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高中数学圆锥曲线与方程测试题


测试题
一、选择题 1.下列叙述中正确的是( )

A. 若 a, b, c ? R ,则 " ax2 + bx + c ? 0" 的充分条件是 " b2 - 4ac ? 0" B. 若 a, b, c ? R ,则 " ab2 > cb2 " 的充要条件是 " a > c " C. 命题“对任意 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”的否定是“存在 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”

D. l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平面,若 l ^ a , l ^ b ,则 a / / b
2. “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( A ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.设椭圆 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

x2 y2 ? ? 1(m ? 1) 上一点 p 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则 m2 m2 ? 1
) 1 B. 2 C. 2-1 2 3 D. 4

椭圆的离心率为( 2 A. 2

x2 y2 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3

??? ? ??? ? FP 的最大值为( OP ·
A.3 B.6 C .8



D. 1 1

5.过双曲线 C :

x2 y 2 = 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A .若以 C 的右 a 2 b2


焦点为圆心、 半径为 4 的圆经过 A、O两点(O为坐标原点), 则双曲线 C 的方程为 (

A.

x2 y 2 =1 4 12

B.

x2 y 2 =1 7 9

C.

x2 y 2 =1 8 8

D.

x2 y 2 =1 12 4

6.已知双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x +10, 双曲线的一 a2 b2


个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 =1 A. 5 20

x2 y 2 =1 B. 20 5

3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 = 1 D. =1 C. 25 100 100 25

7.已知 a > b > 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 + = 1 = 1 ,C1 与 C2 ,双曲线 的方程为 C2 a 2 b2 a 2 b2


的离心率之积为

3 ,则 C2 的渐近线为( 2
B . 2x ? y

A . x?

2y 0

0

C . x? y
?

0

D . 2x ? y

0

8.设 F 为抛物线 C : y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线交于 C 于 A, B 两点,O 为 坐标原点,则 ?OAB 的面积为( )

A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D.

9 4

二、填空题 1.设椭圆 C :

x2 y 2 + = 1( a > b > 0) 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 a 2 b2

A,B 两点, F1B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ^ F1B ,则椭圆 C 的离心率等于________
2.过双曲线 C :

x2 y 2 = 1( a > 0, b > 0) 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于 a 2 b2

点 P,若点 P 的横坐标为 2 a 则 C 的离心率为 3.已知抛物线 y ? 4 x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1,到直线 3x-4y+9=0 的距离 为 d2,则 d1+d2 的最小值是
2

4.若命题“存在实数 x ,使 x + ax +1 < 0 的否命题为真命题,则实数 a 的取值范围为 三、解答题
2 1.已知 a > 0 ,设 p :函数 y = a x 在 R 上是增函数; q :不等式 x - ax +1 > 0 对 " x ? R 恒

2

成立.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。

x2 y 2 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点, a b 顶点 B B 的坐标为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A ,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另 一点 C ,连结 F1C . y
4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 = 2 ,求椭圆的方程; 3 3 (2)若 FC ^ AB 求椭圆离心率 e 的值. 1

B C

F1 O

F2 A

x

(第 2 题)

3.如图, 已知抛物线 C : x

2

过点 M (0, 2) 任作一直线与 C 相交于 A, B 两点, 过点 B = 4y ,

作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴)与直线 y = 2 相交于点 N1 ,与(1)中的定直线 相交于点 N 2 ,证明: | MN2 |
2

- | MN1 |2 为定值,并求此定值.

4.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点为 A ,上顶点为 B .已知 a 2 b2

| AB |?

3 | F1F2 | 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F 1 ,经过点 F2 的直线与 该圆相切与点 M , | MF2 |? 2 2 .求椭圆的方程.

5. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,且点 2 a b 2

1 ( 3 , ) 在椭圆 C 上, 2 (I)求椭圆 C 的方程;
(II)设椭圆 E :

x2 y2 + = 1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y = kx + m 交椭圆 4a 2 4b 2

E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ,

(i)求

OQ OP

的值;

(ii)求 D ABQ 面积的最大值。


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