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2011年高考数学复习教案:函数思想指导下的不等式恒成立问题的解决


函数思想指导下的不等式恒成立问题的解决
授课教师; 大石桥市高级中学 周大勇 2011-3-26 背景:函数思想是指利用函数的概念、性质和图象去分析问题、转化问题和求解问题,它是 一种很重要的数学思想方法.一模结束后,对试题的分析,发现许多学生对 21 题的第 2、3 小题要么找不到解题方向,无法弄清题意;要么有方向但是不能善始善终,求得正确解。因 此, 我对不等式恒成立问题的解决设计了二个课时, 对它进行一次专题复习, 渗透函数思想, 提高学生的处理能力,本堂课是此专题的第一课时。 教学目标 1. 在问题的解决过程中,提炼归纳不等式恒成立的常见处理策略,把隐性不等式恒成立问 题进行转化为显性恒成立问题,面对具体的问题学会选择解决方法。 2. 在自主探究和合作交流中, 经历知识点产生和形成过程, 不仅重视对研究的掌握和应用, 更重视对研究方法的思想渗透以及分析问题和解决问题能力的培养, 进一步提升理性思维能 力,激发学生更积极主动的学习精神和和探究勇气。 教学方法:探究式、启发式。 教学重点与难点:不等式恒成立问题的解决方法选用。 教学过程 第一环节:回归课本 提炼方法

范例(课本习题改编): 1 已知函数f(x)= x3 ? x 2 ? ax ? 3, 在区间[2,3]上单调递增,则实数a的取值范围________. 3
变式一:若g(x)=x2 ? ax ? 2 ? 0, 对x ?[2,3]恒成立,则实数a的取值范围________.
变式二:若g(x)=x2 ? ax ? 2 ? 0, 对x ?[?3,3]恒成立,则实数a的取值范围_____________.
设计意图: 越是高考最后的冲刺阶段越需要回过头来研读课本, 而且近几年来高考卷的试题 还是以三次函数居多, 所以引用了课本习题中的一题进行改编和变式, 从简单的函数入手掌 握解题方法,然后进行巩固、辨析、加深. 范例:学生自行解题发现解决恒成立问题一般是两种解法. 变式一:让学生在解题中自行体会两种解法的区别,便于以后能正确的选择. 变式二:当前面两种方法都出现求解上的困难的时候,能否思考选用数形结合的思想,正确 作出两个函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,列出关于参数的 不等式。 归纳总结

方法一.转化为求原函数最值 f ( x) ? 0恒成立 ? f ( x)min ? 0; f ( x) ? 0恒成立 ? f ( x) max ? 0

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方法二.变量分离法(转化为求新函数最值) f ( x) ? g (a)(a为参数)恒成立 ? f ( x) min ? g (a) f ( x) ? g (a )(a为参数)恒成立 ? f ( x) max ? g (a )

方法三.数形结合法 f ( x) ? g ( x)恒成立 ? 函数f ( x)图像恒在函数g ( x)图像上方 f ( x) ? g ( x)恒成立 ? 函数f ( x)图像恒在函数g ( x)图像下方
第二环节 化隐为显 突出重围

2.已知函数 f ( x) ? (2 ? a)(x ? 1) ? 2 ln x, 若函数 f ( x) 在 (0, ) 上无零点,求实数 a 最小值.

1 2

3.若命题“ ? x ∈(1,2)时,不等式 x

2

- 2x - loga x +1 ? 0 ”为假命题,求实数 a 的取值范围_____.

设计意图:从一模考试及以往的情况,学生在解决恒成立问题时首先是往往被题目中隐性恒成立 问题所迷 惑,不知道是关于恒成立问题;其次,当发现是恒成立的问题后又无法选取正确的、 简便的方法去解决问题。 第三环节 编题求解 提升思维

根据所给条件,请你设计一道恒成立问题的考题,你会如何设计以及如何求解?

若函数 y ? ax3 -3x ? 1 ? 0, 对 ______ 成立,求_____的取值范围.
空格 的选项: 3.任意a ? [0,1] 4.存在x ? [?1,1] 1.任意x ? [0,1] 2.任意x ? [?1,1]
第四环节 课堂小结

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第五环节 作业与练习:
2 1. 函 数 f ( x ) ? l n x ? 2x 在 (0, ??) 上 单 调 递 增 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 ? m x? 1



。 。

2. 若命题“ ? x ? R, 2 x 2 ? 3a x ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围为 3. 已知两函数 f ( x) ? 8 x 2 ? 16 x ? k , g( x ) ? 2 x 3 ? 5 x 2 ? 4 x ,k 为实数。 (Ⅰ)对任意的 x ? [?3, 3] ,有 f ( x ) ? g( x ) 成立,求实数 k 的取值范围;

(Ⅱ)对任意的 x1 ? [?3, 3] , x2 ? [?3, 3] ,有 f ( x1 ) ? g( x2 ) 成立,求实数 k 的取值范 围; (Ⅲ)对任意的 x2 ? [?3, 3] ,总存在 x1 ? [?3, 3] ,有 f ( x1 ) ? g( x2 ) 成立,求实数 k 的 取值范围。 4.(2010 新课标全国)设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax2 (1) 若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

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