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江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试(5月) 数学


2015 届高三第四次模拟考试试卷答案 数 学
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上) 1. 已知集合 M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则 M∩N= 【答案】(0,1

) 2. a+i 复数 z= 为纯虚数,则实数 a 的值为 1-i 【答案】1 3. 某学校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已 知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽 取的人数为 【答案】8 4. 执行如图所示流程图,得到的结果是 7 【答案】8 5. x2 y2 4 已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=3x,那 么该双曲线的离心率为 5 【答案】3 6. 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,则所得的两个点数中至少有一个是奇数的 概率为 3 【答案】4 7. 1 函数 f (x)= x +a(x≠0) ,则“f (1)=1”是“函数 f (x)为奇函数”的 ▲ 3 -1 分不必要” , “必要不充分” “充要” “既非充分又非必要”填写) . 【答案】充要 8. 9. 若一圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则该圆锥的侧面积等于 【答案】15π 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 【答案】4 解:x+2y=8-x· (2y)≥8- ▲ . 条件(用“充 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . ▲ .

?x+2y?2,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0, ? 2 ?

即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0.又 x+2y>0,∴ x+2y≥4. π 10. 函数 y=sinα· (sinα-cosα) (a∈[-2,0])的最大值为 ▲ .

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1 2 【答案】2+ 2 11. 已知△ABC 是等边三角形,有一点 D 满足 AB +

1 AC = AD ,且| CD |= 3,那么 2

DA ? DC =
【答案】3





?-x2+ax (x≤1) 12. 已知函数 f (x)=? ,若 ? x1,x2∈ R,x1≠x2,使得 f (x1)=f (x2)成立,则实数 a (x>1) ?2ax-5

的取值范围是 【答案】(-∞,4)





1 1 13. 已知函数 f (x)满足 f (x)=f (x ),当 x∈[1,3]时,f (x)=lnx,若在区间[3,3]内,函数 g(x)=f (x) -ax 与 x 轴有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 ln3 1 【答案】? 3 ,e? ? ? 14. 各项均为实数的等差数列的公差为 2,其首项的平方与其余各项之和不超过 33,则这样 的数列至多有 【答案】7 解:a1+a2+a3+· · · +an=a1+
2 2







项. (n-1)(a2+an) 2 2 =a1+(n-1)(a1+n)=a1+(n-1)a1+n(n-1) 2

n-1?2 (n-1)2 ? n-1?2 (n-1)(3n+1) ? = a1+ 2 +n(n-1)- 4 = a1+ 2 + ≤33 4 ? ? ? ? n-1?2 (n-1)(3n+1) ? 为了使得 n 尽量大,故 a1+ 2 =0,∴ ≤33 4 ? ? ∴(n-1)(3n+1)≤132,当 n=6 时,5×19<132;当 n=7 时,6×22=132, 故 nmax=7. 【注】不易猜测:-3,-1,1,3,5,7,9. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) π 1 已知函数 f (x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点 M?3,2?,且与 x 轴两个相

?

?

邻的交点的距离为 π. (1)求 f (x)的解析式; 3 5 (2)在△ABC 中,a=13,f (A)=5,f (B)=13,求△ABC 的面积. 解:(1)依题意知,T=2π,∴ω=1,∴f (x)=sin(x+φ) ???2 分 ??5 分 π π 1 π π 4π π 5π π ∵f (3)=sin(3+φ)=2,且 0<φ<π ∴3<3+φ< 3 ∴3+φ= 6 即 φ=2 π ∴f (x)=sin?x+2?=cosx.

?

?

???6 分

注意:不写 φ 的范围,直接得 φ 的值扣 1 分,f (x)的解析式不化简不扣分. 3 5 (2)∵f (A)=cosA=5,f (B)=cosB=13, π ∴A,B∈(0,2)

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4 12 ∴sinA=5,sinB=13 56 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=65 a b ∵在△ABC 中sinA=sinB ∴b=15.

???8 分 ???10 分 ???12 分 ???14 分
A1 C1

1 1 56 ∴S△ABC=2absinC=2×13×15×65=84. 注意:其他解法参照给分 16. (本小题满分 14 分) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)设 M 为棱 CC1 的点,且满足 BM⊥B1D, 求证:平面 AB1D⊥平面 ABM. 证明:(1) 记 A1B∩AB1=O,连接 OD. ∵四边形 AA1B1B 为矩形,∴O 是 A1B 的中点, 又∵D 是 BC 的中点,∴A1C∥OD. 又∵A1C? ∕ 平面 AB1D,OD?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. ???6 分 ???2 分
A

B1

M

D
A1

C
C1

B
B1

M
O

注意:条件“A1C? ∕ 平面 AB1D,OD?平面 AB1D”少写一个扣除 2 分,两个都不写本小步 4 分扣完! (2)∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC. ∵平面 ABC⊥平面 BB1C1C, 平面 ABC∩平面 BB1C1C=BC,AD?平面 ABC, ∴AD⊥平面 BB1C1C. 【或利用 CC1⊥平面 ABC 证明 AD⊥平面 BB1C1C.】 ∵BM?平面 BB1C1C,∴AD⊥BM. 又∵BM⊥B1D,AD∩B1D=D,AD,B1D?平面 AB1D, ∴BM⊥平面 AB1D. 又∵BM?平面 ABM,∴平面 AB1D⊥平面 ABM. 17. (本小题满分 15 分) 如图,某广场为一半径为 80 米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域 OAB 内建两个圆形 P 内切于该扇形, 花坛,该扇形的圆心角为变量 2θ( 0 ? 2? ? ? ) ,其中半径较大的花坛⊙ Q 与⊙ P 外切,且与 OA、OB 相切. 半径较小的花坛⊙ P 的半径(用 θ 表示) (1)求半径较大的花坛⊙ ; Q 的半径的最大值. (2)求半径较小的花坛⊙ ???14 分 ???10 分 ???12 分 ???8 分
B A D
C

B
P
Q

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O

A

解:(1)设⊙ P 切 OA 于 M,连 PM,⊙ Q 切 OA 于 N,连 QN, 记⊙ P、⊙ Q 的半径分别为 rP、rQ. ∵ ⊙ P 与⊙ O 内切,∴ |OP|=80-rP, rP ∴ sinθ+rP=80, 80· sinθ π ∴ rP= (0<θ<2) 1+sinθ ???4 分 ???6 分

B

P
Q
O N

M

A

rP rQ (2)∵ |PQ|=rP+rQ∴ |OP|-|OQ|=sinθ-sinθ=rP+rQ 80· sinθ(1-sinθ) π ∴ rQ= (0<θ<2) 1+sinθ ???10 分

(t-1)(2-t) 2 3 法一:令 t=1+sinθ∈ (1,2),∴ rQ=80· =80?-1-t2+ t ? t2

?

?
???14 分

1 1 令 m= t ∈ (2,1),rQ=80(-2m2+3m-1) 注意:换元不写范围扣 1 分

3 ∴ m=4时,有最大值 10.

2sinθ+(1-sinθ) 1+sinθ 法二:∵ 2sinθ(1-sinθ)≤ = 2 2 (1+sinθ)2 ∴ sinθ(1-sinθ)≤ 8 1 ∴ rQ≤10.此时 sinθ=3 ???14 分

注意:不指出取等号的条件扣 1 分 80(t-t2) 80(1-3t) 法三:令 t=sinθ∈ (0,1),rQ= ,∴rQ?= (1+t)2 (1+t)3 1 1 令 rQ?=0 得:t=3, 【列表略】故 t=3时,⊙ Q 的半径的最大值为 10.???14 分 注意:不列表扣 1 分 答:⊙ Q 的半径的最大值为 10. 注意:应用题不写答扣 1 分 18. (本小题满分 15 分) x2 y2 5 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 5 ,短轴长为 4,F1、F2 为椭圆左、右焦点, 点 B 为下顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(x0, y0)是椭圆 C 上第一象限的点. → → ① 若 M 为线段 BF1 上一点,且满足 PO = 6·OM , 求直线 OP 的斜率; ② 设点 O 到直线 PF1、PF2 的距离分别为 d1、d2, y0 y0 求证:d +d 为定值,并求出该定值. 1 2 c 5 解: (1)由题意知,2b=4,∴b=2,又∵e=a= 5 ,且 a2=b2+c2,
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F1

???15 分

y
P

O

F2

x

M
B

x2 y2 解得:a= 5,c=1,∴椭圆 C 的标准方程为 5 + 4 =1; (2)①由(1)知:B(0,-2),F1(-1,0),∴BF1:y=-2x-2 ?x0=- 6t ? → → 设 M(t,-2t-2),由 PO = 6·OM 得:? ? ?y0=2 6(t+1) 2 6t 代入椭圆方程得: 5 +6(t+1)2=1, 5 5 1 ∴36t2+60t+25=0,∴(6t+5)2=0, ∴t=-6 ,∴M(-6,-3) 2 2 ∴OM 的斜率为5,即直线 OP 的斜率为5;

???4 分 ???5 分 ???7 分

???9 分 ???10 分

? y ? kx 20 ? 【或】设直线 OP 的方程为 y ? kx ,由 ? x 2 y 2 ,得 xP ? ???6 分 2 4 ? 5 k ? ? 1 ? 4 ?5 ? y ? kx ?2 由? 得 xM ? , ???8 分 k ? 2 y ? ? 2 x ? 2 ? 2 → → 由 PO = 6·OM 得 xP ? ? 6 xM 解得: k ? ???10 分 5
y0 ②由题意,PF1:y= (x+1),即 y0x-(x0+1)y+y0=0 x0+1 y0 y0 ∴d1= 2 ,同理可得:d2= 2 2 y0+(x0+1) y0+(x0-1)2 y0 y0 2 2 ∴d +d = y0+(x0+1)2+ y0+(x0-1)2=PF1+PF2=2a=2 5 1 2 1 1 y0 【或】∵S△OPF1=2PF1· d1=2OF1· y0,∴PF1· d1=y0,∴d =PF1. 1 y0 同理在△OPF2 中,有d =PF2. 2 y0 y0 ∴d +d =PF1+PF2=2a=2 5. 1 2 19. (本小题满分 16 分) 已知 a 为实数,函数 f (x)=a· lnx+x2-4x. (1)是否存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值?证明你的结论; (2)若函数 f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; 1+a (3)设 g(x)=2alnx+x2-5x- x ,若存在 x0∈ [1, e],使得 f (x0)<g(x0)成立,求实数 a 的取值范围. 2x2-4x+a a 解: (1)函数 f (x)定义域为(0,+∞),f ?(x)=x +2x-4= x 假设存在实数 a,使 f (x)在 x=1 处取极值,则 f ?(1)=0,∴ a=2, 2(x-1) 此时,f ?(x)= x , ∴ 当 0<x<1 时,f ?(x)>0,f (x)递增;当 x > 1 时,f ?(x)>0,f (x)递增. ∴ x=1 不是 f (x)的极值点. 故不存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值. ???4 分
2

???11 分

???15 分

???15 分

???2 分

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2x2-4x+a 2(x-1)2+a-2 (2)f ?(x)= = , x x ①当 a≥2 时,∴ f ?(x)≥0,∴ f (x)在(0,+∞)上递增,成立; ②当 a<2 时,令 f ?(x)>0,则 x>1+ ∴ f (x)在(1+ a 1-2,+∞)上递增, a 1-2<3,解得:-6<a<2 ???10 分 a 1-2或 x<1- a 1-2, ???6 分

∵ f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,∴ 1+ 综上,a>-6.

x-1 (3)法一:记 F(x)=x-lnx(x>0),∴ F?(x)= x (x>0), ∴ 当 0<x<1 时,F ?(x)<0,F(x)递减;当 x > 1 时,F ?(x)>0,F(x)递增. ∴ F(x)≥F(1)=1>0 由 f (x0)≤g(x0) 得:(x0-lnx0)a≥x0-2x0 x -2 x 1 ∴ a≥ ,记 G(x)= ,x∈ [e,e] x0-lnx0 x-lnx (2x-2)(x-lnx)-(x-2)(x-1) (x-1)(x-2lnx+2) ∴ G?(x)= = (x-lnx)2 (x-lnx)2 1 ∵ x∈ [e,e],∴ 2-2lnx=2(1-lnx)≥0,∴ x-2lnx+2>0 1 ∴ x∈ (e,1)时,G?(x)<0,G(x)递减;x∈ (1,e)时,G?(x)>0,G(x)递增 ∴ G(x)min=G(1)=-1 ∴ a≥G(x)min=-1. 故实数 a 的取值范围为[-1,+∞). 法二:记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? a ln x ? x ? (a ? 2) x ,
2
2 x0-2x0 2 2

???12 分

???16 分

原题等价于: ?x0 ? [ , e] , h( x0 )min ? 0 ,求 a 的范围. ∵ h '( x) ?

1 e

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a)( x ? 1) ? ,令 h '( x) ? 0 ? x1 ? , x2 ? 1 2 x x
???12 分

a 1 2 2 ? 即a ? 时, h( x0 )min ? h(1) ? ?a ?1 ? 0 ? a ? ?1 ∴ ?1 ? a ? ; 2 e e e 2 (2)当 a ? 时, h(1) ? ?a ? 1 ? 0 ,故 h( x0 )min ? 0 成立. e
(1)当 故实数 a 的取值范围为[-1,+∞). 注意:其他解法酌情给分 20. (本小题满分 16 分)
2 2 已知两个无穷数列 ?an ? ,?bn ? 分别满足 an?1 ? an ? 2 , bn 1 ? ?1 . ?1 ? 4bn ,且 a1 ? 1, b

???16 分

(1)若数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式;

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? (2) 若数列 ?cn ? 满足: 存在唯一的正整数 r r ? N , 使得 cr ?1 ? cr , 称数列 ?cn ? 为 “梦

?

?

;设数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn , r 数列” ① 若数列 ?an ? 为“梦 5 数列” ,求 Sn ; ② 若 ?an ? 为“梦 r1 数列” , ?bn ? 为“梦 r2 数列” ,是否存在正整数 m ,使得 Sm?1 ? Tm , 若存在,求出 m 的值及对应的 r 1, r 2 ;若不存在,请说明理由. 解: (1)数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,∴ an?1 ? an ? 2 , b2 ? ?2b1, bn?2 ? 2bn?1, n ? N ? , ∴ an ? 2n ? 1, bn ? ?

? ?1, n ? 1 ?2
n ?1

,n ? 2



???4 分

(2)①∵数列 ?an ? 满足:存在唯一的正整数 r =5 ,使得 ar ?1 ? ar ,且 an?1 ? an ? 2 , ∴数列 ?an ? 必为 1,3,5, 7,9, 7,9,11, ??? ,即前 5 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列,从 第 6 项开始为首项 7,公差为 2 的等差数列,
?n2 (1≤n≤5) 故 Sn=? 2 ; ?n -4n+20 (n≥6)
2 2 ② ∵ bn | bn |? 2n?1 ?1 ? 4bn 即 bn ?1 ? ?2bn ,?

???8 分 ???9 分

而数列 ?bn ? 为“梦数列”且 b1 ? ?1 ,∴数列 ?bn ? 中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m ,使得 Sm +1 ? Tm ,显然 m ? 1 ,且 Tm 为奇数,而 ?an ? 中各项均为奇 数,∴ m 必为偶数. 分 首先证明: m ? 6 . 若m ? 7 , 数列 ?an ? 中 ? Sm?1 ?max ? 1 ? 3 ????? ? 2m ?1? ? (m ?1) , 而数列 ?bn ? 中,bm 必
2

???10

然为正,否则

Tm ? ?1 ? b2 ? ??? ? ? ?2m?1 ? ? ?1 ? 21 ? ??? ? 2m? 2 ? ? ?2m?1 ? ? ?3 ? 0 ,显然矛盾; (※)
1 m ?3 ? ?2m ? 2 ? 2m ?1 ? 2m ?1 ? 3 , ∴ ?Tm ?min ? ?1 ? 2 ? ??? ? +2

?

? ?

?

设 cm ? 2m?1 ? (m ? 1)2 ? 3 ,易得 dm ? cm?1 ? cm ? 2m?1 ? 2m ? 3, 而 dm?1 ? dm ? 2m?1 ? 2 ? 0 , ? m ? 7? , ∴ ?dm ? ? m ? 7? 为增数列,且 d7 ? 0 进而 ?cm ? ? m ? 7? 为增数列,而 c8 ? 0 , ∴ ?Tm ?min ? ? Sm ?max ,即 m ? 6 . ???14 分

当 m ? 6 时,构造: ?an ? 为 1,3,1,3,5, 7,9, ??? , ?bn ? 为 ?1, 2, 4,8, ?16,32,64, ??? 此时 r1 ? 2 , r2 ? 4 当 m ? 2, 4 时,无解 所以 m ? 6 ,对应的 r1 ? 2 , r2 ? 4 ???16 分

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