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四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学(理)试题


保密 ★ 启用前 【考试时间:2013 年 1 月 26 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2010 级第二次诊断性考试

数 学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答 题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.直线 3 x+y-1=0 的倾斜角是 A.30°
2 3 100

B.60°

C.120°

D.150°

2.计算:1+i+i +i +?+i (i 为虚数单位)的结果是 A.0 B.1 C.i D.i+1 3.已知 a、b∈R,那么“ab<0”是“方程 ax2+by2=1 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 C.充要条件 4.为了得到函数 y ? 3 sin ( 2 x ? A.横坐标缩短到原来的
1 2

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
?
5 )

的图象,只需把函数 y ? 3 s in ( x ?

?
5

)

图象上所有点的

倍,纵坐标不变

B.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的
1 2

倍,横坐标不变

D.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 5.一个正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的三视图 如右图所示,则这个正三棱柱的体积为 A. 3 B. 2 3
21 世纪教育网

1
3

正视图

侧视图

俯视图

C. 4 3

D. 6 3

6.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是 A.(0, )
2 1

B.( ,1)
2

1

C.(0,1)

D.(0,1)∪(1,+∞)

7.现有 1 位老师、2 位男学生、3 位女学生共 6 人站成一排照相,若男学生站两端,3 位女 学生中有且只有两位相邻,则不同排法的种数是 A.12 种 8.已知椭圆
y ?
2

B.24 种
x a
2 2

C.36 种

D.72 种

?

y b

2 2

?1

(a>b>0)的半焦距为 c(c>0),左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线

15 8

(a ? c) x

与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是 B.
4 15

A.

8 15

C.

2 3

D.

1
[21 世纪教育网]

2
? 0 ? a ? 4, ?0 ? b ? 4

9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x+b-a+3=0, 其中 a、 为常数, b 点(a, b)是区域 ? : ?

内的随机点.设该方程的两个实数根分别为 x1、x2,则 x1、x2 满足 0≤x1≤1≤x2 的概率 是 A.
3 32

B.

3 16

C.

5 32

D.

9 16

10.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的 距离分别为 4、5、5,则这只小球的半径是 A.3 或 8 B.8 或 11 C.5 或 8 D.3 或 11

第Ⅱ卷 (非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.《人再囧途之泰囧》首映结束,为了了解观众对该片的看法,决定从 500 名观众中抽取 10%进行问卷调查,在这 500 名观众中男观众占 40%,若按性别用分层抽样的方法抽取 采访对象,则抽取的女观众人数为 12.右图表示的程序所输出的结果是 13. ( 2 x ? 1)(1 ? 体数字) 14.我们把离心率之差的绝对值小于
1 2 1 x )
5

人.

.

开始 i=6,s=1 i>4? 否

的展开式的常数项是__________.(填写具

的两条双曲线称为“相

是 s=s×i i=i-1 输出 s 结束

近双曲线”.已知双曲线 取值范围是

x

2

?

y

2

? 1 与双曲线

x

2

?

y

2

? 1 是“相近双曲线”,则

n m



4

12

m

n

.

15.已知函数 f ( x ) ,若对给定的三角形 ABC,它的三边的长 a、b、c 均在函数 f ( x ) 的定义 域内,都有 f ( a ) 、 f ( b ) 、 f ( c ) 也为某三角形的三边的长,则称 f ( x ) 是△ABC 的“三 角形函数”.下面给出四个命题: ①函数 f 1 ( x ) ?
x ( x ? (0, ? )) ?

是任意三角形的“三角形函数”;

②若定义在 (0,? ? ) 上的周期函数 f 2 ( x ) 的值域也是 (0,? ? ) ,则 f 2 ( x ) 是任意三角形 的“三角形函 数”;
( ③若函数 f 3 ( x ) ? x 3 ? 3 x ? m 在区间 , )上是某三角形的“三角形函数”,则 m 的取 3 3 62 27 2 4

( 值范围是

, + ? );

④若 a、b、c 是锐角△ABC 的三边长,且 a、b、c∈N+,则 f 4 ( x ) ? x 2 + ln x ( x ?0) 是△ ABC 的“三角形函数”. 以上命题正确的有 .(写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题 ,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=(sinx+cosx)2-2sin2x. (Ⅰ)求 f (x)的单调递减区间; (Ⅱ)A、B、C 是△ABC 的三内角,其对应的三边分别为 a、b、c.若 f ( ) ?
8 A 6 2



??? ???? ? AB ? AC

=12, a ? 2 7 ,且 b<c,求 b、c 的长.

17.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于 F. (Ⅰ)求证:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:PB⊥平面 EFD; (Ⅲ)求二面角 C-PB-D 的大小. 18.(本小题满分 12 分)甲、乙两位同学练习三分球定点投篮, 规定投中得三分,未投中得零分,甲每次投中的概率为 ,乙
3 1

P F D A B E C

每次投中的概率为

1 4



(Ⅰ)求甲投篮三次恰好得三分的概率; (Ⅱ)假设甲投了一次篮,乙投了两次篮,设 X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮 得分总和的差,求随机变量 X 的分布列.

19.(本小题满分 12 分)已知各项均不为零的数列{an}的首项 a 1 ? ∈N+,k 是不等于 1 的正常数). (Ⅰ)试问数列 {
1 an ? 2 k ?1 } 是否成等比数列,请说明理由;

3 4

,2an+1an=kan-an+1(n

(Ⅱ)当 k=3 时,比较 an 与

3n ? 4 3n ? 5

的大小,请写出推理过程.

20.(本小题满分 13 分)动点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 l:x=4 的距离之比 是常数
1 2

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并说明轨迹 E 是什么图形? (Ⅱ)已知圆 C 的圆心在原点,半径长为 2 ,是否存在圆 C 的切线 m,使得 m 与圆 C 相切于点 P,与轨迹 E 交于 A、B 两点,且使等式 A P ? P B ? O P 成立?若存在,求出 m 的方程;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 14 分 )已知函数 f (x)=xlnx(x∈(0,+∞)). (Ⅰ)求 g ( x ) ?
f ( x +1) x +1 ? x
??? ??? ? ? ??? 2 ?

(x∈(-1,+∞))的单调区间与极大值;
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

(Ⅱ)任取两个不等的正数 x1、x2,且 x1<x2,若存在 x0>0 使 f ? ( x 0 ) ? 立,求证:x1<x0<x2; (Ⅲ)已知数列{an}满足 a1=1, a n ? 1 ? (1 ? 然对数的底数).
1 2
n



)an ?

1 n
2

11

(n∈N+),求证: a n ? e 4 (e 为自

绵阳市高中 2010 级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBCAA BBDAD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.30 12.30 13.-9 14. [
4 , ] 21 5 4

∪[ ,
4

5

21 4

]

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)f (x)=1+sin2x-1+cos2x= 2 sin(2x+ ∴ 当 2k? ? 解得 k ? ?
?
8

?
4

),

?
2

≤2x+

?
4

≤ 2k? ?
5? 8

3? 2

时,f (x)单调递减,

≤x≤ k ? ?


?
8

即 f (x)的单调递减区间为[ k ? ?
A 8
A 4

, k? ?
6

5? 8

](k∈Z).
A 4

????????6 分
3

(Ⅱ)f ( ∴
A 4

) = 2 sin(
?
3

+

?
4

)=
?
3

,即 sin(
5? 3

+

?
4

)=



2

2

+

?
4

=



2? 3

,即 A=



(舍).

由 A B ? A C =c·b·cosA=12,cosA=

??? ???? ?

1 2

,得 bc=24.①

又 cosA=

b ?c ?a
2 2

2

?

1 2

,a ? 2 7

,得 b2+c2=52. z P F D A x G B E C y

2bc

∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100,b>0,c>0, ∴ b+c=10,② 联立①②,且 b<c,解得 b=4,c=6. ???12 分 17.解:如图所示建立空间直角坐标系,设 DC=1. (Ⅰ)连结 AC,交 BD 于 G,连结 EG.依题意得 A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,
1 2



1 2

).

∵ 底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(
??? ?

1 2



1 2

,0),
1 1

且 P A ? (1,0,? 1), G ? ( ,0,? ) . E
2 2

????



PA ? 2 EG

,这表 明 PA//EG.而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,
??? ?

∴ PA//平面 EDB. ???????????????????????4 分 (Ⅱ)依题意得 B(1,1,0), P B =(1,1,-1). 又 D E ? (0, , ) , 故 P B ? D E ? 0 ?
2 2 ???? 1 1

??? ???? ?

1 2

?

1 2

? 0



∴ PB ? DE . 由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E , ∴ PB ? 平面 EFD.??????????????????????8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 EF ? PB , P B
? DF

,故 ? E F D 是所求二面角的平面角.

??? ? ??? ? 设点 F 的坐标为(x0,y0,z0), P F ? k P B ,

则(x0,y0,z0-1)=k(1,1,-1),从而 x0=k,y0=k,z0=1-k, ∵ P B ? F D =0,所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=0,解得 k ?
1 1 2 ??? ? 1 1 1

??? ???? ?

1 3


1 1 2

∴ 点 F 的坐标为 ( , , ) ,且 F E ? ( ? , , ? ) , F D ? ( ? ,? , ? )
3 3 3 ??? ???? ? FE ? FD 1 ? c o s ? E F D ? ??? ???? ? | F E || F D | 2
?
3

????

3

6

6

3

3

3



,得 ? EFD

?

?
3



∴ 二面角 C-PB-D 的大小为

.????????????????12 分

18.解:(Ⅰ)甲投篮三次恰好得三分即 1 次投中 2 次不中,

∵ 甲投篮三次中的次数 x~B(3, ∴ P(x=1)= C 31 ? ? (1 ? ) 2 ?
3 3 1 1 4 9 4 9

1 3

),

, .????????????????4 分

甲投篮三次 恰好得三分的概率为

(Ⅱ)设甲投中的次数为 m,乙投中的次数为 n, ①当 m=0,n=2 时,X=-6, ∴ P(X=-6)= ? C 22 ? ( ) 2 ?
3 4 2 1 1 24



②当 m=1,n=2 或 m=0,n=1 时,X=-3, ∴ P(X=-3)= ? ( ) 2 ?
3 4 1 1 2 3 ?C2 ?
1

1

?

3

?

13 48



4 4

③当 m=1,n=1 或 m=0,n=0 时,X=0,
1 ∴ P(X=0)= ? C 2 ?

1

1

?

3

?

2

3

4 4

3 2 1 0 ?C2 ?( ) ? 3 4 2



④当 m=1,n=0 时,X=3, ∴ P(X=3)= ? C 20 ? ( ) 2 ?
3 4 1 3 9 48



∴X 的分布列为
[来源:21 世纪教育网]

X P

-6
1 24

-3
13 48

0
1 2

3
9 48

?????????????12 分 19.解:(Ⅰ)由 2an+1an=kan-an+1,可得
1 a n ?1
2 k ?1

1 a n ?1

=

kan ? 1 2an


1 a1 2 k ?1 4 3 2 k ?1


4 3

?

=

kan ? 1 2an

?

2 k ?1

= (
k
1 an

1

1 an
?

?

2 k ?1
2

)

,首项为

?

?

?





?

2 k ?1 2 k ?1

? 0

,即 k=

5 2

时,数列 {

k ?1

} 为零数列,不成等比数列.



4 3

?

? 0

,即 k>0,k ? 1 且 k ?
} 是以
4 3 ? 2 k ?1

5 2

时,
1 k

数列 {

1 an

?

2 k ?1

为首项,
1 an

为公比的等比数列.
5 2

∴ 综上所述,当 k=

5 2

时,数列 {

?

2 k ?1

} 不成等比数列;当

k>0,k ? 1 且 k ?

时,

数列 {

1 an

?

2 k ?1

} 是等比数列.??????????????6



(Ⅱ)当 k=3 时,数列 {

1 an

? 1} 是以

1 3

为首项, 为公比的等比数列.
3

1



1 n ?1? ( ) an 3

1

,即 an=
1 3 ?1
n

3
n

n

3 ?1

=11

1 3 ?1
n


1 3 ?1
n

∴ an-

3n ? 4 3n ? 5

=1-

-(1-

3n ? 5

)=

1 3n ? 5

-

=

3 ? 3n ? 4
n

(3 n ? 5 )(3 ? 1)
n



令 F(x) =3x-3x-4(x≥1),则 F ? ( x ) =3xln3-3≥ F ? (1) >0, ∴ F(x)在 [1,? ? ) 上是增函数. 而 F(1)=-4<0,F(2)=-1<0,F(3)=14>0, ∴ ①当 n=1 和 n=2 时, an<
3n ? 4 3n ? 5
1 3n ? 5


1 3 ?1
n

②当 n≥3 时,3n+1>3n+5,即

>

,此时 an>

3n ? 4 3n ? 5


3n ? 4 3n ? 5

∴ 综上所述,当 n=1 和 n=2 时,an<
( x ? 1) ? y
2 2

3n ? 4 3n ? 5

;当 n≥3 时,an>

.?12 分

20.解:(Ⅰ)由题意得,
2 2

x?4

?

1 2



化简得:

x

?

y

? 1 ,即轨迹 E

为焦点在 x 轴上的椭圆.

??????5 分

4

3

(Ⅱ)设 A(x1,x2),B(x2,y2). ∵ O A ? O B =( O P ? P A )?( O P ? P B )= O P + O P ? P B + P A ? O P + P A ? P B , 由题知 OP⊥AB,故 O P ? P B =0, P A ? O P =0. ∴ O A ? O B = O P + P A ? P B = O P - A P ? P B =0. 假设满足条件的直线 m 存在, ①当直线 m 的斜率不存在时,则 m 的方程为 x= ? 2 , 代入椭圆
x
2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

21 世纪教育网

?

y

2

? 1 ,得

y= ?
6 4

6 2


??? ??? ? ?

4
??? ??? ? ?

3

∴ O A ? O B =x1x2+y1y2=-2-

? 0,这与 O A ? O B =0 矛盾,故此时 m 不存在.

②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+b, ∴ | OP|=
b 1? k
2

?

2

,即 b2=2k2+2.

联立 ∴

x

2

?

y

2

? 1与
?8kb 3 ? 4k
2

y=kx+b 得,(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0, ,x1x2=
4b ? 12
2

4

3

x1+x2=

3 ? 4k

2


3b ? 1 2 k
2 2

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= ∴ O A ? O B = x1x2+y1y 2= ∴ 7b2-12k2-12=0, 又∵ b2=2k2+2,
??? ??? ? ?
4b ? 12
2 2

3 ? 4k
2

2



3 ? 4k

2

+

3b ? 1 2 k 3 ? 4k
2

=0.

∴ 2k2+2=0,该方程无解,即此时直线 m 也不存在. 综上所述,不存在直线 m 满足条件.???????????????13 分 21.解:(Ⅰ)由已知有 g ( x ) ? 于是 g ? ( x ) ?
1 x +1 ? 1= ? x x ?1 f ( x +1) x +1 ? x

= ln ( x +1) ? x ,



故当 x∈(-1,0)时, g ? ( x ) >0;当 x∈(0,+∞)时, g ? ( x ) <0. 所 以 g(x)的 单调 递增 区间 是 (-1, 0),单 调递 减区 间是 (0 ,+∞), g(x)的极 大值 是 g(0)=0. ??????????????????????????4 分
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

(Ⅱ)因为 f ? ( x ) ? ln x +1 ,所以 ln x 0 +1 =
ln x 0 ? ln x 2
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ? ln x 2 ? 1 =

,于是

=

x 2 ln x 2 ? x1 ln x1 x 2 ? x1

? ln x 2 ? 1

ln

x2 x1 ?1

= x1 ln

x 2 ? x1 ln x1 x 2 ? x1

?1=

x2 x1



?1



x2 x1

=t (t>1), h ( t ) =
0

ln t t ?1

?1 ?

ln t ? t ? 1 t ?1



因为 t ? 1 ? 令? t ) ? (

,只需证明 ln t ? t +1 ? 0 .
1 t ?1? 0

ln t ? t +1 ,则 ? ?( t ) ?



∴ ?( t ) 在 t ? (1 , ? ) 递减,所以 ?( t ) ? ?(1) = 0 , + 于是 h(t)<0,即 ln x 0 ? ln x 2 ,故 x 0 ? x 2 . 仿此可证 x1 ? x 0 ,故 x1 ? x 0 ? x 2 .?????????????????10 分 (Ⅲ)因为 a1 ? 1 , a n ? 1 ? (1 ?
1 2
n

)an ?

1 n
2

? an

,所以 { a n } 单调递增, a n ≥1.

于是 a n ? 1 ? (1 ?

1 2
n

)an ?

1 n
2

? (1 ?

1 2
n

)an ?

1 n
2

a n = (1 ?

1 2
n

?

1 n
2

)an ,

[来源:21 世纪教育网]

所以 ln a n ? 1 ? ln a n ? ln (1 ?

1 2
n

?

1 n
2

).

(*)

由(Ⅰ)知当 x>0 时, ln (1 + x ) <x. 所以(*)式变为 ln a n ? 1 ? ln a n ? 即 ln a k ? ln a k ? 1 ?
1 2
k ?1

1 2
n

?

1 n
2



?

1 ( k ? 1)
2

(k∈N,k≥2),

令 k=2,3,?,n,这 n-1 个式子相加得
ln a n ? ln a 1 ? ( 1 2
1

+

1 2
2

+? + 2
1 1
2

1
n ?1

)?[

1 1
2

?

1 2
2

?? ?

1 ( n ? 1)
2

]

? (1 2

1
n ?1

)?[

?

1 2
2

?

1 2?3

?

1 3? 4

?? ?

1 ( n ? 2 )( n ? 1)

]

=(12

1
n ?1

) ? [1 ?

1 4

?(

1 2

?

1 3

)?(

1 3

?

1 4

)?? ? (

1 n?2

?

1 n ?1

)]

=(12
= 11 4 -

1
n ?1

) ? (1 ?
1

1 4

?

1 2

?

1 n ?1

)

1 2
n ?1

?

n ?1

?

11 4


11

即 ln a n ? ln a 1 ?

11 4

?

11 4

,所以 a n ? e 4 .??????????????14 分


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