.(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)=cos 2x+2sin x 的最大值与最小值 的和是 A.-2 3 C.- 2
2

( B. 0 1 D.- 2
? x=-2?sin ?

)

解析:f(x)=1-2sin x+2sin

1 ?2 3 x- ? + ,所以函数 2? 2

3 f(x)的最大值是 ,最小值是-3,所以最大值与最小值的和是 2 3 - ,故选 C. 2

4 . ( 人教 A 版教材习题改编 ) 函数
? ? ? ? ? π ?x?x≠kπ+ ,k∈Z ? 3 ? ? ? ? ?. ____________________

? π? y =- tan?x+6? + 2 ? ?

的定义域为

考点一 三角函数的定义域与值域 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
正弦、余弦函数的定义域为 R,正切函数的定义域为
? ? ? π ?x?x≠kπ+ ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?;正弦、余弦函数的值域为[-1,1],正切函 ? ?

数的值域为 R.

[题组练透]
1.函数 y= 2sin x-1的定义域为
?π 5π? A.?6, 6 ? ? ? ? π 5π? C.?2kπ+6 ,2kπ+ 6 ?(k∈Z) ? ?

(

)

? π 5π? B.?2kπ+6,2kπ+ 6 ?(k∈Z) ? ? ? π 5π? D.?kπ+6,kπ+ 6 ?(k∈Z) ? ?

1 解析:由 2sin x-1≥0, 得 sin x≥ , 2 π 5π 所以 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 6 6

2.函数

? ? π? π? f(x)=3sin?2x-6 ?在区间?0,2 ?上的值域为 ? ? ? ? ? 3 ? B.?-2,3? ? ? ? 3 3 ? ? ? D.?- ,3? 2 ? ?

(

)

? 3 3? A.?-2,2? ? ? ? 3 3 3 3? ? C.? - , ? 2 2 ? ? ?

解析: 当 故

? ? ? π? π? ? 1 π ? π 5π? x∈?0,2 ?时, 2x- ∈?- 6, 6 ?, sin?2x-6 ?∈?-2,1?, 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? π? ? 3 3sin?2x-6 ?∈?-2,3?, ? ? ? ? ? 3 ? f(x)的值域是?-2,3?. ? ?

即此时函数

3.函数 y=lg(sin 2x)+

? π? ? π ? ?-3, ?∪?0, ? 2 2? ? 2? . ? 9-x 的定义域为____________________

? ?sin 2x>0, 解析:由? 2 ? ?9-x ≥0,

π ? ?kπ<x<kπ+ ,k∈Z, 2 得? ? ?-3≤x≤3.

π π ∴-3≤x<- 或 0<x< . 2 2 ∴函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x
2

? π? ? π ? 的定义域为?-3,2 ?∪?0,2 ?. ? ? ? ?

4.求函数 y=cos x+sin

2

? π? x?|x|≤4 ?的最大值与最小值. ? ?

? π 2 2? ? 解:令 t=sin x,∵|x|≤ ,∴t∈?- , ? . ? 4 2 2? ?

∴y=-t

2

? 1 ?2 5 +t+1=-?t-2? + , 4 ? ?

1- 2 1 5 2 ∴当 t= 时,ymax= ,当 t=- 时,ymin= . 2 4 2 2 ∴函数 y=cos x+sin
2

?? ? π? 1- 5 ? ? x??x?≤4 ?的最大值为 ,最小值为 4 2 ? ?

2

.

[类题通法]

1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借 助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求;

(2)把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;
(3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域;
(4)利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域.

考点二

三角函数的单调性 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
? π ? π 正弦函数的单调递增区间是?-2+2kπ,2+2kπ?(k∈Z),单调 ? ? ?π ? 3π 递减区间是?2 +2kπ, 2 +2kπ?(k∈Z);余弦函数的单调递增区间 ? ?

是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
? π ? π 正切函数的单调递增区间是?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z). ? ?

[典题例析]
写出下列函数的单调区间:
? π? (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ?

(2)y=|tan x|.
? ? π? π? 解:(1)y=sin?-2x+3 ?=-sin?2x-3 ?, ? ? ? ?

它的递增区间是 它的递减区间是

? π? y=sin?2x-3 ?的递减区间, ? ? ? π? y=sin?2x-3 ?的递增区间. ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12
? π 5π? 故所给函数的递减区间为?kπ-12,kπ+12 ?,k∈Z; ? ? ? 5π 11π? 递增区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. ? ?

(2)观察图象(图略)可知, y=|tan
? ? π 递减区间是?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?

? π? x|的递增区间是?kπ,kπ+2 ?, k∈Z, ? ?

[类题通法]

三角函数的单调区间的求法 (1)代换法: 所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当 作一个角 u(或 t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三 角函数的单调区间.

(2)图象法: 函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区 间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,画出三 角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.

[提醒] 求解三角函数的单调区间时, 若 x 的系数为负应先化
为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.

[演练冲关]

1.已知 ω>0,函数 的取值范围是
?1 5? A.?2,4? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?

? ? π? ?π f(x)=sin?ωx+4 ?在?2,π?上单调递减,则 ? ? ? ?

ω )

(
?1 3? B.?2,4? ? ?

D.(0,2)

π ωπ π π π 解析:由 <x<π,ω>0 得, + <ωx+ <ωπ+ ,又 y=sin x 2 2 4 4 4 ?ωπ π π ? 2 +4 ≥2 , ?π 3π? 在?2, 2 ?上递减,所以? ? ? ?ωπ+π≤3π, 4 2 ? 1 5 解得 ≤ω≤ ,故选 A. 2 4

答案:A

2.函数

? 7π π? ?kπ- ,kπ- ?(k∈Z) ? π? 12 12? ? y=cos?2x+ ?的单调递增区间为_______________________ .
?

6?

解析:函数 y=cos x 的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈ π 7π π Z.由 2kπ-π≤2x+ ≤2kπ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ- , 6 12 12 k∈Z.

考点三

三角函数的奇偶性、周期性及对称性 (常考常新型考点——多角探明)

[必备知识]
1.正弦、正切函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
2.正弦、余弦函数的最小正周期为 T=2π,函数 y=Asin(ωx 2π +φ)+b 或 y=Acos(ωx+φ)+b 的周期是 T= ;正切函数的最小 |ω| π 正周期为 T=π,函数 y=Atan(ωx+φ)+b 的周期是 T= . |ω|

π 3.正弦函数 y=sin x 的对称轴是 x=kπ+ ,k∈Z,对称中 2 心为(kπ,0),k∈Z.余弦函数 y=cos x 的对称轴是 x=kπ,k∈Z,
?π ? 对称中心为?2 +kπ,0?,k∈Z,即弦函数的对称轴是过函数的最 ? ?

高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心是图象与 x 轴的交
?kπ ? 点, 即函数的零点; 正切函数没有对称轴, 其对称中心为? 2 ,0?, ? ?

k∈Z.

[多角探明]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正 切函数的图象只是中心对称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性 结合,体会二者的统一.
归纳起来常见的命题角度有: (1)三角函数的周期;

(2)求三角函数的对称轴或对称中心; (3)三角函数对称性的应用.

角度一:三角函数的周期
1.函数 y=-2cos
2?π

?

? + x ?+ 1 4 ? ?



(

)

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D. 最小正周期为 的非奇非偶函数 2

解析:因为 的奇函数.

?π ? y=-cos?2+2x?=sin ? ?

2x,所以是最小正周期为 π

2.(2015· 长沙一模)若函数

? π? f(x)=2tan?kx+3 ?的最小正周期 ? ?

T 满足 1

2或3 . <T<2,则自然数 k 的值为________
π 解析:由题意知,1< k<2,即 k<π<2k.又 k∈N,所以 k =2 或 k=3.

角度二:求三角函数的对称轴或对称中心

π 3.(2015· 揭阳一模)当 x= 时,函数 f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则 4 函数
?3π ? y=f? 4 -x? ? ?

(

)

?π ? A.是奇函数且图象关于点?2,0?对称 ? ?

B.是偶函数且图象关于点(π,0)对称 π C.是奇函数且图象关于直线 x= 对称 2 D.是偶函数且图象关于直线 x=π 对称

π 解析:∵当 x= 时,函数 f(x)取得最小值, 4
?π ? 3π ? ? ∴sin 4+φ =-1,∴φ=2kπ- (k∈Z). 4 ? ? ? ? 3π? 3π? ∴f(x)=sin?x+2kπ- 4 ?=sin?x- 4 ?. ? ? ? ? ?3π ? ∴y=f? 4 -x?=sin(-x)=-sin ? ?

x. π x= 对称. 2

?3π ? ∴y=f? 4 -x?是奇函数,且图象关于直线 ? ?

答案:C

角度三:三角函数对称性的应用

4.(2015· 辽宁五校联考)设偶函数 f(x)= Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)的部分图 象如图所示, △KLM 为等腰直角三角形, ∠KML=90° ,KL=1,则
?1? f?6?的值为 ? ?

( 3 A.- 4 1 C.- 2

)

1 B.- 4 3 D. 4

1 1 解析: 由题意知, 点 M 到 x 轴的距离是 , 根据题意可设 f(x)= cos 2 2
?1? 1 2π 1 ? ? ωx,又由题图知 · = 1 ,所以 ω = π ,所以 f ( x ) = cos π x ,故 f 2 ω 2 ?6?

1 π 3 = cos = . 2 6 4

答案:D

5 .函数 y = cos(3x + φ) 的图象关于原点成中心对称图形,则 φ =

π kπ+ (k∈Z) 2 _______________.

π 解析:由题意,得 y=cos(3x+φ)是奇函数,故 φ=kπ+ 2 (k∈Z).

[类题通法]

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得 最大或最小值;若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时, f(x)=0.
(2)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最 高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检 验 f(x0)的值进行判断.

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(十九)” (单击进入电子文档)

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