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广东省天河中学2017届高三数学12月份高考模拟试题Word版含答案.doc


天河中学 2017 届高三数学 12 月份高考模拟试题
满分 150 分,时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只 一项是符合题目要求的. 1.设复数 z=-1-i(i 为虚数单位) ,z 的共轭复数为 z ,则|(1-z) · z |= A. 10 2.已知集合 A={x| B.2 C. 2 D.1 ( )

x?2 ≤0,x∈N},B={x| x ≤2,x∈Z},则满足条件 x
) D .8

A ? C ? B 的集合 C 的个数为( A.1 B.2 C.4

3.已知| a - b |=7,| a |=3,| b |=5,则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

?

?

2? 3

B.

? 3
( ) C.

C.

5? 6

D.

? 6

4.执行右面的程序框图,任意输入一次 x(0≤x≤1)与 y(0≤y≤1) ,则能输出 数对(x,y)的概率为 A.

1 4

B.

1 3

2 3

D.

3 4

5.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f (4 ? x) ? f ( x) ,且在区间 [0,2] 上是增函数,那 么 f (0) ? 0 是函数 f ( x) 在区间 [0,6] 上有 3 个零点的( A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.将 A、B、C、D 四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名 学生,且 A 、 B 两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 ( ) A.15 B.20 C.30 D.60 )

7.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( A. 112 8.函数 y= B. 80 C. 72 D. 64

xa x (0<a<1)的图象的大致形状是 | x|

9.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 A. 2
6

f ' (0)

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

10.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3 ,AB =1,AC=2,∠BAC=60°,则球 O 的表面积为 A.4π B.12π C.16π ( ) D.64π

11.已知函数 f ? x ? ? ?

? ?log 2 x ? x ? 0 ? ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? a ? 0 有且只有一个实 x 3 x ≤ 0 ? ? ? ?
) B.

根,则实数 a 的范围是( A.

? ??,0?

? 0,1? C. ?1, 2? D.

?1, ???
12.设 F1,F2 分别为双曲线

x 2 y2 - = 1 的左右焦点,过 F1 引圆 x 2+y 2 =9 的切线 F1P 交双 9 16

曲线的右支于点 P,T 为切点,M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-| MT|为 A.4 B.3 C .2 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. D.1

? x+y≥3, ? 13.设变量 x,y 满足约束条件 ? x-y≥-1, 则 2x+3y 的最大值为_______________. ? 2 x-y≤3, ?
14. (1 ? x)(1 ? 2 x)5 展开式按 x 的升幂排列,则第 3 项的系数为 15 . 已 知 an ? .

?

n

0

(2 x ? 1)dx , 数 列 { 1 } 的 前 n 项 和 为 S n , 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为
an

bn ? n ? 35, n ? N ? ,则 bn Sn 的最小值为
则角 A 的大小为_____________.


2

16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2bcosB=acosC+ccosA,且 b =3ac,

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
6

) ? 2sin 2

x . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)记 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,若 f ( A) ? 积S ?
3 , ?ABC 的面 2

3 , a ? 3 ,求 b ? c 的值。 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P—ABCD,侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱 形, ?DAB ? 60?. (1)证明: ?PBC ? 90? ; (2)若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值。

19. (本小题满分 12 分) 为了让学生更多的了解“数学史”知识,某班级举办一次“追寻先哲的足迹,倾听数学 的声音”的数学史知识竞赛活动。现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为 100 分) 进行统计,制成如下频率分布表:

(Ⅰ)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案) ; (Ⅱ)决赛规则如下:为每位参加决赛的选手准备 4 道判断题,选手对其依次口答,答 对其中两道就终止答题,并获得一等奖,若题目答完仍然只答对 1 道,则获得二 等奖。某同学进入决赛,每道题答对的概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频率的值相同。 (ⅰ)求该同学恰好答 4 道题而获得一等奖的概率; (ⅱ)设该同学决赛结束后答题个数为 X,求 X 的分布列及 X 的数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 如图,焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为 A 和 B , 且 AB 与 n ? 共线. ( 2, ? 1) (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? m 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q,且原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部,求实数 m 的取值范围. O A x y B

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= x -ax+ln( (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间;

2

1 1 ax+ ) (a>0) . 2 2

(2)若对任意的 a∈(1,2) ,当 x0∈[1,2] 时,都有 f(x0)>m(1- a ) ,求实数 m 的取值范围.

2

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC ,过顶点 A 的圆与边 BC 切于 BC 的中点 P,与边 AB、AC 分 别交于点 M、N,且 CN=2BM,点 N 平分 AC。求证:AM=7BM。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 3 x ? 6? t, ? ? 2 在直角坐标系中 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数) ;在以 O 为极点, ? y ? 1 t, ? ? 2
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 10cos ? . 曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点, 求|AB|。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 4 | ? | x ? 2 | (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? | a ? 4 | ? | a ? 3 | 恒成立,求 a 的取值范围. 答案

一、 1-5 ADABC 二、填空题 13. 23 14. 30 6-10

选择题 CBDCC 11-12 DD

15. -25

16.

?
12



7? 12

三、解答题

20.解: (Ⅰ)设椭圆 E 的标准方程为

x2 y2 0)、 B(0,b) , ? ?1 (a ? b ? 0) ,由已知得 A(a, a 2 b2
(3 分)

2 2 (? a, b) ∴ AB ? ,∵ AB 与 n ? ( 2, ? 1) 共线,∴ a ? 2b ,又 a ?b ? 1

∴ a 2 ? 2,b 2 ? 1 , ∴椭圆 E 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(5 分)

(Ⅱ)设 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,把直线方程 y ? kx ? m 代入椭圆方程 消去 y,得, (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 , ∴ x1 ? x 2 ? ?

x2 ? y2 ? 1 , 2

4km 2m 2 ? 2 x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

(7 分)

Δ ? 16k 2 m 2 ? 4 ? (2k 2 ? 1)( 2m 2 ? 2) ? 16k 2 ? 8m 2 ? 8 ? 0 (*)
∵原点 O 总在以 PQ 为直径的圆内,∴ OP ? OQ ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 又 y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx1 ? m ) ? k 2 x1 x 2 ? mk ( x1 ? x 2 ) ? m 2 ?

(8 分) (9 分)

m 2 ? 2k 2 2k 2 ? 1
(11 分)



m 2 ? 2k 2 2m 2 ? 2 2 2 2 ? ? 0 得 m 2 ? k 2 ? ,依题意 m 2 ? 且满足(*) 2 2 2k ? 1 2k ? 1 3 3 3 6 6 , ) 3 3

故实数 m 的取值范围是 ( ?

(12 分)

22.证明: 由切割线定理,有 BP 2=BM· BA,CP 2=CN· CA.??????????2 分 因为 P 是 BC 的中点,所以 BM· BA=CN· CA, 又点 N 平分 AC,所以 BM· (BM+AM)=2CN 2,????????????6 分 因为 CN=2BM,所以 BM· (BM+AM)=8BM 2, 所以 AM=7BM.?????????????????????????10 分 23.解: 在 ρ=10cos θ 的两边同乘以 ρ,得 ρ2=10ρcos θ, 则曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=10x,??????????????3 分 将曲线 C1 的参数方程代入上式,得(6+ 整理,得 t 2+ 3t-24=0, 设这个方程的两根为 t1,t2,则 t1+t2=- 3,t1t2=-24, 所以|AB|=|t2-t1|= (t1+t2)2-4t1t2=3 11.????????10 分 24.选修 4—5:不等式选讲 3 2 1 3 t) + t 2=10(6+ t), 2 4 2

2? 由 于 f ( x )? | x
f (2) ? 4 .

??3 x ? 2 ,x(? ? 2 ) ? ? 4 |x ?| ? ? 2 ? | x 6 ? ? ,x (? 2 所 以 2 函) 数 y ? f ( x) 的 最 小 值 为 ?3 x ? 2 ,x(? 2 ) ?

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? | a ? 4 | ? | a ? 3 | 的恒成立,则 | a ? 4 | ? | a ? 3|? f ( x)min ? 4 , 又解不等式 | a ? 4 | ? | a ? 3|? 4 得 a ?

3 3 .所以 a 的取值范围为 a ? .?????10 分 2 2


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