当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省江阴市2017届高三数学暑假作业检测试卷(教师版)


江阴市 2017 届高三数学暑假作业检测试卷
卷面总分 160 分 考试时间 120 分钟 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分)
0 1 2} ,则 A ? B ? 1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,,





【答案】 {?1,0} a+i 2.若 (i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是 1-i 【答案】-1 3. (原)已知 a ? (3,4), b ? ( ?1,2 m) , c ? (m, ?4) ,满足 c ? (a ? b) ,则 m ? 【答案】 ▲ .

?

?

?

?

? ?



..

8 3
° °

4. (原)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC = 【答案】 2 3 。



.

? x 2 ? 4 x,x ? 0, 2 5. (原)已知函数f(x)= ? 若f(2-a )>f(a),则实数a的取值范围是 2 4 x x , x ? 0, ?
【答案】(-2,1) 2 2 [解析]由图象知 f(x)在 R 上是增函数,由 f(2-a )>f(a),得 2-a >a,解得-2<a<1.



.

6. (原)若 k∈R,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0 恒有交点, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . [答案]-1≤a≤3 7.已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点,则实数k的值为 [答案] ▲ .

[解析]令 y=f(x2)+f(k-x)=0,得 f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又 f(x)是 R 上的单调函数,故原命题等价为方程 x2=x-k 有唯 一解,由 Δ=0,得 k=

1 4

1 . 4
1 ( x ? 0) 上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 ▲ . x

8.设曲线 y ? e x 在点(0,1)处的切线与曲线 y ? 【答案】 ?1,1?

→ → 9.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB |的最小值为________. 答案 5 解析 方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 DC

=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → → → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x),∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|PA+3PB|的最小值为 5. → → → → → → → → → 方法二 设DP=xDC(0<x<1),∴PC=(1-x)DC,PA=DA-DP=DA-xDC, → → → → 1→ → → 5→ → PB=PC+CB=(1-x)DC+ DA,∴PA+3PB= DA+(3-4x)DC, 2 2 25 → 5 → → → → → → |PA+3PB|2= DA2+2× × (3-4x)DA· DC+(3-4x)2· DC2=25+(3-4x)2DC2≥25, 4 2 → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. x2 y2 9. (原)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c,若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ a b 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 【答案】 3-1. ▲ .

[解析] 直线 y= 3(x+c)过点 F1,且倾斜角为 60° ,所以∠MF1F2=60° ,从而∠MF2F1=30° , 所以 MF1⊥MF2.在 Rt△ MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c, 2c 2c 所以该椭圆的离心率 e= = = 3-1. 2a c+ 3c
2 2 11. (原)已知圆 M: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4 ,点 A 在直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上,若圆 M 上存在两点 B、C,

使得?BAC= 60 ,则点 A 的横坐标的取值范围是 【答案】[1,5] 12. (原)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

0



.

? ?

??

3 ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 6? 5 12 ? ?



.

【答案】

2 10
2

13.(原) 已知正数 x, y 满足: x ? y ? 3 ? xy ,若对任意满足条件的 x, y 都有 ( x ? y ) ? a( x ? y ) ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ? ??, 【解析】 ▲ .

? ?

37 ? 6? ?

? x ? y ? 3 ? xy ?

( x ? y )2 ? ( x ? y )2 ? 4( x ? y ) ? 12 ? 0 ? x ? y ? [6, ??) 4

令 t ? x ? y ? t 2 ? at ? 1 ? 0 在区间 [6, ??) 上恒成立, 即 a ? t ? 在区间 [6, ??) 上恒成立, 又? f ( t ) ? t ?

1 t

1 37 37 ,? a ? 在区间 [6, ??) 上单调递增,? f ( x )最小值 ? f (6) ? , t 6 6

14.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R ,恒有 f ' ( x) ? f ( x) .若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c 2 ? b 2 ) 恒成立,则 M 的最小值为

3 2 2 解析: f ? ? x ? ? 2x ? b ,由题设对任意的 x ? R , 2 x ? b ? x ? bx ? c ,
【答案】
2 即 x ? ?b ? 2? x ? c ? b ? 0 恒成立,所以 ? b ? 2 ? ? 4 ? c ? b ? ? 0 ,从而 c ?
2

b2 ?1 , 4

b2 于是 c ? 1 ,且 c ? 2 ?1 ? b , 4 f ? c ? ? f ? b ? c 2 ? b2 ? bc ? b 2 c ? 2b ? ? 当 c ? b 时,有 M ? , c 2 ? b2 c 2 ? b2 b?c b c ? 2b 1 ? 2? 令 t ? ,则﹣1<t<1, , c b?c t ?1 1 3? ? 而函数 g ? t ? ? 2 ? (﹣1<t<1)的值域是 ? ??, ? ; t ?1 2? ? ?3 ? 因此,当 c ? b 时,M 的取值集合为 ? , ?? ? ; ?2 ? 当 c ? b 时,由(Ⅰ)知,b=± 2,c=2,此时 f(c)﹣f(b)=﹣8 或 0, 3 2 2 2 2 c ﹣b =0,从而 f(c)﹣f(b)≤ (c ﹣b )恒成立; 2 3 3 综上所述,M 的最小值为 . 故答案为: . 2 2 2 2 ? 【思路点拨】 f ? x ? ? 2x ? b ,由题设 x ? ?b ? 2? x ? c ? b ? 0 恒成立,从而(b﹣2) ﹣4(c﹣b)≤0,
3 b2 ? 1 ,由此利用导数性质能求出 M 的最小值为 . 进而 c ? 2 4
二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,并把答案写 在答题纸的指定区域内) 15. (原) (本题满分 14 分) 已知函数 f (x)= sin (2 x +

?

3

)+sin(2 x ?

?

3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

解:(Ⅰ) ∵ f (x)=sin2x ? cos

?
3

? cos2x ? sin

?
3

? sin2x ? cos

?
3

? cos2x ? sin

?
3

? cos2x

2 sin(2x ? ) ,……………………4 分 4 2? ?? 。 ∴函数 f (x) 的最小正周期 T ? ……………………6 分 2 ?? ? ? ? ? ?? (Ⅱ)∵函数 f (x) 在区间 ? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数,………8 分
又 f (?

? sin2x ? cos2x ?

?

?
4

)= ? 1,f (

?

? 4 8?

∴函数 f (x) 在 [ ?

? ?

8

)= 2,f (

?
4

?8 4?

)=1 ,……………………11 分

, ] 的最大值为 4 4

2 ,最小值为-1。……………………14 分

16. (本题满分 14 分) (新)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, O 为菱形 ABCD 对角线的交点,M 为棱 PD 的中点,MA=MC. (1)求证:PB // 平面 AMC; P (2)求证:平面 PBD ? 平面 AMC. M O D A 证明: (1)连结 OM ,因为 O 为菱形 ABCD 对角线的交点, 所以 O 为 BD 的中点,又 M 为棱 PD 的中点,所以 OM // PB ,…… 2 分 又 OM ? 平面 AMC, PB ? 平面 AMC,所以 PB // 平面 AMC; …… 6 分 (2)在菱形 ABCD 中,AC ? BD,且 O 为 AC 的中点, 又 MA ? MC,故 AC ? OM, …… 8 分 而 OM ? BD ? O ,OM,BD ? 平面 PBD, 所以 AC ? 平面 PBD, …… 11 分 又 AC ? 平面 AMC,所以平面 PBD ? 平面 AMC. …… 14 分 O B
(第 16 题)

C

17. (本题满分 14 分) 如图,有一块扇形草地 OMN,已知半径为 R, ?MON ?

?
2

,现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作为儿

童乐园使用,其中点 A、B 在弧 MN 上,且线段 AB 平行于线段 MN (1)若点 A 为弧 MN 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S;

O D C

O B (2) 设 ?A

? 上何处时, ?? , 求 A 在 MN 矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?
M

N A B

解: (1)如图,作 OH ? AB 于点 H,交线段 CD 于点 E,连接 OA、OB,

??AOB ?

?

6



…………2 分

? AB ? 2 R sin OE ? DE ?

?
12

, OH ? R cos

?
12



? ? ? ? O? E ?c Ro s ? s i n ? …………4 分 12 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S ? AB ? EH ? 2R sin ? R ? cos ? sin ? ? R 2 ? 2sin cos ? 2sin 2 ? 12 ? 12 12 ? 12 12 12 ? ?
1 ? AB ? R sin 2 12

?E H? O H ?

? ? 3 ?1 2 ? ? …………6 分 ? R 2 ? sin ? cos ? 1? ? R 6 6 ? 2 ? ?? ? …………7 分 (2)设 ?AOB ? ? ? 0 ? ? ? ? 2? ? 1 ? ? ? 则? AB ? 2 R sin , OH ? R cos , OE ? AB ? R sin 2 2 2 2 ? ? ? ? ? EH ? OH ? OE ? R ? c o s ? s i n? …………9 分 2 2? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? S ? AB ? EH ? 2R sin ? R ? cos ? sin ? ? R 2 ? 2sin cos ? 2sin 2 ? 2 ? 2 2? 2 2 2? ? ? ?? ? ? ? R2 ? sin ? ? cos ? ? 1? ? R2 ? 2 sin ?? ? ? ? 1? …………11 分 4? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? 0, ? ,?? ? ? ? , ? ?? ? ? 即 ? ? 时, …………13 分 4 ?4 4 ? 4 4 2 ? 2?
Sm a x?

?

2 ? 1 R 2 ,此时 A 在弧 MN 的四等分点处

?

答:当 A 在弧 MN 的四等分点处时, Smax ? 18.(原) (本题满分 16 分)

?

2 ?1 R2

?

…………14 分

x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶点 a b 2 5 为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为 . 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点 共线时,试确定直线 l 的斜率.
解: (1)由题意知,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 ,

? 右 焦 点 F

到 直 线 l

的 距 离 为

2c ? 2a 5

?

2 5 , 5

? a ? c ? 1 , ……………………2 分

又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即

a2 a2 2 ? 4 ,所以 c ? ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 3 , c 4

x2 y 2 ? ? 1; ……………………6 分 4 3 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ……………………8 分

? 椭圆 C 的方程为

? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) , ……………………10 分 8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x? ? ? 8 3 3 5 ? ?x ? 0 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ,解得 ? 或? (舍) ,即 P ( , ? ), 5 5 ?1 ?y ? 3 ? ? ?y ? ? 3 3 ? 3 ?4 ? 5 ?
0 ? (?

…………14 分

3 3 ) 3 3 5 . ……………………16 分 ? 直线 l 的斜率 k ? ? 8 2 2? 5 方法二: 由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,由题 A(2, 0) ,显然直线 l ? 2k ? 3 ?x ? ? k? 3 ? ? y ? ? 3( x ? 1) 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立方程组 ? ,解得 ? ,代入椭 ? ? y ? k ( x ? 2) ? y ? ? 3k ? k? 3 ? 3 3 3 3 3 ? 3k 圆解得: k ? 或k ? ? ,又由题意知, y ? . ? 0 得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 2 2 2 k? 3 ? y ? k ( x ? 2) ? 方法三: 由题 A(2, 0) , 显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 联立方程组 ? x 2 y 2 , ?1 ? ? 3 ?4 2 16k 2 2 2 2 得 ? 4k ? 3? x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 , xA ? xP ? , 4k 2 ? 3
所以

?12k 16k 2 8k 2 ? 6 ? 2 ? , yP ? ,当 B, F , P 三点共线时有, kBP ? kBF , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?12k ? 3 2 3 3 3 ? 3 ? 3k 4 k ? 3 即 , 解得 k ? 或k ? ? , 又由题意知, y ? ? ? 0 得k ? 0或k ? ? 3, 2 8k ? 6 2 2 1 k? 3 4k 2 ? 3 3 3 所以 k ? . 2

xP ?

19. (本题满分 16 分) 2 2 已知函数 f(x)=|x -1|+x +kx. (1) 当k=2时,求方程f(x)=0的解; (2) 若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个实数解 x1,x2,求实数 k 的取值范围. [解析] (1) 当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+2x.

①x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,方程化为2x2+2x-1=0,解得x=

-1 ? 3 . -1 ? 3 <1, -1- 3 . 因为0< 所以x= 2 2 2
……………………2分 ……………………4分 ……………………6分

1 ②当x2-1<0,即-1<x<1时,方程化为1+2x=0,解得x=- . 2 1 -1- 3 x=- . 综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x= 或 2 2
(2) 不妨设0<x1<x2<2,

?2 x 2 ? kx-1,|x| ? 1, 因为f(x)= ? 所以f(x)在(0,1]上是单调函数.故f(x)=0在(0,1]上至多有一个 ?kx ? 1,|x| ? 1,
解. 若x1,x2∈(1,2),则x1x2=所以k≤-1; 由f(x2)=0,得k= ……………………10分

1 1 <0,故不符合题意.因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x1)=0,得k=- , x1 2
…………………14分

1 7 ? 7 -2x2,所以- <k<-1.故实数k的取值范围是 ?k |- ? k ? -1} .……………………16分 x2 2 ? 2

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f(x) =-2xlnx+x2-2ax+a2,其中 a>0. (1)设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (2)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. 解:(1)由已知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) g(x)=f '(x)=2(x-1-lnx-a)所以 g'(x)=2-

2 2( x ? 1) ? x x

……………………4 分

当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增………6 分 (2)由 f '(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得 a=x-1-lnx 令 Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx 则 Φ(1)=1>0,Φ(e)=2(2-e)<0 ………8 分

于是存在 x0∈(1,e),使得 Φ(x0)=0,令 a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中 u(x)=x-1-lnx(x≥1) 由 u'(x)=1-

1 ≥0 知,函数 u(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故 0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1 即 x
………12 分

a0∈(0,1) ,当 a=a0 时,有 f '(x0)=0,f(x0)=Φ(x0)=0 再由(Ⅰ)知,f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增

当 x∈(1,x0)时,f '(x)<0,从而 f(x)>f(x0)=0 当 x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,从而 f(x)>f(x0)=0 又当 x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0, 故 x∈(0,+∞)时,f(x)≥0

综上所述,存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. ………16 分


相关文章:
2017届江阴市高三数学暑假作业检测试卷
2017届江阴市高三数学暑假作业检测试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017届江阴市高三数学暑假作业检测试卷 江阴市 2017 届高三数学暑假作业检测试卷卷面总分 ...
2017届高三数学暑假作业检测试卷(含答案)
2017届高三数学暑假作业检测试卷(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。I ...2017届江苏省江阴市高三... 63人阅读 7页 1下载券 建平中学2011届高三数学...
江阴市2016届高三第二学期开学检测试卷(学生版)
江阴市2016届高三第二学期开学检测试卷(学生版)_数学_高中教育_教育专区。江阴市 2016 届高三寒假作业检测数学试卷卷面总分 160 分 参考公式:标准差 s= 考试时间...
江苏省无锡市江阴二中2017届高三10月质检数学试卷(解析...
江苏省无锡市江阴二中2017届高三10月质检数学试卷(解析版).doc_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年江苏无锡市江阴二中高三(上)质检数学 试卷 参考答案与...
江苏省无锡市江阴市南菁高中2016届高考数学一模试卷(解...
江苏省无锡市江阴市南菁高中2016届高考数学一模试卷(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省无锡市江阴市南菁高中2016届高考数学一模试卷(解析版) ...
江苏省无锡市江阴市2016届高三(下)暑假数学试卷(解析版)
(共 17 页) 2015-2016 学年江苏无锡市江阴市高三(下)暑假数学 试卷参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1....
江苏省无锡市江阴市要塞片2017届九年级(上)期中数学试...
江苏省无锡市江阴市要塞片 2017 届九年级 (上) 期中数学试卷(解 析版) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.﹣2 的绝对值是( ...
LDC数学教育(2016.9开学调研)函数导数
(江阴市 2017 届高三数学暑假作业检测试卷 2016.9)19. (本题满分 16 分)...………16 分 (江苏省泰州中学 2017 高三开学摸底考试 2016.9)17.某企业投入...
江苏省无锡市江阴市长泾片2017届九年级(上)期中数学试...
2016-2017年江苏无锡市江阴市长泾片九年级(上)期中数学试 卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所给出的四个选项中,...
江苏省江阴市2017届九年级上12月月考数学试卷含答案
江苏省江阴市2017届九年级上12月月考数学试卷含答案_数学_初中教育_教育专区。12 月初三数学单元检测卷 (满分 130 分,时间 120 分钟) 一、选择题: (本大题...
更多相关标签: