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2010届高三数学全程复习方略:第十三编 算法初步、推理与证明、复数(共51页)


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第十三编 算法初步、推理与证明、复数§13.1 算法与流程图

基础自测 1.以下对算法的描述正确的有 个. ①对一类问题都有效;②算法可执行的步骤必须是有限的;③计算可以一步步地进行

,每一 步都有确切的含义; ④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果. 答案 4 2.任何一个算法都必须有的基本结构是 . 答案 顺序结构 3.下列问题的算法适宜用选择结构表示的是 (填序号). ①求点 P(-1,3)到直线 l:3x-2y+1=0 的距离 ②由直角三角形的两条直角边求斜边 ③解不等式 ax+b>0 (a≠0) ④计算 100 个数的平均数 答案 ③ 4.下列 4 种框图结构中,是直到型循环结构的为 (填序号).

答案 ② 5.(2008·广东理,9)阅读下面的流程图,若输入 m=4,n=3,则输出 a= (注:框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“:=” )

,i=

.

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答案 12 3

例 1 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P(x0,y0)到直线 l 的距离 d,写出其 算法并画出 流程图. 解 算法如下: 第一步,输入 x0,y0 及直线方程的系数 A,B,C. 流程图: 第二步,计算 Z1←Ax0+By0+C. 第三步,计算 Z2←A2+B2.
?1 ?2

第四步,计算 d←

.

第五步,输出 d. 例 2 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种 快捷方式, 某快递公司规定甲、 乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计 算:
?0.6? ? ?100 ? 0.6 ? (? ? 100) ? 0.85 (? ? 100) (? ? 100)

f=

其中 f(单位:元)为托运费, ? 为托运物品的重量(单位:千克).试设计计算费用 f 的算法, 并画出流程图. 解 算法如下: S1 输入 ? ; S2 如果 ? ≤100,那么 f←0.6 ? ;否则 f ←100×0.6+( ? -100)×0.85; S3 输出 f. 流程图为:

例 3 ( 14 分 ) 画 出 计 算 12-22+32-42+ ? 的值的流程图. 解 流程图如下图.

+992-1002

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14 分

1.写出求解一个任意二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的最值的算法. 解 算法设计如下:
4ac ? b 2 第一步,计算 m ← 4a ;

第二步,若 a>0,输出最小值 m; 第三步,若 a<0,输出最大值 m. 2.到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元) ,银行收取一定的手续费,汇款额不超过 100 元,收取 1 元手续费,超过 100 元但不超过 5 000 元,按汇款额的 1%收取,超过 5 000 元, 一律收取 50 元手续费,试用条件语句描述汇款额为 x 元时,银行收取手续费 y 元的过程, 画出流程图. 解 这是一个实际问题,故应先建立数学模型,
?1, ? ?0.01x, ? y= ?50. 0 ? x ? 100 100 ? x ? 5 000 5 000 ? x ? 1 000 000

由此看出,求手续费时,需先判断 x 的范围,故应用选择

结构描述. 流程图如图所示:

3.利用两种循环写出 1+2+3+?+100 的算法,并画出各自的流程图.
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解 直到型循环算法: 第一步:S←0; 第二步:I←1; 第三步:S←S+I; 第四步:I←I+1; 第五步:如果 I 不大于 100,转第三步;否则,输出 S. 相应的流程图如图甲所示.

当型循环算法如下: S1 令 i←1,S←0 S2 若 i≤100 成立,则执行 S3;否则,输出 S,结束算法 S3 S←S+i S4 i←i+1,返回 S2 相应的流程图如图乙所示.

一、填空题 1.算法: S1 输入 n; S2 判断 n 是否是 2,若 n=2,则 n 满足条件,若 n>2,则执行 S3; S3 依次从 2 到 n-1 检验能不能整除 n,若不能整除 n,满足上述条件的是 . 答案 质数 2. 在 算 法 的 逻 辑 结 构 中 , 要 求 进 行 逻 辑 判 断 , 并 根 据 结 果 进 行 不 同 处 理 的 是 哪 种 结 构 . 答案 选择结构和循环结构 3.阅读下面的流程图, 若输入的 a、 b、 c 分别是 21、 32、 75, 则输出的 a、 b、 c 分别是 .

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答案 75,21,32 4.如果执行下面的流程图,那么输出的 S=

.

答案 2 550 5.(2009·兴化市板桥高级中学 12 月月考)如下图的流程图输出的结果为

.

答案 132 6.如图所示,流程图所进行的求和运算是

.

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答案

1 1 1 1 2 + 4 + 6 +?+ 20

7.(2008·山东理,13)执行下边的流程图,若 p=0.8,则输出的 n= 的赋值符号“←” ,也可以写成“=”或“:=” )

.(注:框中

答案 4 8. 若框图所给的程序运行的结果为 S=90 ,那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件 是 .

答案 k≤8 二、解答题
?3x ? 1 ? ?2 ? 5x ( x ? 0) ( x ? 0)

9.已知函数 f(x)=

,写出该函数的函数值的算法并画出流程图.

解 算法如下: 第一步,输入 x. 第二步,如果 x<0,那么使 f(x)←3x-1; 否则 f(x)←2-5x. 第三步,输出函数值 f(x). 流程图如下:

10.写出求过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率的算法,并画出流程图.
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解 由于当 x1=x2 时,过两点 P1、P2 的直线的斜率不存在,只有当 x1≠x2 时,根据斜率公 式 k= 求出,故可设计如下的算法和流程图. 算法如下: 第一步:输入 x1,y1,x2,y2; 第二步:如果 x1=x2,输出“斜率不存在” ,否则, k ← ; 第三步:输出 k. 相应的流程图如图所示:
y 2 ? y1 x2 ? x1 y 2 ? y1 x2 ? x1

1 1 1 1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100 的值的流程图. 11.画出求 + + +?+

解 流程图如图所示:

12.某企业 2007 年的生产总值为 200 万元, 技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一 年增加 5%,问最早哪一年的年生产总值将超过 300 万元?试写出解决该问题的一个算法, 并画出相应的流程图. 解 算法设计如下: 第一步,n←0,a←200,r←0.05. 第二步,T←ar(计算年增量). 第三步,a←a+T(计算年产量). 第四步,如果 a≤300,那么 n←n+1,重复执行第二步. 如果 a>300,则执行第五步. 第五步,N←2 007+n.
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第六步,输出 N. 流程图如下:

方法一

方法二

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§13.2 基本算法语句、算法案例

基础自测 1.下面是一个算法的操作说明: ①初始值为 n←0,x←1,y←1,z←0; ②n←n+1; ③x←x+2; ④y←2y; ⑤z←z+xy; ⑥如果 z>7 000,则执行语句⑦;否则回到语句②继续执行; ⑦打印 n,z; ⑧程序终止. 由语句⑦打印出的数值为 、 . 答案 8 7 682 2.按照下面的算法进行操作: S1 x←2.35 S2 y←Int(x) S3 Print y 最后输出的结果是 . 答案 2 3.读下面的伪代码: Read x If x>0 Then Print x Else Print -x End If 这个伪代码表示的算法的功能是 . 答案 输入一个数,输出其绝对值 4.下面是一个算法的伪代码.如果输入的 x 的值是 20,则输出的 y 的值是

.

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答案 150 5.与下列伪代码对应的数学表达式是 Read n e←0 S←1 For I From 1 To n Step 1 S←S×I e←e+1/S End for Print e 答案
1 1 1 2 ! 3 ! n S=1+ + +?+ !

.

例 1 设计算法,求用长度为 l 的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积.要求输入 l 的值,输出 正方形和圆的面积. 解 伪代码如下: Read l S1←(l×l)/16 S2←(l×l)/(4×3.14) Print S1 Print S2 End
?? x ? 1, ? ?0, ? (14 分)已知分段函数 y= ? x ? 1, x?0 x?0 x?0

例2 出其相应 的函数值,并画出流程图. 解 伪代码如下: 流程图如图所示: Read x If x<0 Then y ←-x+1
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,编写伪代码,输入自变量 x 的值,输

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Else If x=0 Then y←0 Else y←x+1 End If End If Print y End 7分
1 1 1 1 编写一组伪代码计算 1+ 2 + 3 +?+ 000 ,并画出相应的流程图.

例3 解 伪代码如下: i←1 S←0 While i≤1 000 S←S+1/i i←i+1 End While Print S End

流程图如图所示:

1.下面的表述: ①6←p; ②t←3×5+2; ③b+3←5; ④p←((3x+2)-4)x+3; ⑤a←a3;
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⑥x,y,z←5; ⑦ab←3; ⑧x←y+2+x. 其中正确表述的赋值语句有 . (注:要求把正确的表述的序号全填上) 答案 ②④⑤⑧

2.某百货公司为了促销,采用打折的优惠办法: 每位顾客一次购物 ①在 100 元以上者(含 100 元,下同) ,按九五折优惠; ②在 200 元以上者,按九折优惠; ③在 300 元以上者,按八五折优惠; ④在 500 元以上者,按八折优惠. 试写出算法、画出流程图、伪代码,以求优惠价. 解 设购物款为 x 元,优惠价为 y 元,
? x, ? 0.95 x, ? ? ?0.9 x, ?0.85 x, ? ? ?0.8 x, x ? 100 100 ? x ? 200 200 ? x ? 300 300 ? x ? 500 x ? 500

则优惠付款公式为 y=

算法分析: S1 输入 x 的值; S2 如果 x<100,输出 y←x,否则转入 S3; S3 如果 x<200,输出 y←0.95x,否则转入 S4; S4 如果 x<300,输出 y←0.9x,否则转入 S5; S5 如果 x<500,输出 y←0.85x,否则转入 S6; S6 输出 y←0.8x.

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3.某玩具厂 1996 年的生产总值为 200 万元,如果年生产增长率 5%,计算最早在哪一年生产 总值超过 300 万元.试写出伪代码. 解 伪代码如下: n←1 996 p←1.05 a←200 While a≤300 a←a×p n←n+1 End While Print n End

一、填空题 1.伪代码 a←3 b←5 Print a+b 的运行结果是 . 答案 8 2.为了在运行下面的伪代码后输出 y=16,应输入的整数 x 的值是 Read x If x<0 Then y←(x+1)2 Else y←1-x2 End If Print y 答案 -5

.

3.写出下列伪代码的运行结果.

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图1 图2 (1)图 1 的运行结果为 ; (2)图 2 的运行结果为 . 答案 (1)7 (2)6 4.以下给出的是用条件语句编写的一个伪代码,该伪代码的功能是
Read If Else If Else y←2 End If End If Print y End x>3
2

.

x x<3 Then

y←2×x Then

y←x -1

答案

?2 x , ? ?2, ? 2 x ? 1, 求下列函数当自变量输入值为 x 时的函数值 f(x),其中 f(x)= ?

x?3 x?3 x?3

5.下面是一个算法的伪代码,其运行的结果为
S←1 For I From 3 To 99 Step 2 S←S+I End For Print S Read a,b,c m←max(a,b,c) Print m End 我爱 E 课堂 中学资源仅在其中

.

答案 2 500 6.如图所示,该伪代码表示的作用是

.

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答案 求三个数中最大的数 7.如图(1)是某循环流程图的一部分,若改为图(2) ,则运行过程中 I 的值是

.

答案 1 8.图中算法执行的循环次数为
S←0 For I From 2 To 1 000 Step 3 S←S+I End For

.

答案 333 二、解答题 9.用条件语句描述下面的算法流程图.

解 Read x If x<0 Then y←2×x+3
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Else If x>0 Then y←2×x-5 Else y←0 End If End If Print y End 10.请设计一个问题,使得该问题的算法如已知的伪代码所示.
Read a

r← 2 a/2 S← ? ×r×r-a×a Print S End

解 已知圆 O 内有一个边长为 a 的圆的内接正方形,求圆的面积比正方形的面积大多少? 11.有一个算法如下: S1 输入 x; S2 判断 x>0 是:z←1;否:z←-1; S3 z←1+z; S4 输出 z. 试写出上述算法的流程图及相应的伪代码. 解
Read x If x>0 Then z←1 Else z←-1 End If z←z+1 Print z End

12.一个小朋友在一次玩皮球时,偶然发现一个现象:球从某高度落下后,每次都反弹回原
1 1 3 高度的 ,再落下,再反弹回上次高度的 3 ,如此反复.假设球从 100 cm 处落下,那么第 10
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次下落的高度是多少?在第 10 次落地时共经过多少路程?试用伪代码表示其算法. 解 伪代码如图所示:
h←100 s←100 i←2 While i≤10 h←h/3 s←s+2×h i←i+1 End While Print “第 10 次下落的高度为: ”;h Print “第 10 次落地时共经过的路程为: ” ;s End

13.3 合情推理与演绎推理

基础自测 1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○?,按这种 规律往下排,那么第 36 个圆的颜色应是 . 答案 白色 2.数列 1,2,4,8,16,32,?的一个通项公式是 . 答案 an=2n-1 3.已知 a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a33 为 . 答案 3 4.下面使用类比推理恰当的是 . ①“若 a·3=b·3,则 a=b”类推出“若 a·0=b·0,则 a=b”
a?b a b

②“(a+b)c=ac+bc”类推出“ c = c + c ”
a?b a b ③“(a+b)c=ac+bc”类推出“ c = c + c (c≠0)”

④“ (ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 答案 ③ 5.一切奇数都不能被 2 整除, 2100+1 是奇数, 所以 2100+1 不能被 2 整除, 其演绎推理的 “三
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段论”的形式为 . 答案 一切奇数都不能被 2 整除, 2100+1 是奇数, 所以 2100+1 不能被 2 整除.

大前提 小前提 结论

例 1 在数列{an}中,a1=1,an+1= 确吗?说明理由. 解 在{an}中,a1=1,a2= a3=
2a 2 2 ? a2 2a1 2 ? a1

2a n 2 ? an

,n∈N*,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想正

2 =3,

2a3 1 2 2 2 ? a3 5 2 4 = = ,a4= = ,?,

2 n 所以猜想{an}的通项公式 an= ? 1 .

这个猜想是正确的. 证明如下:因为 a1=1,an+1=
1 2a n 2 ? an 1

,

所以

an?1

=

2 ? an 2a n

=

1 an

1 1 1 a a + 2 ,即 n?1 - n = 2 ,

? 1 ? 1 1 ? ? a a n? ? 1 所以数列 是以 =1 为首项, 2 为公差的等差数列,

所以

1 an

1 1 1 2 2 =1+ (n-1)= n+ 2 , 2

所以通项公式 an= n ? 1 . 例 2 已知 O 是△ABC 内任意一点,连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A′,B′,C′,则
OA' OB' OC' AA' + BB' + CC' =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. OA' OB' OC' S ?OBC S ?OCA S ?OAB S ?ABC AA' + BB' + CC' = S ?ABC + S ?ABC + S ?ABC = S ?ABC =1,

请运用类比思想,对于空间中的四面体 V—BCD,存在什么类似的结论?并用体积法证明. 证明 在四面体 V—BCD 中,任取一点 O,连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、 F、G、H 点.
OE OF OG OH

则 VE + DF + BG + CH =1. 在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中:
1 S ?BCD ? h1 3 VO?BCD OE h1 1 S ?BCD ? h VE = h = 3 = VV ?BCD .

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OF VO?VBC OG VO?VCD OH VO?VBD V V 同理有: DF = D?VBC ; BG = B?VCD ; CH = VC ?VBD , OE OF OG OH ∴ VE + DF + BG + CH

=

VO?BCD ? VO?VBC ? VO?VCD ? VO?VBD VV ?BCD

=

VV ?BCD VV ?BCD
a

=1.

例3

x (14 分)已知函数 f(x)=- a ? a (a>0 且 a≠1) ,

?1 1? ? ,? ? (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点 ? 2 2 ? 对称;

(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. (1)证明 函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y) ,它关于点 为(1-x,-1-y). 2 分
a
x 由已知得 y=- a ? a ,

?1 1? ? ,? ? ?2 2?

对称的点的坐标

a
x

ax
x

则-1-y=-1+ a ? a =- a ? a , 3分
a
a

a

f(1-x)=- a
a ? ax
x

1? x

? a =- a x

? a

ax
x

=- a ? a ? a =- a ? a , 5分 ∴-1-y=f(1-x).
?1 1? ? ,? ? 即函数 y=f(x)的图象关于点 ? 2 2 ? 对称.

7分 (2)解 由(1)有-1-f(x)=f(1-x) , 即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 14 分

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bx ? 1 1 2 ( ax ? 1 ) 1.已知 f(x)= (x≠- a ,a>0),且 f(1)=log162,f(-2)=1.

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=[1-f(1)] [1-f(2)]?[1-f(n)] ,试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项. 解
1 (1)把 f(1)=log162= 4 ,f(-2)=1,

1 ? b ?1 ? ? 2 4 ? (a ? 1) ? ? ? 2b ? 1 ? 1 ? (1 ? 2a ) 2 代入函数表达式得 ? ,
2 ? ?4b ? 4 ? a ? 2a ? 1 ? 2 ? ?? 2b ? 1 ? 4a ? 4a ? 1

整理得

,解得

?a ? 1 ? ?b ? 0

,

1

于是 f(x)= ( x ? 1) (x≠-1).
1 3 (2)x1=1-f(1)=1- 4 = 4 ,
1? ? 1? 2 ? 3 2 ?1 ? ? ?1 ? ? 5 x2= 4 × ? 9 ? = 3 ,x3= 3 × ? 16 ? = 8 , 1 ? ? 5 ?1 ? ? 3 25 ?= 5 . x4= 8 × ?

2

3 4 5 6 4 6 8 10 (3) 这里因为偶数项的分子、 分母作了约分, 所以规律不明显, 若变形为 , , , , ?,
n?2 2 ( 便可猜想 xn= n ? 1) .
S ?OM 1N1

2.如图 1,若射线 OM,ON 上分别存在点 M1,M2 与点 N1,N2,则

S ?OM 2 N 2

=

OM 1 OM 2

·

ON1 ON 2



如图 2,若不在同一平面内的射线 OP,OQ 和 OR 上分别存在点 P1,P2,点 Q1,Q2 和点 R1, R2,则类似的结论是什么?这个结论正确吗?说明理由.

VO ? P1Q1R1

解 类似的结论为:

VO ? P2Q2 R2

=

OP 1 OP2

·

OQ1 OQ2

·

OR1 OR2

.

这个结论是正确的,证明如下: 如图,过 R2 作 R2M2⊥平面 P2OQ2 于 M2,连 OM2. 过 R1 在平面 OR2M2 作 R1M1∥R2M2 交 OM2 于 M1, 则 R1M1⊥平面 P2OQ2.
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VO?P 1Q 1R 1

1 S = 3 ?P1OQ1 ·R1M1

1 1 3 = · 2 OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1 1 = 6 OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1,

同理,

VO? P2Q2 R2

1 = 6 OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.
OP 1 ? OQ1 ? R1M 1 OP2 ? OQ2 ? R2 M 2 R1M 1 R2 M 2

VO ? P1Q1R1

所以

VO ? P2Q2 R2

=

.

由平面几何知识可得
VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

=

OR1 OR2

.

所以

=

OP 1 ? OQ1 ? OR1 OP2 ? OQ2 ? OR2
2x ?1

.所以结论正确.

x 3.已知函数 f(x)= 2 ? 1 (x∈R) ,

(1)判定函数 f(x)的奇偶性; (2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明. 解 (1)对 ? x∈R 有-x∈R,
2?x ? 1 1? 2x 2x ?1
?x

并且 f(-x)= 2

? 1 = 1 ? 2 x =- 2 x ? 1 =-f(x) ,

所以 f(x)是奇函数. (2)f(x)在 R 上单调递增,证明如下: 任取 x1,x2∈R,并且 x1>x2,
2 x1 ? 1 2 x2 ? 1
x x f(x1)-f(x2)= 2 1 ? 1 - 2 2 ? 1

(2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? (2 x2 ? 1)( 2 x1 ? 1)

=

(2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) 2(2 x1 ? 2 x2 )

x1 x2 = (2 ? 1)(2 ? 1) .
x x

∵x1>x2,∴ 2 1 > 2 2 >0,
x x x x ∴ 2 1 - 2 2 >0, 2 1 +1>0, 2 2 +1>0.

2(2 x1 ? 2 x2 )
x1 x2 ∴ (2 ? 1)(2 ? 1) >0.

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∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在 R 上为单调递增函数.

一、填空题
7 5 9 8 13 9 b?m b 1. 由 10 > 8 , 11 > 10 , 25 > 21 , ? 若 a > b > 0,m > 0 , 则 a ? m 与 a 之 间 的 大 小 关 系

为 答案

.
b?m b a?m > a

2.已知 a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,猜想 an 的表达式为 答案 an=n2
b

.

3.已知 f(x)=x2 008+ax2 007- x

2 009

-8,f(-1)=10,则 f(1)=

.

答案 -24 4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a” ;②“ (m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c” ; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“ (a·b) ·c=a· (b·c) ” ;④“t≠0,mt=xt ? m=x”类比得
ac a ? bc 到 “p≠0,a· p=x· p a=x” ;⑤ “|m· n|=|m|· |n|” 类比得到 “|a· b|=|a|· |b|” ; ⑥ “ =b ” a?c a b 类比得到“ ? c = b ”.

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 . 答案 2 5.下列推理是归纳推理的是 (填序号). ①A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 ②由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式
x2

③由圆 x2+y2=r2 的面积 ? r2,猜想出椭圆 a

2

?

y2 b 2 =1 的面积 S= ? ab

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 ② 6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?则第 60 个数对是 . 答案 (5,7)
AE AC 7.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比 EB = BC ,把这个结论类比到

空间:在三棱锥 A—BCD 中(如图所示) ,而 DEC 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相交于 E, 则得到的类比的结论是 .

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答案 8.(2008·金陵中学模拟)现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个 边长都是 a 的正方形, 其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积
a2 恒为 4 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则

AE S ?ACD EB = S ?BCD

这两个正方体重叠部分的体积恒为

.

答案 二、解答题 9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由“平行四边形对边相等”得出平行六 面体的相关性质. 解 如图所示,

a3 8

由平行四边形的性质可知 AB=DC,AD=BC, 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 我们猜想: S ? ABCD =S ? A1B1C1D1 ,S ? ADD1 A1 =S ? BCC1B1 , S ? ABB1 A1 =S ? CDD1C1 , 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知,此猜想是正确的. 10.已知梯形 ABCD 中,AB=DC=AD,AC 和 BD 是它的对角线.用三段论证明:AC 平分∠BCD, BD 平分∠CBA. 证明 (1)两平行线与第三直线相交,内错角相等(大前提) ∠BCA 与∠CAD 是平行线 AD,BC 被 AC 所截内错角(小前提) 所以,∠BCA=∠CAD(结论) (2)等腰三角形两底角相等(大前提) △CAD 是等腰三角形,DA=DC(小前提) 所以,∠DCA=∠CAD(结论) (3)等于同一个量的两个量相等(大前提) ∠BCA 与∠DCA 都等于∠CAD(小前提)
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所以,∠BCA=∠DCA(结论) (4)同理,BD 平分∠CBA. 11.如图所示,点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM⊥BB1 交 AA1 于点 M, PN⊥BB1 交 CC1 于点 N. (1)求证:CC1⊥MN; (2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面 所成的二面 角之间的关系式,并予以证明. 证明 (1)∵PM⊥BB1,PN⊥BB1, ∴BB1⊥平面 PMN.∴BB1⊥MN. 又 CC1∥BB1,∴CC1⊥MN. (2)在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 S ABB 1 A1 =S BCC1B1 +S ACC1 A1 -2S BCC1B1 S ACC1 A1 cos ? . 其中 ? 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角. ∵CC1⊥平面 PMN, ∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中, ∵PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP ∴PM2·CC 1 =PN2·CC 1 +MN2·CC 1 -2(PN·CC1) · (MN·CC1)cos∠MNP, 由于 S BCC1B1 =PN·CC1,S ACC1 A1 =MN·CC1, S ABB1 A1 =PM·BB1=PM·CC1, ∴S ABB 1 A1 =S BCC1B1 +S ACC1 A1 -2S BCC1B1 ·S ACC1 A1 ·cos ? . 12.已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一 点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P
x2
2
2 2 2 2 2 2

2

2

2

的位置无关的定值.试对双曲线 a

?

y2 b 2 =1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. x2 y2 b 2 =1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线

解 类似的性质为:若 M、N 是双曲线 a

2

?

上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积 是与点 P 的位置无关的定值. 证明如下: 设点 M、P 的坐标分别为(m,n) , (x,y) ,则 N(-m,-n). 因为点 M(m,n)在已知双曲线上,
b2
2

b2
2

所以 n2= a m2-b2.同理 y2= a x2-b2.
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2 2 y?n y?n y ?n 2 2 则 kPM·kPN = x ? m · x ? m = x ? m

b2

x2 ? m2

b2

2 2 2 2 = a · x ? m = a (定值).

§13.4 直接证明与间接证明

基础自测 1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 答案 充分
1 b 2.若 a>b>0,则 a+

条件.

1 b+ a .(用“>”,“<”,“=”填空)

答案 > 3.要证明 3 + 7 <2 5 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 (填序号).

①反证法 ②分析法 ③综合法 答案 ② 4.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、 c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是 . ①假设 a、b、c 都是偶数 ②假设 a、b、c 都不是偶数 ③假设 a、b、c 至多有一个偶数 ④假设 a、b、c 至多有两个偶数 答案 ② 5.设 a、b、c∈(0,+∞) ,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R 同时 大于零”的 条件. 答案 充要

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例1 证明 ∵a,b,c>0,根据基本不等式,
a2 b2 c2 有 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c.

a2 b2 c2 ? ? c a ≥a+b+c. 设 a,b,c>0,证明: b

a2 b2 c2 三式相加: b + c + a +a+b+c≥2(a+b+c). a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c.
a2 ?

例 2 (14 分)已知 a>0,求证:
a2 ?

1 a 2 - 2 ≥a+ a -2.

1

证明 要证
a2 ?

1 a 2 - 2 ≥a+ a -2,

1

只要证

1 1 a 2 +2≥a+ a + 2 .
2

2分

? 2 1 ? ? a ? 1 ? 2? 2 ? ? a ? ? ∵a>0,故只要证 ≥(a+ a + 2 )2,

6分

1

即 a2+ a +4
1
2

2

a2 ?

1 a 2 +4

1? ? ?a ? ? a? ? 2 ≥a2+2+ a +2 +2,
a2 ? 1 1? ? ?a ? ? a? a2 ≥ 2 ? ,

8分

从而只要证 2
? 2 1 ? ?a ? 2 a 只要证 4 ?

10 分

? 1 1 ? ? ? ≥2(a2+2+ a 2 ),即 a2+ a 2 ≥2,而该不等式显然成立,

故原不等式成立. 例 3 若 x,y 都是正实数,且 x+y>2,
1? x 1? y y 求证: <2 与 x <2 中至少有一个成立.

14 分

证明

1? x 1? y y 假设 <2 和 x <2 都不成立,

1? x 1? y y 则有 ≥2 和 x ≥2 同时成立,

因为 x>0 且 y>0, 所以 1+x≥2y,且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 相矛盾,
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1? x 1? y y 因此 <2 与 x <2 中至少有一个成立.

1.已知 a,b,c 为互不相等的非负数. 求证:a2+b2+c2> abc ( a + b + c ). 证明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac. 又∵a,b,c 为互不相等的非负数, ∴上面三个式子中都不能取“=” , ∴a2+b2+c2>ab+bc+ac,
2 2 ∵ab+bc≥2 ab c ,bc+ac≥2 abc , 2 ab+ac≥2 a bc ,

又 a,b,c 为互不相等的非负数, ∴ab+bc+ac> abc ( a + b + c ), ∴a2+b2+c2> abc ( a + b + c ).
1 ?? 1? ? 25 ? a ? ?? b ? ? a ?? b? ? 2.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,试用分析法证明不等式 ≥ 4 .

证明

1 ?? 1? ? 25 ? a ? ?? b ? ? a ?? b? ? 要证 ≥ 4 ,

a2 ? b2 ? 1 25 ab 只需证 ab+ ≥ 4 ,

只需证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0, 只需证 4(ab)2+8ab-25ab+4≥0, 只需证 4(ab)2-17ab+4≥0,
1 1 4 即证 ab≥4 或 ab≤ ,只需证 ab≤ 4 , 1 ab 而由 1=a+b≥2 ,∴ab≤ 4 显然成立,
1 ?? 1? ? 25 ? a ? ?? b ? ? a ?? b? ? 所以原不等式 ≥ 4 成立.

1 3.已知 a、b、c∈(0,1) ,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 4 .

证明 方法一

1 假设三式同时大于 4 ,

1 1 1 4 4 即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> 4 ,
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∵a、b、c∈(0,1),
1 64 ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a> .
?1? a ? a ? 1 ? ? 2 ? ? 又(1-a)a≤ =4,
2

1 1 4 同理(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ 4 , 1 ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ 64 ,

这与假设矛盾,故原命题正确. 方法二
1 假设三式同时大于 4 ,

∵0<a<1,∴1-a>0,
1 1 (1 ? a) ? b ( 1 ? a ) b 2 ≥ > 4 =2,

同理

(1 ? b) ? c 1 (1 ? c) ? a 1 2 2 >2, >2,

3 3 三式相加得 2 > 2 ,这是矛盾的,故假设错误,

∴原命题正确.

一、填空题
3 3 1.(2008·南通模拟)用反证法证明“如果 a>b,那么 a > b ”假设内容应是 3

.

答案

a =3 b 或3 a <3 b
? ? ? ? ,则 p,q 的大小关系
2

? 1 a2 ? b2 ? ? a? b 2.已知 a>b>0,且 ab=1,若 0<c<1,p=logc 2 ,q=logc ?

是 . 答案 p<q 3.设 S 是至少含有两个元素的集合.在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈S,对 于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应) .若对任意的 a,b∈S,有 a*(b*a)=b, 则对任意的 a,b∈S,下列恒成立的等式的序号是 . ①(a*b)*a=a ②[a*(b*a)]*(a*b)=a ③b*(b*b)=b ④(a*b)*[b*(a*b)]=b 答案 ②③④ 4.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值, 则△A1B1C1
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是 三角形,△A2B2C2 是 三角形.(用“锐角” 、 “钝角”或“直角” 填空) 答案 锐角 钝角 5.已知三棱锥 S—ABC 的三视图如图所示:在原三棱锥中给出下列命题: ①BC⊥平面 SAC;②平面 SBC⊥平面 SAB;③SB⊥AC. 其中正确命题的序号是 .

答案 ① 6.对于任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论: ①对于任意实数 a,b,c,有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c); ②对于任意实数 a,b,c,有 a*(b*c)=(a*b)*c; ③对于任意实数 a,有 a*0=a,则以上结论正确的是 .(写出你认为正确的结 论的所有序号) 答案 ②③ 二、解答题 7.已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并且 Sn+1=4an+2(n=1,2,?) ,a1=1. (1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,?),求证:数列{bn}是等比数列;
an
n (2)设 cn= 2 (n=1,2,?),求证:数列{cn}是等差数列;

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式. (1)证明 ∵Sn+1=4an+2, ∴Sn+2=4an+1+2,两式相减,得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即 an+2=4an+1-4an, 变形得 an+2-2an+1=2(an+1-2an) ∵bn=an+1-2an(n=1,2,?),∴bn+1=2bn. 由此可知,数列{bn}是公比为 2 的等比数列. (2)证明 由 S2=a1+a2=4a1+2,a1=1. 得 a2=5,b1=a2-2a1=3.故 bn=3·2n-1.
an

∵cn= 2 (n=1,2,?),
an?1

n

∴cn+1-cn= 2 - 2 = 将 bn=3·2n-1 代入得
3 cn+1-cn= 4 (n=1,2,?),
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n?1

an
n

an?1 ? 2an 2
n?1

bn

=2

n?1

.

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3 由此可知,数列{cn}是公差为 4 的等差数列, a1 1 3 1 2 4 2 它的首项 c1= = ,故 cn= n- 4 (n=1,2,?).

(3)解

3 1 1 4 ∵cn= n- 4 = 4 (3n-1).

∴an=2n·cn=(3n-1)·2n-2 (n=1,2,?) 当 n≥2 时,Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2. 由于 S1=a1=1 也适合于此公式, 所以{an}的前 n 项和公式为 Sn=(3n-4) ·2n-1+2. 8.设 a,b,c 为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:I2<4S. 证明 由 I2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) =a2+b2+c2+2S, ∵a,b,c 为任意三角形三边长, ∴a<b+c,b<c+a,c<a+b, ∴a2<a(b+c),b2<b(c+a),c2<c(a+b) 即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0 ∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0 ∴a2+b2+c2<2S ∴a2+b2+c2+2S<4S. ∴I2<4S. 9.已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1.
1 求证: (1)a2+b2+c2≥ 3 ;

(2) 3a ? 2 +

3b ? 2 + 3c ? 2 ≤6.

1

证明 (1)方法一
1 = 3 (3a2+3b2+3c2-1)

a2+b2+c2- 3

1 = 3 [3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2] 1 = 3 (3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc) 1 = 3 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0 1

∴a2+b2+c2≥ 3 . 方法二 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1
1 ∴a2+b2+c2≥ 3 .
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方法三

1 1 1 ? ? 设 a= 3 + ,b= 3 + ,c= 3 + ? .

∵a+b+c=1,∴ ? + ? + ? =0
1 1 1 ? ? 3 3 ∴a2+b2+c2=( + )2+( + )2+( 3 + ? )2 1 2 = 3 + 3 ( ? + ? + ? )+ ? 2+ ? 2+ ? 2 1 1 ? ? = 3 + ? 2+ 2+ 2≥ 3 1 ∴a2+b2+c2≥ 3 .

(2)∵ 3a ? 2 = (3a ? 2) ? 1 ≤ 同理 3b ? 2 ≤

3a ? 2 ? 1 3a ? 3 2 = 2 ,

3b ? 3 3c ? 3 2 , 3c ? 2 ≤ 2 3(a ? b ? c) ? 9 2 =6

∴ 3a ? 2 + 3b ? 2 + 3c ? 2 ≤ ∴原不等式成立.

x?2 10.已知函数 y=ax+ x ? 1 (a>1).

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 证明 (1)任取 x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,由于 a>1, ∴a ∴a
x2 ? x1

>1 且 a 1 >0,
x x1

x

x2

-a 1 =a

(a

x2 ? x1

-1)>0.

又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴ =
x2 ? 2 x2 ? 1

-

x1 ? 2 x1 ? 1

=

( x 2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

3( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

>0,
x2 x1

于是 f(x2)-f(x1)=a -a + >0, 故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)方法一 假设存在 x0<0 (x0≠-1)满足 f(x0)=0, 则a
x0

x2 ? 2 x2 ? 1

x1 ? 2 x1 ? 1

=-

x0 ? 2 x0 ? 1

.
x0

∵a>1,∴0<a ∴0<x0 ? 2 x0 ? 1

<1,

1 <1,即 2 <x0<2,
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与假设 x0<0 相矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 方法二 假设存在 x0<0 (x0≠-1)满足 f(x0)=0, ①若-1<x0<0,则 <-2,a ∴f(x0)<-1,与 f(x0)=0 矛盾.
x0 ? 2 x0 ? 1
x

x0 ? 2 x0 ? 1

x0

<1,

②若 x0<-1,则 >0,a 0 >0, ∴f(x0)>0,与 f(x0)=0 矛盾, 故方程 f(x)=0 没有负数根. §13.5 数学归纳法

基础自测
1 ? a n? 2 1.用数学归纳法证明: “1+a+a2+?+an+1= 1 ? a (a≠1)”在验证 n=1 时,左端计算所得的项

为 . 答案 1+a+a2 2.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立,则下 列结论正确的是 (填序号). ①P(n)对 n∈N*成立 ②P(n)对 n>4 且 n∈N*成立 ③P(n)对 n<4 且 n∈N*成立 ④P(n)对 n≤4 且 n∈N*不成立 答案 ④
n4 ? n2 3. 用数学归纳法证明 1+2+3+ ? +n2= 2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加

上 . 答案 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2
1 1 1 1 2 4.已知 f(n)= n + n ? 1 + n ? 2 +?+ n ,则下列说法有误的是

.

1 1 ①f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= 2 + 3 1 1 1 ②f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= 2 + 3 + 4 1 1 ③f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= 2 + 3 1 1 1 ④f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= 2 + 3 + 4

答案 ①②③ 5. 用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题 “ 当 n 是 正 奇 数 时 , xn+yn 能 被 x+y 整 除 ” ,在第二步 时, . 答案 假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立
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例 2 用数学归纳法证明:
1 1 1 n (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 1 ? 3 3 ? 5 n∈N*时, + +?+ = .

1 1 1 右边= 2 ?1 ? 1 = 3 ,左边=右边,

1

证明 (1)当 n=1 时,左边= 1? 3 = 3 ,

所以等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即有
1 1 1 k 1? 3 + 3 ? 5 +?+ (2k ? 1)( 2k ? 1) = 2k ? 1 ,

则当 n=k+1 时,
1 1 1 1 1? 3 + 3 ? 5 +?+ (2k ? 1)( 2k ? 1) + (2k ? 1)(2k ? 3) k(2k ? 3) ? 1 1 k ( 2 k ? 1 )( 2 k ? 3 ) ( 2 k ? 1)(2k ? 3) 2k ? 1

=

+

=

=

2k 2 ? 3k ? 1 (2k ? 1)( 2k ? 3)

k ?1 k ?1 = 2k ? 3 = 2(k ? 1)? 1 ,

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1) (2)可知,对一切 n∈N*等式都成立. 例 2 试证:当 n 为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9 能被 64 整除. 证明 方法一 (1)当 n=1 时,f(1)=34-8-9=64, 命题显然成立. (2)假设当 n=k (k≥1,k∈N*)时, f(k)=32k+2-8k-9 能被 64 整除. 由于 32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1) 即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1) ∴n=k+1 时命题也成立. 根据(1) (2)可知,对任意的 n∈N*,命题都成立. 方法二 (1)当 n=1 时,f(1)=34-8-9=64,命题显然成立. (2)假设当 n=k (k≥1,k∈N*)时,f(k)=32k+2-8k-9 能被 64 整除. 由归纳假设,设 32k+2-8k-9=64m(m 为大于 1 的自然数),将 32k+2=64m+8k+9 代入到 f(k+1) 中得 f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1), ∴n=k+1 时命题成立. 根据(1) (2)可知,对任意的 n∈N*,命题都成立. 例3
1 1 1 3 5 2 n 用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式(1+ ) (1+ )?(1+ ? 1 )

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2n ? 1 > 2 均成立.

证明 ∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k (k≥2,且 k∈N*)时不等式成立,
2k ? 1 1 1 1 3 5 2 k ? 1 即(1+ ) (1+ )?(1+ )> 2 .

5 1 4 (1)当 n=2 时,左边=1+ 3 = 3 ;右边= 2 .

则当 n=k+1 时,
1 1 1 1 [1 ? ] 2 ( k ? 1) ? 1 (1+ 3 ) (1+ 5 )?(1+ 2k ? 1 )>
4k 2 ? 8k ? 4 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2 > 2 · 2k ? 1 = 2 2k ? 1 = 2 2k ? 1 4k 2 ? 8k ? 3

2k ? 3 2k ? 1

2(k ? 1) ? 1



2 2k ? 1

=

2 2k ? 1

=

2

.

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1) (2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 例 4 (16 分)已知等差数列{an}的公差 d 大于 0,且 a2,a5 是方程 x2-12x+27=0 的两根,数
1 bn 列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1- 2 .

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,试比较
?a 2 ? a 5 ? 12 ? ?a 2 a 5 ? 27

1 bn

与 Sn+1 的大小,并说明理由.

解 (1)由已知得
a5 ? a 2 ∴d= 3

,

又∵{an}的公差大于 0,∴a5>a2,∴a2=3,a5=9.
9?3

= 3 =2,a1=1.∴an=2n-1.

2分

1 2 2 ∵Tn=1- bn,∴b1= 3 , 1 当 n≥2 时,Tn-1=1- 2 bn-1, 1 1 2 ∴bn=Tn-Tn-1=1- bn-(1- 2 bn-1), 1

化简,得 bn= 3 bn-1,
2 1 ∴{bn}是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列,
?1? 2 ? ? 即 bn= 3 · ? 3 ?
n ?1

2
n =3 ,

4分
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2

∴an=2n-1,bn= 3 .
n[1 ? (2n ? 1)] 2 (2)∵Sn= =n2,

n

5分

∴Sn+1=(n+1)2, 以下比较
1 bn

1 bn

3n = 2 .

6分

与 Sn+1 的大小:
1 b1
1 b2 1 b3

当 n=1 时, 当 n=2 时,

1 3 b = 2 ,S2=4,∴ 1 <S2, 1 9 b = 2 ,S3=9,∴ 2 <S3,

1 27 b 当 n=3 时, = 2 ,S4=16,∴ 3 <S4, 1 81 1 b4 b4 2

当 n=4 时,

=

,S5=25,∴

>S5.

猜想:n≥4 时, >Sn+1. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=4 时,已证. ②假设当 n=k (k∈N*,k≥4)时, 那么 n=k+1 时,
1 bk?1
1 bk
3k >Sk+1,即 2 >(k+1)2.

1 bn

8分

3k?1 3k = 2 =3· 2 >3(k+1)2=3k2+6k+3

=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2 =S(k+1)+1, ∴n=k+1 时,
1 bn

>Sn+1 也成立.
1 bn

11 分 >Sn+1 都成立. 14 分

由①②可知 n∈N*,n≥4 时, 综上所述,当 n=1,2,3 时, 当 n≥4 时,
1 bn 1 bn

<Sn+1, 16 分

>Sn+1.

1.用数学归纳法证明:
1 1 1 1 1 1 1 1 对任意的 n ? N*,1- 2 + 3 - 4 +?+ 2n ? 1 - 2n = n ? 1 + n ? 2 +?+ 2n .

证明

1 1 1 1 ? 2 2 (1)当 n=1 时,左边=1- = = 1 =右边,

∴等式成立.
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(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即
1 1 1 1 1 1 1 1 2 k k ? 1 2 2 3 4 2 k ? 1 k ? 2 1- + - +?+ - = + +?+ k .

则当 n=k+1 时,
1 1 1 1 1 1 1 2 k 2 k 2 3 4 2 k ? 1 2 k ? 1 1- + - +?+ - + - ?2 1 1 1 1 1 k ? 1 k ? 2 2 k 2 k 2 k ? 1 = + +? + + - ?2 1 1 1 1 1 1 = k ? 1 ? 1 + k ? 1 ? 2 +?+ 2k + 2k ? 1 +( k ? 1 - 2k ? 2 )
1 1 1 1 1 2( k ? 1) = k ? 1 ? 1 + k ? 1 ? 2 +?+ 2k + 2k ? 1 + ,

即当 n=k+1 时,等式也成立, 所以由(1) (2)知对任意的 n∈N*等式成立. 2.求证:二项式 x2n-y2n (n∈N*)能被 x+y 整除. 证明 (1)当 n=1 时,x2-y2=(x+y)(x-y), 能被 x+y 整除,命题成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,x2k-y2k 能被 x+y 整除, 那么当 n=k+1 时, x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k =x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2), 显然 x2k+2-y2k+2 能被 x+y 整除, 即当 n=k+1 时命题成立. 由(1) (2)知,对任意的正整数 n 命题均成立. 3.已知 m,n 为正整数. 用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x)m≥1+mx. 证明 (1)当 m=1 时,原不等式成立; 当 m=2 时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x, 因为 x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立; (2)假设当 m=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立, 即(1+x)k≥1+kx,则当 m=k+1 时, ∵x>-1,∴1+x>0. 于是在不等式(1+x)k≥1+kx 两边同时乘以 1+x 得 (1+x)k· (1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2 ≥1+(k+1)x. 所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x, 即当 m=k+1 时,不等式也成立. 综合(1) (2)知,对一切正整数 m,不等式都成立. 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an(n∈N*). (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an 的表达式. (1)解 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2)

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n2
2 ∴Sn=n2(Sn-Sn-1) ,∴Sn= n ? 1 Sn-1(n≥2)

∵a1=1,∴S1=a1=1.
4 3 6 8 3 2 4 ∴S2= ,S3= = ,S4= 5 , 2n n 猜想 Sn= ? 1 (n∈N*).

(2)证明 ①当 n=1 时,S1=1 成立.
2k ②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即 Sk= k ? 1 ,

当 n=k+1 时,
2k k Sk+1=(k+1)2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+ ? 1 ,

∴ak+1= ?k ? 2??k ? 1? ,

2

2?k ? 1? 2?k ? 1? ? k k ? 2 ∴Sk+1=(k+1)2·ak+1= = ? 1? ? 1 ,

∴n=k+1 时等式也成立,得证. ∴根据①、②可知,对于任意 n∈N*,等式均成立. 又∵ak+1=
2 (k ? 2)(k ? 1)

,∴an=

2 n(n ? 1)

.

一、填空题
1 1 1 n ? 1 n ? 2 3 n 1.用数学归纳法证明: “ + +?+ ? 1 ≥1(n∈N*)”时,在验证初始值不等式成立时,

左边的式子应是“ 答案
1 1 1 2+3+4

”.

2.如果命题 P(n)对于 n=k(k∈N*)时成立,则它对 n=k+2 也成立,又若 P(n)对于 n=2 时 成立,P(n)对所有 n 成立. ①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④所有大于 1 的正整数 答案 ②
1 1 1 n 2 3 2 3.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ ? 1 <n(n≥2,n∈N*)的过程中,由 n=k 变到

n=k+1 时,左边增加了 项. 答案 2k 4.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n>n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始 值 n0 应取 . 答案 5 5.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形的对角线条数 f(n+1)= . 答案 f(n)+n-1
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1 n?2 1 1 1 n 6.证明 2 <1+ 2 + 3 + 4 +?+ 2 <n+1(n>1),当 n=2 时,中间式子等于

.

答案

1 1 1 1+ 2 + 3 + 4

13 1 1 1 n ? 1 n ? 2 n ? n 7.用数学归纳法证明不等式 + +?+ < 24 的过程, 由 n=k 推导 n=k+1 时, 不等式

的左边增加的式子是 答案
1 1 1 2k ? 1 + 2k ? 2 - k ? 1

.

1 1 1 n 8. 用 数 学 归 纳 法 证 明 1+ 2 + 3 + ? + 2 ? 1 < 2 (n ∈ N, 且 n > 1) , 第 一 步 要 证的 不 等式

是 答案

.
1 1 1+ 2 + 3 <2

二、解答题 9.用数学归纳法证明:
1 1 1 3n 2 2 2 2 n 2 3 n 1+ + +?+ ≥ ? 1 (n∈N*).

证明 (1)当 n=1 时,左边=1,右边=1, ∴左边≥右边,即命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,命题成立,
3k 即 1+ 2 + 3 +?+ k ≥ 2k ? 1 .
2 2 2

1

1

1

那么当 n=k+1 时,要证
3(k ? 1) 2 2 ( ( k ? 1) 1+ 2 + 3 +?+ k + ≥ k ? 1) ? 1 , 1 3(k ? 1) 3k 2 ( k ? 1) 2 k ? 1 只要证 + ≥ 2k ? 3 .

1

1

1

1

2

2

2

1 - (k ? 1) 2 1 3(k ? 1) 3k 2 2 2 ∵ 2k ? 3 - 2k ? 1 - (k ? 1) = (k ? 1) [4(k ? 1) ? 1]

-k (k ? 2)
2 2 = (k ? 1) (4k ? 8k ? 3) <0, 1 3(k ? 1) 3k

2 ∴ 2k ? 1 + (k ? 1) ≥ 2k ? 3 成立,

3(k ? 1) 2 2 ( ( k ? 1) 即 1+ 2 + 3 +?+ k + ≥ k ? 1) ? 1 成立.

1

1

1

1

2

2

2

∴当 n=k+1 时命题成立. 由(1) 、(2)知,不等式对一切 n∈N*均成立. 10.用数学归纳法证明(3n+1) ·7n-1 (n∈N*)能被 9 整除. 证明 (1)当 n=1 时,4×7-1=27 能被 9 整除,命题成立. (2)假设 n=k (k≥1,k∈N*)时命题成立, 即(3k+1)·7k-1 能被 9 整除. 当 n=k+1 时,
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[(3k+3)+1] ·7k+1-1=(3k+1+3)·7·7k-1 =7·(3k+1)·7k-1+21·7k =[(3k+1)·7k-1]+18k·7k+6·7k+21·7k =[(3k+1)·7k-1]+18k·7k+27·7k, 由归纳假设(3k+1)·7k-1 能被 9 整除, 又因为 18k·7k+27·7k 能被 9 整除, 所以[3(k+1)+1] ·7k+1-1 能被 9 整除, 即 n=k+1 时命题成立. 由(1) (2)知,对所有的正整数 n,命题成立. 11.数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. (1)解 当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.
3 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2= 2 . 7 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3= 4 . 15

当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4= 8 .
2n ? 1
n ?1 由此猜想 an= 2 (n∈N*).

(2)证明 ①当 n=1 时,a1=1,结论成立.
2k ?1
k ?1 ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立,即 ak= 2 ,

那么 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1. ∴2ak+1=2+ak,
2 ? ak ∴ak+1= 2 =
2? 2k - 1

2 k?1 - 1 2 k- 1 k 2 = 2 ,

这表明 n=k+1 时,结论成立,
2 n ?1
n ?1 由①②知猜想 an= 2 (n∈N*)成立.

12.是否存在常数 a、b、c 使等式 12+22+32+?+n2+(n-1)2+?+22+12=an(bn2+c)对于一 切 n∈N*都成立,若存在,求出 a、b、c 并证明;若不存在,试说明理由. 解 假设存在 a、b、c 使 12+22+32+?+n2+(n-1)2+?+22+12=an(bn2+c) 对于一切 n∈N*都成立. 当 n=1 时,a(b+c)=1; 当 n=2 时,2a(4b+c)=6; 当 n=3 时,3a(9b+c)=19.
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?a(b ? c) ? 1, ? ?a(4b ? c) ? 3 ? 解方程组 ?3a(9b ? c) ? 19,

解得

1 ? ?a ? 3 , ? ?b ? 2, ?c ? 1. ? ? ?

证明如下: ①当 n=1 时,由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立. ②假设 n=k(k∈N*)时等式成立, 即 12+22+32+?+k2+(k-1)2+?+22+12
1 = 3 k(2k2+1) ;

当 n=k+1 时, 12+22+32+?+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+?+22+12
1 = 3 k(2k2+1)+(k+1)2+k2 1 = 3 k(2k2+3k+1)+(k+1)2 1

= 3 k(2k+1) (k+1)+(k+1)2
1 = 3 (k+1) (2k2+4k+3) 1 = 3 (k+1) [2(k+1)2+1].

即 n=k+1 时,等式成立.
1 因此存在 a= 3 ,b=2,c=1,使等式对一切 n∈N*都成立.

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§13.6 数系的扩充与复数的引入

基础自测
a ?i 1 1.(2008·浙江理)已知 a 是实数, ? i 是纯虚数,则 a=

.

答案 1
m(m ? 2) 2.(2009·海安高级中学高三第四次检测)已知 m∈R,复数 z= m ? 1 +(m2+2m-3)i,若

z 对应的点位于复平面的第二象限,则 m 的取值范围是 答案 m<-3 或 1<m<2 3.满足条件|z|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹方程是 答案 x2+y2=25
1 1 4.(2008·辽宁理)复数 ? 2 ? i + 1 ? 2 i 的虚部是

. .

.

答案

1 5

5.设 z 为复数 z 的共轭复数,若复数 z 同时满足 z- z =2i, z =iz;则 z= 答案 -1+i

.

a 2 ? 7a ? 6

例 1 已知复数 z=
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a2 ?1

+(a2-5a-6)i(a∈R),
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试求实数 a 分别取什么值时,z 分别为: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 解 (1)当 z 为实数时,
?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ? ? a 2 ? 7a ? 6 有意义 ? 2 则有 ? a ? 1 ,



?a ? ?1或a ? 6 ? ?a ? ?1

,∴a=6,即 a=6 时,z 为实数.

(2)当 z 为虚数时,
a 2 ? 7a ? 6 a2 ?1

则有 a2-5a-6≠0 且

有意义,

∴a≠-1 且 a≠6 且 a≠±1.∴a≠±1 且 a≠6. ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.
?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ? ? a 2 ? 7a ? 6 ?0 ? 2 (3)当 z 为纯虚数时,有 ? a ? 1 ,



?a ? ?1且a ? 6 ? ?a ? 6

.

∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. 例 2 已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y. 解 设 x=a+bi (a,b∈R),则 y=a-bi, x+y=2a,xy=a2+b2, 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
2 ? ?4 a ? 4 ? ?? 3(a 2 ? b 2 ) ? ?6 根据复数相等得 ? ,

解得

?a ? 1 ? ?b ? 1



?a ? 1 ? ?b ? ?1



?a ? ?1 ? ?b ? 1



?a ? ?1 ? ?b ? ?1

.

?x ? 1 ? i ?x ? 1 ? i ? ? y ? 1 ? i 故所求复数为 ? 或 ? y ? 1? i ? x ? ?1 ? i ? ? y ? ?1 ? i ? x ? ?1 ? i ? ? y ? ?1 ? i





.

例 3 计算:
(?1 ? i)(2 ? i)

(1)

i

3

(1 ? 2i) 2 ? 3(1 ? i) 2?i ; (2) ;

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1? i
2

1? i
2

1? 3 i

2 (3) (1 ? i) + (1 ? i) ; (4) ( 3 ? i) .

(?1 ? i)(2 ? i)

解 (1)
2

i

3

?3 ? i = ? i =-1-3i.

(1 ? 2i) ? 3(1 ? i) ?3 ? 4i ? 3 ? 3 i 2?i 2?i (2) =

i

= 2?i =

i(2 ? i) 1 2 5 = 5 + 5 i.
1? i
2

1? i 1? i 2 ( 1 ? i) ( 1 ? i) (3) + = 2i + ? 2i
1 ? i ?1 ? i = ? 2 + 2 =-1.
1? 3 i
2

1? i

( 3 ? i)(? i)
2

?i

(4) ( 3 ? i) = ( 3 ? i)
(? i)( 3 ? i) 3 1 4 4 4 = =- i.

= 3 ?i

例 4 (14 分)如图所示, 平行四边形 OABC, 顶点 O, A, C 分别表示 0, 3+2i,-2+4i, 试求: (1) AO 、 BC 所表示的复数; (2)对角线 CA 所表示的复数; (3)求 B 点对应的复数. 解 (1) AO =- OA ,∴ AO 所表示的复数为-3-2i. ∵ BC = AO ,∴ BC 所表示的复数为-3-2i. (2) CA = OA - OC ,∴ CA 所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3) OB = OA + AB = OA + OC , ∴ OB 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 14 分 9分 3分 6分

m(m ? 2) 1.已知 m∈R,复数 z= m ? 1 +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, (1)z∈R; (2)z 是纯虚数; (3)
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z 对应的点位于复平面第二象限; (4)z 对应的点在直线 x+y+3=0 上. 解 (1)当 z 为实数时,则有 m2+2m-3=0 且 m-1≠0 得 m=-3,故当 m=-3 时,z∈R.
? m(m ? 2) ?0 ? ? m ?1 ?m 2 ? 2m ? 3 ? 0. ?

(2)当 z 为纯虚数时,则有 解得 m=0,或 m=2. ∴当 m=0 或 m=2 时,z 为纯虚数. (3)当 z 对应的点位于复平面第二象限时,
? m(m ? 2) ?0 ? ? m ?1 ? 2 则有 ?m ? 2m ? 3 ? 0.

解得 m<-3 或 1<m<2,故当 m<-3 或 1<m<2 时,z 对应的点位于复平面的第二象限. (4)当 z 对应的点在直线 x+y+3=0 上时,
m(m ? 2) 2 则有 m ? 1 + (m ? 2m ? 3) ? 3 ? 0 ,
m(m 2 ? 2m ? 4) m ?1 得 =0,解得 m=0 或 m=-1± 5 .

∴当 m=0 或 m=-1± 5 时,z 对应的点在直线 x+y+3=0 上. 2.已知复数 z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos ? +( ? +3sin ? )i ( ? ∈R).若 z1=z2,求 ? 的取值范围. 解 ∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cos ? +( ? +3sin ? )i,
? ?m ? 2 cos ? ? ?4 ? m 2 ? ? ? 3 sin? 由复数相等的条件,得 ? ,

∴ ? =4-m2-3sin ? =4-4cos2 ? -3sin ?
3 9

=4sin2 ? -3sin ? =4(sin ? - 8 )2- 16 , ∵-1≤sin ? ≤1,
3 9 ∴当 sin ? = 8 时, ? min=- 16 ;当 sin ? =-1 时, ? max=7, 9 16 ∴- ≤ ? ≤7.

3.计算下列各题
( 2 ? 2 i) 3 (4 ? 5i) (5 ? 4 i)(1 ? i)

(1)



? 2 ? ? ? ?1? i ? ? ? 1 ? 2 3 i (2) +

?2 3 ?i

2 006

.
2 2 (1 ? i)3 i(5 ? 4i) (5 ? 4 i)(1 ? i)

解 (1)

( 2 ? 2 i) 3 (4 ? 5i) (5 ? 4 i)(1 ? i)

=

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2 2 (1 ? i) 4 i 2 = = 2 i(1+i)4= 2 i[ (1+i)2]2

= 2 i(2i)2=-4 2 i.
? ?2 3 ?i ? ? 2 ? ?1? i ? ? (2) 1 ? 2 3 i + ?
2 006

i(1 ? 2 3i)

= 1? 2 3 i +

2 ?? ? ? ?? 2 ? ? ?? 1 ? i ? ? ? ? ?? ? ?

1 003

? 2 ? ? ? =i+ ? ? 2i ?

1 003

=i+i1 003

=i+i4×250+3=i+i3=i-i=0. 4.已知关于 x 的方程 x2-(6+i)x+9+ai=0 (a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值; (2)若复数 z 满足| z -a-bi|-2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值. 解 (1)∵b 是方程 x2-(6+i)x+9+ai=0 (a∈R)的实根, ∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
? ?b 2 ? 6b ? 9 ? 0 ? ?a ? b 故? 解得 a=b=3.

(2)设 z=x+yi (x,y∈R) , 由| z -3-3i|=2|z|, 得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2) , 即(x+1)2+(y-1)2=8. ∴Z 点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心,2 2 为半径的圆. 如图,当 Z 点在 OO1 的连线上时,|z|有最大值或最小值. ∵|OO1|= 2 ,半径 r=2 2 , ∴当 z=1-i 时,|z|有最小值且|z|min= 2 .

一、填空题
i 3 (i ? 1) 1.(2008·天津理)i 是虚数单位, i? 1 =

. .

答案 -1 2.(2008·广东文)已知 0<a<2, 复数 z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是 答案 (1, 5 )
z 3.(2008·山东文)设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4,z· z =8,则 z =
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答案 ±i 4.若(a-2i)i=b-i,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 a2+b2= . 答案 5 5.在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1+2i,-2+i,0,则第四个顶点对应的 复数为 . 答案 -1+3i
a 1? i 1 ? i 6.设 a 是实数,且 + 2 是实数,则 a=

.

答案 1 7.(2008·北京理,9)已知(a-i)2=2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a= . 答案 -1 8.(2008·湖北理,11)设 z1 是复数,z2=z1-i z 1(其中 z 1 表示 z1 的共轭复数) ,已知 z2 的实 部是-1,则 z2 的虚部为 . 答案 1 二、解答题
100 9.已知 z2=8+6i,求 z3-16z- z .



z 4 ? 16z 2 ? 100 ( z 2 ? 8) 2 ? 164 (6 i) 2 ? 164 z z z 原式= = =

200 z 200 200 z 2 z =- z =- zz =,

|z|2=|z2|=|8+6i|=10,又由 z2=8+6i=[±(3+i)]2, ∴z=±(3+i),当 z=3+i 时,原式=-60+20i; 当 z=-3-i 时,原式=60-20i.
z 2 10.已知 z 是复数,z+2i、 ? i 均为实数(i 为虚数单位) ,且复数(z+ai)2 在复平面上对应

的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi (x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.
z x ? 2i 1 2 ? i = 2 ? i = 5 (x-2i)(2+i) 1 1 5 = (2x+2)+ 5 (x-4)i.

由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 由于(z+ai)2 在复平面对应的点在第一象限,
? ?12 ? 4a ? a 2 ? 0 ? ? ?8(a ? 2) ? 0

所以

,解得 2<a<6,

∴实数 a 的取值范围是(2,6). 11.是否存在复数 z,使其满足 z ·z+2i z =3+ai (a∈R),如果存在,求出 z 的值;如果不存在, 说明理由. 解 设 z=x+yi (x,y∈R),则 x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.
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? ?x 2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? ? ?2 x ? a

a2 消去 x 得 y2+2y+ 4 -3=0,Δ =16-a2.

当且仅当|a|≤4 时,复数 z 存在,
a 2 ? 16 ? a 2 2 此时 z= 2 i. 1 12.设 z∈C,求满足 z+ z ∈R 且|z-2|=2 的复数 z.

解 方法一 设 z=a+bi (a,b∈R),
a ? bi 1 1 2 2 z a ? b i 则 z+ =a+bi+ =a+bi+ a ? b
? ? b ? ? ?b ? 2 2 ? a ? b ? i∈R. =a+ a ? b + ?

a

2

2

b

∴b= a ? b .∴b=0 或 a2+b2=1. 当 b=0 时,z=a,∴|a-2|=2,∴a=0 或 a=4. a=0 不合题意舍去,∴z=4. 当 b≠0 时,a2+b2=1. 又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b2=4.
15 15 1 1 由①②解得 a= 4 ,b=± 4 ,∴z= 4 ± 4 i. 15 1 4 综上可知,z=4 或 z= ± 4 i.

2

2

① ②

1

1

1

方法二 ∵z+ z ∈R,∴z+ z = z + z ,
z?z z ∴(z- )- z ? z =0,(z- z )·
z
2

?1
2

z

=0,

∴z= z 或|z|=1.下同方法一.

单元检测十三 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
z2 1.(2008·海南文)已知复数 z=1-i,则 z ? 1 =

. 答案 2 2.(2008·宁夏文)如图所示的流程图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的 数,那么在空白的判断框中,应该填入 .(注:框图中的赋值符号“←”也可以写成
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“=”或“:=” )

答案 c>x
2s 3.在平面内,三角形的面积为 s,周长为 c,则它的内切圆的半径 r= c .在空间中,三棱锥的

体积为 V,表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个 面均相切)的半径 R 为 . 答案
3V S

a 4 4 1 x x 2 2 n 4.已知 x>0,由不等式 x+ x ≥2,x+ x = 2 + 2 + x ≥3,启发我们得到推广结论 x+ x ≥n+1 (n

∈N*),则 a= . 答案 nn 5.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数 是 .

答案 3 6.当输入 a=3,b=-1,n=5 时,下列程序语句执行后,输出的是 c= Read a,b,n i←1 While i≤n-2 c←a+b a←b b←c
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i←i+1 End While Print c End 答案 3 7.如图所示,把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可 以排成一个正三角形,试求第七个三角形数是 .

答案 28 8.(2008·全国Ⅰ理)设 a∈R,且(a+i)2i 为正实数,则 a= 答案 -1 9.(2008·江西理)在复平面内,复数 z=sin2+icos2 对应的点位于第 答案 四
4 ? 3m i 10.若 3 ? m i (m∈R)为纯虚数,则
? 2 ? mi ? ? ? ? 2 ? mi ?
2 008

. 象限.

的值为

.

答案 1 11.(2008·全国Ⅱ理,16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组 对边分别平行.类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件. 充 要 条 件 ① ; 充 要 条 件 ② . (写出你认为正确的两个充要条件) 答案 两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边 形等.(答案不唯一) 12.(2008·江苏,10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ???????????????? 按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 . 答案
n2 ? n ? 6 2

a ? i 2 007 13.若复数 z=a- 2 +3i 为纯虚数,其中 a∈R,i 为虚数单位,则 1 ? a i 的值为

. .

答案 -i 14.阅读下边的流程图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是

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答案 2 550,2 500 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)实数 x 分别取什么值时,复数 z=x2+x-6+(x2-2x-15)i 对应的点 Z 在: (1)第三象限; (2)第四象限; (3)直线 x-y-3=0 上? 解 因为 x 是实数,所以 x2+x-6,x2-2x-15 也是实数.
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 ? 2 ? ? x ? 2 x ? 15 ? 0

(1)当实数 x 满足

即-3<x<2 时,点 Z 在第三象限.
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 ? 2 ? x ? 2 x ? 15 ? 0 (2)当实数 x 满足 ?

即 2<x<5 时,点 Z 在第四象限. (3)当实数 x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0, 即 x=-2 时,点 Z 在直线 x-y-3=0 上. 16.(14 分)已知复数 z=a+bi(a,b∈R)且 a2+b2=25,(3+4i)z 是纯虚数,求 z 的共轭复数. 解 方法一 (3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i 是纯虚数,
?3a ? 4b ? 0 ? ?4a ? 3b ? 0

3



,∴b= 4 a,代入 a2+b2=25,得 a=±4.

∴a=4 时,b=3;a=-4 时,b=-3. ∴z=4+3i 或 z=-4-3i. 故所求的 z 的共轭复数为 4-3i 或-4+3i. 方法二 设(3+4i)(a+bi)=ki(k∈R,k≠0),
k i(3 ? 4 i) 4k ? 3k i ki 2 2 ∴a+bi= 3 ? 4 i = 3 ? 4 = 25 ,

3k 4k 25 ∴a= ,b= 25 ,代入 a2+b2=25,得 k=±25.

∴k=25 时,z=4+3i, z =4-3i;
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k=-25 时,z=-4-3i, z =-4+3i. 17.(2008·广州模拟) (14 分)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图象关于
1 y 轴对称.求证:f(x+ 2 )为

偶函数. 证明 方法一 (混合型分析法)
1 要证 f(x+ 2 )为偶函数,只需证明其对称轴为 x=0. b 1 即只需证- 2a - 2 =0.

只需证 a=-b.(中途结果)
?b ?b 2 a 由已知,抛物线 f(x+1)的对称轴 x= -1 与抛物线的对称轴 x= 2a 关于 y 轴对称. ?b ?b 2 a ∴ -1=- 2a .

于是得 a=-b(中途结果).
1 ∴f(x+ 2 )为偶函数.

方法二 (混合型分析法)
1 记 F(x)=f(x+ 2 ),

欲证 F(x)为偶函数,只需证 F(-x)=F(x) ,
1 1 2 即只需证 f(-x+ )=f(x+ 2 ), (中途结果).

由已知,函数 f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称,而函数 f(x)与 f(-x)的图象也是关于 y 轴对称 的, ∴f(-x)=f(x+1).
1 1

于是有 f (-x+ 2 )=f [-(x- 2 )]
1 1 =f [(x- 2 )+1]=f (x+ 2 )(中途结果). 1 ∴f(x+ 2 )为偶函数.
?? x ? 1 ? ?0 ? 18.(16 分)函数 y= ? x ? 3 ( x ? 0) ( x ? 0) ( x ? 0)

,写出求该函数值的算法及流程图.

解 算法如下: 第一步:输入 x; 第二步:如果 x>0,则使 y←-x+1,并转到第四步,否则执行下一步; 第三步:如果 x=0 则使 y←0;否则 y←x+3; 第四步:输出 y. 流程图如图.

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19.(16 分)函数 f(x)=ax3-2bx2+cx+4d (a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且 x=1 时,f(x)取极
2 小值为- 3 .

(1)求 a,b,c,d 的值; (2)证明:当 x∈[-1,1]时,图象上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直;
4 (3)若 x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤ 3 .

(1)解 ∵函数 f(x)的图象关于原点对称, ∴对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x), ∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d, 即 bx2-2d=0 恒成立. ∴b=0,d=0,∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.
2 ∵x=1 时,f(x)取极小值- 3 , 2 1 3 ∴3a+c=0,a+c=- .解得 a= 3 ,c=-1.

(2)证明 假设图象上存在两点 A(x1,y1),B(x2,y2),使得过此两点处的切线互相垂直,则 由 f′(x)=x2-1,知两点处的切线斜率分别为 k1=x 1 -1,k2=x 2 -1,且(x 1 -1)·(x 2 -1)=-1.(*) ∵x1,x2∈[-1,1] ,∴x 1 -1≤0,x 2 -1≤0, ∴(x 1 -1) · (x 2 -1)≥0.这与(*)式相矛盾,故假设不成立. ∴图象上不存在符合条件的两点. (3)证明 令 f′(x)=x2-1=0,则 x=±1. ∴当 x∈(-∞,-1)或 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0; x∈(-1,1)时 f′(x)<0.
2
2 2 2 2 2 2 2 2

∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且 f(x)max=f(-1)= 3 ,
2 f(x)min=f(1)=- 3 . 2 ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤ 3 ,∴当 x1,x2∈[-1,1]时,

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2 2 4 |f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤ 3 + 3 = 3 . 1 20. (2008· 济南模拟) (16 分) 已知数列{ a n}的各项都是正数, 且满足: a0=1, an+1= 2 an· (4-an)

(n∈N).? 证明:an<an+1<2(n∈N).? 证明 方法一 用数学归纳法证明:?
1 3

(1)当 n=0 时,a0=1,a1= 2 a0(4-a0)= 2 ,? 所以 a0<a1<2,命题正确.? (2)假设 n=k 时命题成立,即 ak-1<ak<2.? 则当 n=k+1 时,ak-ak+1 ??
1 1 2 = ak-1(4-ak-1)- 2 ak(4-ak)? 1 =2(ak-1-ak)- 2 (ak-1-ak)(ak-1+ak)? 1 = 2 (ak-1-ak)(4-ak-1-ak).?

而 ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以 ak-ak+1<0.? 又 ak+1= ak(4-ak)= [4-(ak-2)2]<2.? 所以 n=k+1 时命题成立.? 由(1) (2)可知,对一切 n∈N 时有 an<an+1<2.? 方法二 用数学归纳法证明:?
1 3 2 (1)当 n=0 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= 2 ,?
1 2 1 2

所以 0<a0<a1<2;? (2)假设 n=k 时有 ak-1<ak<2 成立,?
1 令 f(x)= 2 x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增,?

所以由假设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2),?
1 1 1 2 2 即 ak-1(4-ak-1)< ak(4-ak)< 2 ×2×(4-2),?

也即当 n=k+1 时,ak<ak+1<2 成立.? 所以对一切 n∈N,有 ak<ak+1<2.

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