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江苏省常州市武进区2017届高三第一学期期中考试数学文科试卷图片版


2017 届高三文科数学参考答案及评分意见
1. ?2? 8. ?3 2. ?1 9. ?
24 25

3.

?

6

4.必要不充分
9 4

5.1 12.16

6. ?1 13.
2 4

7.1 或 3 14. 1 或 0

10.

11.202

15. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ? x ? ? a sin 2? x ? 3 cos 2? x , …………………………………2 分 2? ? ? ,得 ? ? 1 ,…………………………………4 分 由题意 f ? x ? 的周期为 ? ,所以 2?
? f ? x ? 最大值为 2 ,故 a2 ? 3 ? 2 ,

又 a ? 0 ,? a ? 1 ,

?? ? f ? x ? ? 2sin ? ? 2x ? ?
令 2x ?

?
3

?

?
2

?

3?

…………………………………7 分

? k? ,解得 f ? x ? 的对称轴为 x ?

?
12

?

k? (k ??) .………………10 分 2

? (2)由 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? , 3? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 得,…………………………………12 分 2 3 2 5? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12 5? ?? ? ∴函数 f(x)的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z .……………………14 分 12 12 ? ? ?? ? (仅作出函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 图像得增区间只得 2 分) 3? ?
16. (本小题满分 14 分) 证明: (1) (证法一)连接 CE 与 AD 交于点 H ,连接 FH . 因为 D 是 BC 的中点, E 是 AB 中点,
C1

??

A1

B1

所以 H 是 ΔABC 的重心, 所以 CH ? 2 EH , 又因为 CF ? 2C1 F , 所以 C1E // FH ,

………2 分 ………3 分 ……5 分
F

A

E H D C

B

因为 FH ? 平面 ADF , C1 E ? 平面 ADF , 所以 C1 E // 平面 ADF , ………………7 分

(证法二)取 BD 中点 H ,连接 EH , C1 H . 因为 H 是 BD 的中点, E 是 AB 中点,所以 EH // AD ,

因为 AD ? 平面 ADF , EH ? 平面 ADF ,所以 EH // 平面 ADF , …………2 分 又因为 CF ? 2C1 F , CD ? 2 DH 所以 C1H // DF ,同理 C1H // 平面 ADF , ……5 分
? EH ? C1H ? H 所以平面 C1EH // 平面 ADF ,

………………6 分 ………………7 分

又 C1 E ? 平面 C1EH ,所以 C1 E // 平面 ADF , (2)因为 AB ? AC 且 D 是 BC 中点,? AD ? BC ,

?直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,? B1B ? 平面 ABC ,? B1B ? AD

又 AD ? BC , B B ? BC ? B ,?AD ? 平面 B1 BCC1 ,
? AD ? B1 F ,

………………10 分

? CC1 ? 3 , CF ? 2C1 F , ?CF ? 2, C1 F ? 1 ,在 ?B1C1 F 与 ?FCD 中, ? B1C1 ? FC ? 2 , C1 F ? CD ? 1 , ?B1C1 F ? ?FCD ,??B1C1 F ≌ ?FCD , ??C1B1F ? ?CFD ,??C1FB1 ? ?CFD ? 90? ,? B1F ? FD ,

………………11 分 ………………13 分

(由 B1F ? DF ? 5, B1D ? 10 ,根据勾股定理得 B1F ? FD 也可)
? FD ? AD ? D ,? B1 F ? 平面 ADF .

……………14 分

17. (本小题满分 14 分) 3 6 3 6 b2 ? c 2 ? a 2 解: (1)因为 a ? . ……………3 分 cos A ,所以 a ? ? 2 2 2bc 因为 c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 3a 2 ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 . 49 解得: a ? 3 ,或 a ? ? (舍). ………………6 分 3 2 6 (2) (解法一)由(1)可得: cos A ? . ………………8 分 ?3 ? 3 3 6 1 所以 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? . ………………10 分 3 a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 ,所以 cos B ? 2ac 3 所以 cos 2 A ? cos B . ………………12 分 ? 因为 c ? b ? a , 所以 A ? (0, ) . 2 因为 B ? (0, ?) ,所以 ?B ? 2?A . ………………14 分 (解法二)因为 A ? (0, ?) ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 由正弦定理得:
3 .………………8 分 3

2 6 3 2 2 ? .所以 sin B ? . ………………10 分 sin B 3 3 3

3 6 2 2 ? ? ? sin B . ………………12 分 3 3 3 3 2 ? ? 因为 c ? b ? a , sin A ? 所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) . ? 4 2 3 2 所以 ?B ? 2?A . ………………14 分
所以 sin 2 A ? 2 ? 18. (本小题满分 14 分)
? m ? ( x ? 2)2 ? 10m,0 ? x ? 4, ? ? 2 解:(1)由 y ? mf ( x) ? ? , ?? mx ? m log x ? 12m, 4 ? x ? 16, 2 ? ? 2 可知在区间 (0, 4] 上有,即 8m ? y ? 10m , ………………2 分

又 f ( x) 在区间 (4,16] 上单调递减, mf ?8? ? 5m , 为使 y ? 12 恒成立,只要 ? 即m?
12 12 ,可得 m ? . 5 5
?8m ? 12 , ?5m ? 12

………………4 分 ………………6 分

即:为了使在 8 小时之内达到有效, 投放的药剂剂量 m 的最小值为 (2) m ? 2 时,设 y ? g ? x ? ? ?
?? x2 ? 4 x ? 16,0 ? x ? 4, ?? x ? 2log 2 x ? 24,4 ? x ? 16, 2 当 0 ? x ? 4 时, 16 ? ? x ? 4 x ? 16 ? 20 ,显然符合题意

12 .………8 分 5

………………10

分 又 f ( x) 在区间 (4,16] 上单调递减, 由 g (6) ? 18 ? 2log 2 6 ? 18 ? log 2 36 ? 12 , g (7) ? 17 ? 2log 2 7 ? 17 ? log2 49 ? 12 , 可得 k ? 6 ,即 k 的最大值为 6. ………………12 分 ………………14 分 …………16 分

19. (本小题满分 16 分) 解:(1) f ? ? x ? ? e x ? a ,依题意,设切点为 ( x0 , 0) ,………………2 分 则?
?e x0 ? a( x0 ? 1) ? 0, ? f ( x0 ) ? 0, 即? ? x0 ? f ?( x0 ) ? 0, ? ?e ? a ? 0,

解得 ?

? x0 ? 0, ? a ? 0不合 ? ………………4 分 ?a ? 1,

所以 f ? ? x ? ? ex ? 1 , 所以,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以, f ? x ? 的单调递减区间为 (??, 0) ,单调递增区间为 ? 0, ?? ? .……………6 分 (猜出 a ? 1 并求出单调递减区间为 (??, 0) ,单调递增区间为 ? 0, ?? ? 仅得 3 分) (2)法一、令 g ( x) ? f ( x) ? mx2 , 则 g ?( x) ? e x ? 2mx ? 1 , x ? 1 , 令 h( x) ? g ?( x) ,则 h?( x) ? e x ? 2m , x ? 1 ,………………8 分

e 时, 2 因为当 x ? 1 时, e x ? e ,所以 h?( x) ? 0 ,

(ⅰ)当 m ?

所以 h( x) 即 g ?( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 又因为 g ?(1) ? e ? 2m ? 1 , 所以当 2m ? e ? 1 即 m ? 从而 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,
?
e ?1 时, g ?(1) ? 0 ,? g ?( x) ? 0 , 2

而 g (1) ? e ? m ? 2 , ? g ?1? ? 0 ,? m ? e ? 2 ,
e ?1 ? e ? 2 ,? m ? e ? 2 成立.………………10 分 2 e ?1 e 当 ? m ? 时,必存在 x0 ? ?1, ?? ? 使得 h ? x0 ? ? 0 即 g ' ? x0 ? ? 0 , 2 2 当 x ? ?1, x0 ? 时 g ' ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x0 , ?? ? 时 g ' ? x ? ? 0 ,



g ? x?

在 ?1, x0 ? 单 调 递 减 , 在 ? x0 , ??? 单 调 递 增 ,

? g (1) ? e ? m ? 2 ? e ?

e ?1 e?3 ?2? ?0, 2 2 ? 当 x ? ?1, x0 ? 时 g ? x ? ? 0 ,不合题意.………………12 分 e 2

(ⅱ)若 m ? ,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? ln(2m) ? 1 ,
? h?(1) ? 0 , h?( x) 在 ?1, ?? ? 单调递增,

必存在 x1 ? ?1, ?? ? 使得 h ? x1 ? ? 0 即 g ' ? x1 ? ? 0 , 当 x ? ?1, x1 ? 时 h' ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x1 , ?? ? 时 h' ? x ? ? 0 , 故 h ? x ? 在 ?1, x1 ? 单调递减,在 ? x1 , ?? ? 单调递增,………………14 分
? h(1) ? e ? 2m ? 1 ? 0 , ? h( x1 ) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,? g ? x ? ? 0 在 ?1, x1 ? 恒成立,

? g ? x ? 在 ?1, x1 ? 单调递减,

e e?4 ?2? ? 0 ,? g ? x1 ? ? 0 ,不合题意. 2 2 综上,实数 m 的取值范围是 ? ??, e ? 2? .………………16 分 ? g (1) ? e ? m ? 2 ? e ?

ex - x - 1 > m 在 (1, + ? ) 恒成立,………8 分 x2 ( x - 2) e x + x + 2 ex - x - 1 ' h ( x ) = , x > 1 ,……………9 分 设 h( x) = ,则 , x > 1 x3 x2 设 s( x) = (x - 2)ex + x + 2, x > 1 , \ s' ( x) = (x - 1)ex + 1, x > 1 ,

(2)法二、由题意得 e x - x - 1 > mx 2 ,即

\ s' ( x) > 0 在 (1, + ? ) 恒成立, \ s( x) 在 (1, + ? ) 单调递增,
? s(1) = 3 - e > 0 , \ s( x) > 0 即 h' ( x) > 0 在 (1, + ?

………………11 分 ………………13 分 ……………15 分 …………16 分

) 恒成立,

故 h( x) 在 (1, + ? ) 单调递增, ? h(1) = e - 2 , \ m ? e 2 , 即实数 m 的取值范围是 ? ??, e ? 2? . 20. 解: (1)证明:设 bn ? a2 n ? 1 ,则 b1 ? a2 ? 1, ? a2 ? 2a1 ? 1 ? 2t ? 1 ,?b1 ? 2 ? t ? 1? ? 0 ,

……………1 分

?

2 ? a2n ? n ? ? 2n ? 1? bn?1 a2? n?1? ? 1 ? 2a2 n?1 ? 2n ? 1? ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? a2 n ? 1? ? 2 ? ? ?? , bn a2 n ? 1 a2 n ? 1 a2 n ? 1 a2 n ? 1 (得 a2? n?1? ? 1 ? 2(a2n ? 1) 也可)………………3 分
n ?1

?数列 {bn } 是公比为 2 的等比数列,故数列 {a2n ? 1} 是等比数列,

?bn ? b1 ? 2

? 2 ? t ? 1? ? 2

n ?1

n (2)由(1)得, a2n ? ?t ? 1? ? 2 ? 1 ? 2a2n?1 ? 2n ? 1,

? ?t ? 1? ? 2 ,?a2n ? ? t ? 1? ? 2 ? 1 ,
n n

………………4 分 ………………6 分 ……………7 分 ………………8 分 ,

?a2n?1 ? a2n ? 3?t ? 1? ? 2

?a2n?1 ? ? t ? 1? ? 2n?1 ? n ,
n ?1

? n ?1 ,

? S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? a2n?1 ? a2n ?

? 3 ? t ? 1? ? ?1 ? 2 ? ? ? 2n ?1 ? ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? ? n ? 3 ? t ? 1? ? ? 2n ? 1? ?

n ? n ? 3? 2

, ……………10 分

①当 t ? 1 时,? S2 n ? 6 ? 2n ? 1? ?

n ? n ? 3? 2

? 3 ? 2n ?1 ?

n ? n ? 3? 2

? 6 ;………………11 分

② ? {S2 n } 单调递增, n ?1 (解法一)? S2n ? S2n?2 ? 3?t ? 1? ? 2 ? n ? 1 ? 0 对 n ? 2 且 n ? N * 恒成立, …………12 分
n ?1 n ?1 ,设 Pn ? n?1 , n ? 2 , n ?1 2 2 n ? 2 n ? 1 ?n 则 Pn?1 ? Pn ? n ? n?1 ? n ? 0 , 2 2 2 * ??Pn ? 在 n ? 2 且 n ? N 单调递减, ………………14 分 3 3 1 ? P2 ? ,?3? t ? 1? ? ,即 t ? ? , 2 2 2 ? 1 ? 故 t 的取值范围为 ? ? , ?? ? . ………………16 分 2 ? ? n (解法二)? S2n?2 ? S2n ? 3?t ? 1? ? 2 ? n ? 2 ? 0 对 n ? N * 恒成立, …………12 分

即 3? t ? 1? ?

n?2 n?2 P ? n , n ? N* , n ,设 n 2 2 n ? 3 n ? 2 ?(n ? 1) 则 Pn?1 ? Pn ? n?1 ? n ? n?1 ? 0 , 2 2 2 * ??Pn ? 在 n ? N 单调递减, ………………14 分 3 1 3 ?P ,?3? t ? 1? ? ,即 t ? ? , 1 ? 2 2 2 1 ? ? 故 t 的取值范围为 ? ? , ?? ? . ………………16 分 2 ? ?

即 3? t ? 1? ?


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