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2010年全国高中数学联赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛 一 试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

. .

2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是

3.

双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部 (不含边界) 整点 (纵 横坐标均为整数的点)的个数是 .

4. 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中

a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 , 且 存 在 常 数 ? , ? 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n 都 有 an ? l o ? bn ? ? ,则 ? ? ? ? g
.

5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8,则它 在这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜, 否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正 三 棱 柱 ABC? A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 , P 是 CC1 的 中 点 , 二 面 角

B ? A1 P ? B1 ? ? ,则 sin ? ?

. .

8. 方程 x ? y ? z ? 2 0 1 0 满足 x ? y ? z 的正整数解( x,y,z )的个数是 二、解答题(本题满分 56 分)

9. (16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1, 当 试求 a 的最大值. 10.(20 分)已知抛物线 y ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x 2 且
2

x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.
11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增
3

正整数数列 {an } ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

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1. [?3, 3]



提示:易知 f (x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f (x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f (x) 的值 域为 [?3, 3] . 2. ?

3 ? a ? 12 2
提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .
由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及

t ? 1 ? 0 知 ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3 .
当 t ? 0,?1 时(1)总成立;
2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,?

(1)

3 1 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 2 4

3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线右 半支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上 方区域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 . 4.
3

3 ?3

提示 :设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则

3 ? d ? q,

(1) (2)

3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
2

(1)代入(2)得 9 ? 12d ? d ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 .

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从 而 有 3 ? 6(n ? 1) ? l o? g n?1 ? ? 9

对 一 切 正 整 数 n 都 成 立 , 即

6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ? 对一切正整数 n 都成立.
从而 log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? , 求得 5. ?

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .
1 4 3 2

提示:令 a x ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 ( ? ,+?) 上是递增的. 当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] ,

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以

1 , 2

1 1 1 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4


a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,

g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
所以

1 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? . 4 1 综上 f (x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4 12 6. 17 21 7 ? 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 ,从而先投掷人的获胜概率为 36 12 7 5 7 5 7 z ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? A1 12 12 12 12 12 7 1 12 . ? ? ? 25 17 12 1? B1 144
7.

C1

P

10 4
提示: 解法一: 如图, AB 所在直线为 x 轴, 以 线段 AB
B

A O C y

中点 O 为原点, OC 所在直线为 y 轴,建立空间直角坐标 系.设正三棱柱的棱长为 2,则
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x

B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1
设分别与平面 BA P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) , 1 则

?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ?

?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?
由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ,所以 m ? n ? m ? n cos ? ,即

?? ?

?? ?

3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 10 . 4

6 . 4
A1 C1 E

所以 sin ? ?

解法二:如图, PC ? PC1 , PA ? PB . 1 设

A1 B



AB1







O,



B1 O A P

OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从而 AB1 ? 平面

C

PA1 B .
过 O 在平面 PA B 上作 OE ? A1 P ,垂足为 E . 1

B

连 结 B1 E , 则 ?B1 EO 为 二 面 角 B ? A1 P ? B1 的 平 面 角 . 设 AA1 ? 2 , 则 易 求 得

PB ? PA ? 5, A1O ? B1O ? 2, PO ? 3 . 1
在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?
6 4 5 . ? 5 5

6 5

.

又 B1O ?

2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?

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sin ? ? sin ?B1 EO ?

B1O 2 10 . ? ? B1 E 4 5 4 5

8.

336675
2 提示:首先易知 x ? y ? z ? 2010的正整数解的个数为 C2009 ? 2009?1004.

把 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知 1 ? 3 ? 1003 ? 6k ? 2009 ? 1004 , 所以

6k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 ,


k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 .
从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为

1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .

9. 解法一:

? f ?(0) ? c, ? 1 3 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由 ? f ?( ) ? a ? b ? c, ? 4 ? 2 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以

1 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2 1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) ? 8 , 2
所以 a ? 最大值为

8 8 3 2 . 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m( m 为常数) 满足题设条件, 所以 a 3 3

8 . 3
2

解 法 二 : f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c .

设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 , 则 当 0 ? x ? 1 时 ,

0 ? g ( x) ? 2 .

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设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

容 易 知 道 当 ? 1 ? z ? 1 时 , 0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从 而 当 ? 1 ? z ? 1 时 ,

0?

h( z ) ? h( ? z ) ?2 , 即 2

0?
从 而

3a ? b ? c ?1 ? 0 4

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 4 4 3a 2 z ?2 , 由 0 ? z2 ?1 知 , 4

a?

8 3

.

又易知当 f ( x) ?

8 8 3 x ? 4 x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3

10. 解法一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 , 2 2

k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 . ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y ? y0 ? ?

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是 (1) 的一个解, 所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点, 且点 C 坐标为 (5,0) . 由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0
(2)

x?
2

y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3

(2)代入 y ? 6 x 得 y ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即
2 2 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 12 ? 0 .

(3)

依题意, y1 , y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y 2 ,所以
2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 , ? 2 3 ? y0 ? 2 3 .

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AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
y

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
B

A

y2 ? (1 ? 0 )[(y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 ? (1 ?
?
2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

O

C(5,0)

x

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3

定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0

.

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y 0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2

2 2 2 1 1 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 3 ? ( ) 3 2 3

?

14 7 3

.

2 2 当且仅当 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 , y0 ? ? 5 , A( 即

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 3 3

或 A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
14 7. 3

所以, ?ABC 面积的最大值为

解法二: 同解法一, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点, 且点 C 坐标为 (5,0) .

5 1 2 设 x1 ? t , x2 ? t , t1 ? t 2 , t ? t ? 4 ,则 S ?ABC ? t1 2 2 t2
2 1 2 2 2 1 2 2

0 1 6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

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1 2 2 S ?ABC ? ( (5 6t1 ? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 2 3 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 ? (4 ? 2t1t 2 )( t1t 2 ? 5)( t1t 2 ? 5) 2 3 14 ? ( )3 , 2 3
所 以 S ?ABC ?

14 2 7 , 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 ? 4 , 即 t1 ? 3
, A(

7? 5 6

,

t2 ? ?

7? 5 6

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值是

14 7. 3

11. 令 f ( x) ? 2 x 3 ? 5x ? 2 , 则 f ?( x) ? 6 x 2 ? 5 ? 0 , 所 以 f (x) 是 严 格 递 增 的 . 又

1 1 3 f (0) ? ?2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f (x) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 2 4
所以

2r 3 ? 5r ? 2 ? 0 ,
2 r ? ? r ? r 4 ? r 7 ? r10 ?? . 3 5 1? r

故数列 an ? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?满足

r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ?
去掉上面等式两边相同的项,有

2 , 5

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,
这里 s1 ?s 2 ?s 3 ? ?, t1 ? t 2 ? t 3 ? ? ,所有的 s i 与 t j 都是不同的.不妨设 s1 ? t1 ,则

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? ,

1 ? r t1 ? s1 ? r t2 ? s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ?
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

1 ?1 ? 1? r

1 1 1? 2

? 1 ? 1,

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A

1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) 是线段 AK 延长 ,D 线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交 于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆.

O

B

EK D

C

P

Q

2. (40 分)设 k 是给定的正整数, r ? k ?

1 .记 2


N M

f (1) (r ) ? f (r ) ? r ?r ? ? ?

f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m ) (r ) 为一个整数.这里, ? x ? ? ?
表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ?1? ? 1 . ?? 2 3. (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记

?1? ? ?

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2

4. (50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两 1 个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数 字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?




A

1. 用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P, 连接 PQ. 因为 PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
2

O

? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
同理
P

B

EK D

C

Q

QK 2 ? ? QO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
M

N

所以

PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,
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故 OK ⊥ PQ . 由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

AQ AP . ? QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN



MC DE AP ? ? ? 1. ③ CD EA PM NB MC ND MD ? ? 由①,②,③可得 , 所以 , 故 △DMN ∽ △DCB , 于 是 BD CD BD DC
?DMN ? ?DCB , 所以 BC∥MN, OK⊥BC, K 为 BC 的中点, 故 即 矛盾! 从而 A, B, D, C
四点共圆. 注 1:“ PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使
2



PK ? KF ? AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故



?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF ? PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .
注 2: 若点 E 在线段 AD 的延长线上, 完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

2. 记 v2 (n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k ) ? 1 时, f 下面我们对 v2 (k ) ? v 用数学归纳法. 当 v ? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时
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( m)

(r ) 为整数.

1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ?k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ?
为整数.假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式 k ? 2v ? ?v?1 ? 2v?1 ? ?v?2 ? 2v?2 ?? , 这里, ?i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ? . 于是

1?? 1 ? ? 1 ? ? f ( r )? ? k? ?? k? ? ?? k ? ?? k 1 ? ? 2?? 2? ? 2 ? ?
1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 ? ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22v ? ? 2 1 ? k? ? , ① 2 ?

这里 k ? ? 2v?1 ? (?v?1 ? 1) ? 2v ? (?v?1 ? ?v?2 ) ? 2v?1 ? ?? 22v ? ? . 显然 k ? 中所含的 2 的幂次为 v ? 1 . 故由归纳假设知,r ? ? k ? ? 整数,由①知, f ( v ?1) (r ) 是一个整数,这就完成了归纳证明. 由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ?

1 经过 f 的 v 次迭代得到 2

3.

?a
i ?1

k

i

? k,

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max ?x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k ai ? ? ? ? ? ai ? ? k n ? i?1 n i ?k ?1

?1 n ?1 1? k ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ? ?1 ? max ? (n ? k ), ?n
? 1? k , n

?1 1? ? ? ? ?k? ?k n? ?

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n ?1

? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

?

? ? An ? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1 k ?1

n ?1

? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? 2 n? k ?1 ?
n ?1

4. 对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所 在的边上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于 给定的点 A 上的设置(共有 4 种) ,按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , ?, An 上的设 1 置.为了使得最终回到 A 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种 1 密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶 数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2i 条, 0 ? i ? ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条, 0 ? j ? ? 2

?n? ? ?

? n ? 2i ? .选取 2i ? 2 ? ?

2i 2 条边标记 a 的有 Cn 种方法,在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有 Cn?j2i 种方法,其余的边 2i 2 标记 c.由乘法原理,此时共有 Cn Cn?j2i 种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密

码设置方法数为

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

? n ? 2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? Cn ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?



0 这里我们约定 C0 ? 1 .

当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时
? n ? 2i ? ? 2 ? ? ? j ?0

?C

2j n ? 2i

? 2n ?2i ?1 .



代入①式中,得

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 2 2 Cn ? Cn ?j2i ? ? 4? ? Cn i 2n ? 2i ?1 ? ? 2? ? Cn i 2n ? 2i ? ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

k k ? ? Cn 2n?k ? ? Cn 2n ?k (?1)k ? (2 ? 1)n ? (2 ? 1)n k ?0 k ?0

n

n

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? 3n ? 1 .
当 n 为偶数时,若 i ?

n n ,则② 式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的所有边都标记 a, 2 2

此时只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

? n ? 2i ? ? ? ? ? n ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2i ? ?2? 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 ? ?? ? Cn ? Cn ? 2 i ? ? 4 ? ? 1 ? ? ? Cn 2 j ?0 i ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ? 2 ? 4? ? Cn i 2n?2i ?1 ? ? 3n ? 3 . i ?0

?n? ?2? ? ?

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 ? 1 种;
n

当 n 为偶数时有 3 ? 3 种.
n

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